- •§2. Свободный вектор
- •§3. Сложение и вычитание свободных векторов
- •§4. Умножение свободного вектора на число
- •Лекция 2. Векторное пространство. Базис и координаты вектора §5. Понятие векторного пространства
- •§6. Линейная зависимость векторов
- •§7. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Лекция 3. Скалярное умножение свободных векторов §8. Проекция вектора на вектор
- •§9. Скалярное умножение свободных векторов
- •Лекция 4 - 5. Векторное и смешанное умножение свободных векторов §10. Ориентация векторного пространства
- •§11. Векторное умножение свободных векторов
- •§12. Смешанное умножение свободных векторов
- •Раздел II. Аналитическая планиметрия Лекция 1. Аффинные системы координат на плоскости. Метод координат §1. Аффинная система координат на плоскости
- •§2. Формулы преобразования координат
- •§3. Метод координат на плоскости
- •Лекция 2. Прямая на плоскости как линия первого порядка §4. Уравнение прямой на плоскости
- •§5. Особенности расположения прямой относительно системы координат
- •Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости §6. Геометрический смысл знака трехчлена прямой
- •§7. Расстояние от точки до прямой
- •§8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •§9. Угол между прямыми
- •Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс
- •§11. Гипербола
- •§12. Парабола
- •§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы
- •Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Лекция 6. Общая теория линий второго порядка §15. Центр линии второго порядка
- •§16. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
- •§19. Диаметры линий второго порядка
- •§20. Главные направления, главные диаметры
- •Литература
§12. Парабола
О п р е д е л е н и е. Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до заданной точки – фокуса: .
Расстояние от фокуса до директрисы называетсяфокальным параметром параболы.
По аналогии с эллипсом и гиперболой выводится каноническое уравнение параболы: .
Изучение формы параболы
–ось симметрии параболы.
Точки принадлежат параболе.
Поиск точек пересечения произвольной прямой проходящей через начало системы координат с параболой сводится к решению к решению уравнения. Таким образом, если прямаяотлична от оси(), то она пересекает параболу в двух различных точках. Осьпересекает параболу в одной точке.
§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы
О п р е д е л е н и е. Директрисой эллипса (гиперболы) называется прямая, перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от второй оси на расстоянии .
Таким образом, для эллипса (гиперболы), заданных каноническими уравнениями , директрисы задаются уравнениями.
Имеет место следующая теорема
Т е о р е м а. Эллипс (гипербола) есть множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.
Д о к а з а т е л ь с т в о.Фактически требуется доказать совпадение двух множеств: эллипса (гиперболы) и множества точек, обладающих указанным в теореме свойством. Таким образом, достаточно показать включение каждого из этих множеств в другое.
Для любой точки , принадлежащей эллипсу (гиперболе), её координаты удовлетворяют уравнению. Кроме того, для этих линий соответственно имеем соотношения:. Учитывая это, можно подсчитать. Так как, то получаем. Таким образом, имеет место включение всех точек эллипса (гиперболы) во множество точек, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.
Пусть для точки имеет место равенство. Получаемили
.(*)
Если , тои. Уравнение (*) определяет гиперболу. То есть точкапринадлежит гиперболе.
Если , то,и уравнение (*) определяет эллипс. То есть точкапринадлежит эллипсу.
Таким образом, для множества точек, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, показали его включение во множество точек эллипса (гиперболы).
Из пунктов 1, 2 следует справедливость утверждения теоремы.
Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Из определения алгебраической линии следует, что в произвольной аффинной системе координат уравнение линии второго порядка имеет вид:
, (1) где –общее уравнение алгебраической линии второго порядка.
Пусть относительно прямоугольной системы координат линия второго порядка задана уравнением (1).
Т е о р е м а. Для каждой линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (1), существует прямоугольная система координат , в которой линия задается уравнением вида
(2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем формулы преобразования координат при повороте осей координат на угол
(3)
Чтобы найти уравнение линии в новой системе координат, нужно в уравнение (1) подставить выражения (3) старых координат через новые. Будем искать такой угол поворота осей координат, чтобы в новом уравнении коэффициент прибыл равен нулю:
. (4)
В уравнении (4) . В противном случае, получим, то есть уравнение (1) уже имеет требуемый вид.
Из однородного уравнения (4) находим два значения угла , для которых коэффициент при произведении текущих координат обращается в нуль. Можно выбрать любой из них. При повороте осей координат системына этот угол получим искомый репер.
Пусть уравнение линии второго порядка приведено к виду (2). Возможны случаи
I. .
Выделив для иполные квадраты, получим уравнение вида
, (5)
где обозначено
Отсюда получаем – формулы преобразования координат при переносе начала системы координат в точку.
В зависимости от значений параметров можно получить следующие канонические уравнения
|
|
|
Каноническое уравнение |
Название линии |
+ |
+ |
- |
|
Эллипс |
- |
- |
+ | ||
+ |
+ |
+ |
|
Мнимый эллипс |
- |
- |
- | ||
+ |
- |
|
|
Гипербола |
- |
+ | |||
+ |
+ |
0 |
|
Пара мнимых пересекающихся прямых |
- |
- | |||
+ |
- |
0 |
Пара пересекающихся прямых | |
- |
+ |
II. .
Уравнение (2) можно записать в виде
.
Обозначив ,, получим каноническое уравнение параболы:.
III. .
Уравнение линии приводится к виду . В зависимости от значений параметраполучаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары совпавших прямых, пары мнимых параллельных прямых.
Таким образом, имеем 9 сортов линий второго порядка.
Чтобы привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, надо:
добиться, чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат (поворот осей координат);
добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим (выделение полных квадратов, перенос начала системы координат);
если возможно, уничтожить свободный член (перенос начала системы координат).