Mtduksi8

понимается вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент u к множеству А.

В случае, когда А – некоторое понятие естественного языка, а U –

множество объектов, обозначаемых этим понятием А, µА(u) – есть вероятность того, что лицо, принимающее решение, использует А в качестве имени объекта. Такая интерпретация функции принадлежности называется вероятностной и не исключает существование других интерпретаций.

Следует отметить, что

−элемент u, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а последний и решает задачу отнесения элемента к нечеткому множеству А;

−в приведенной интерпретации µА(u) не является ни функцией распределения вероятности (т.к. µА(u) может быть убывающей функцией), ни плотностью распределения вероятности (т.к. интеграл

от µА(u) по всей области определения может превышать 1). Остановимся подробнее на некоторых методах построения функции

принадлежности:

1. Пусть имеется коллективный ЛПР, состоящий из n экспертов. О том,

что u U принадлежит нечеткому множеству А, n1 (n1 ≤ n) экспертов отвечают положительно. В этом случае

µA (u) = n1	(1.10)
n

Данный метод называется частотным, а сама схема вычисления соответствует вероятностной интерпретации функции принадлежности.

2. При применении метода построения функции принадлежности на основе стандартного набора графиков ЛПР выбирает наиболее подходящий,

по его мнению, график из стандартного набора, а затем в диалоговом режиме с ЭВМ выясняет и корректирует (при необходимости) параметры выбранного графика.

11

3. В методе парных соотношений пусть имеется n экспертов и необходимо найти степени принадлежности k точек. Каждый i-ый эксперт должен определить парные соотношения (по своему усмотрению) типа:

1, µ

l

>

µ

j

mlj =

µ

≤ µ

0,

l

j

l, j =

;

1, k

(1.11)

Экспертная оценка для i-го эксперта находится по формуле (1.12):

k

∑mlj

α

=

j=1

il

k

k

∑ ∑mlj

(1.12)

l=1 j=1

Окончательно, функция принадлежности для

l-го параметра имеет вид

(1.13).

1

n

µl =

∑αil ,l =

1, k

(1.13)

n i=1

Пример построения функции принадлежности Два эксперта должны определить насколько три дома соответствуют

оценке Пригоден для жилья. Мнение каждого из них основывается на собственных предпочтениях. Матрица парных соотношений первого эксперта пусть имеет вид М1, а второго – M2. В матрице предпочтения М1: m11=0, т.к. оценка одного и того же дома дает равные значения, m12=1, т.к. по мнению первого эксперта первый дом более пригоден для жилья, нежели второй и т.д.

	0		1	0			0 0			0
М1		0	0	1		М2		1	0	0
	=						=
		1	0	0				1	1	0

Оценка 1-го эксперта для 1-го параметра равна:

	α11	=			m11 + m12 + m13	=	1
			(m11	+ m12	+ m13 ) + (m21 + m22 + m23 ) + (m31 + m32 + m33 )		3

По аналогии α12 = 13 , α13 = 13 .

12

Заметим, что в числителе стоит сумма единиц в строке l, а в знаменателе

– сумма всех единиц матрицы парных соотношений.

Оценки 2-го эксперта равны соответственно: α21 = 03 = 0,α22 = 13 ,α23 = 23 .

Таким образом, функция принадлежности нечеткому множеству

Пригоден				для	жилья 1-го дома равна				µ1			=	1	(α11 +α21 )=			1	, 2-го дома -
													2				6
µ2	=	1	(α12	+α22 )=		1	и, наконец, 3-го дома - µ3	=		1		(α13		+α23 )=	1	.
		2			3				2						2

1.3. Операции над нечеткими множествами

1.3.1.Логические операции над нечеткими множествами

Пусть А и В - нечеткие множества, S(А) и S(В)– их носители.

Опр.1.8. Операция включения (А В). Пусть А и В - нечеткие множества

на универсальном множестве U. Говорят, что А содержится в В, если u U

µA(u) ≤ µB(u).

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А В, говорят, что В доминирует А.

Опр.1.9. Равенство. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве U. Говорят, что А и В равны (А = В), если u U µA(u)=µB(u).

Опр.1.10. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве U. Объединением нечетких множеств А и В в U называют наименьшее нечеткое подмножество А Υ В, включающее как А, так и В, с

функцией принадлежности вида:

µAΥB (u) = max (µA (u), µB (u)), u U	(1.13)
Объединение соответствует союзу ИЛИ. Таким образом, если X и Y –
символы нечетких множеств, то
def
X ИЛИ Y = X Y	(1.13а)

13

Опр.1.11. Пересечением нечетких множеств А и В в U называют наибольшее нечеткое подмножество А Ι В, содержащееся одновременно в А и В, с функцией принадлежности вида:

		µA∩B (u) = min (µA (u), µB (u)), u U			(1.14)
Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, если X и Y –
символы нечетких множеств, то
				def
		X И Y = X Ι Y			(1.14а)
Опр.1.12. Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое
множество		с функцией принадлежности:
	A
		µ		(u) =1− µA (u), u U	(1.15)
			A

Операция Дополнение соответствует операции НЕ, т.е.

( НЕ Х)	def=		= Υ (1 − µ Х (u )) / u	(1.15а)
		Х
			u U

Опр.1.13. Разность нечетких множеств А и В определяется по-разному, введением двух независимых операций (1.16) и (1.17):

µA−B (u) =

µ

A

(u) − µ

B

(u), µ

A

(u) ≥ µ

B

(u)

(1.16)

0, µA (u) < µB (u)

или А− В = А∩

с функцией принадлежности

B

µA−B (u) = µ

(u) = min(µA (u),1− µA

(u))

(1.17)

A∩B

Опр.1.14. Дизъюнктивная сумма А В определяется выражением вида

А В = (A Ι

) Υ(

Ι

В) с функцией принадлежности вида:

B

A

µA B (u) = max[min(µA (u),1− µB (u)), min(1− µA (u), µD (u))] (1.18)

Примеры

логических операций

Пусть

А=0.4/u1 + 0.2/u2 +0/u3 +1/u4 B=0.7/u1 + 0.9/u2 +0.1/u3 +1/u4 C=0.1/u1 + 1/u2 +0.2/u3 +0.9/u4

14

Тогда

A B, т.е. А содержится в В или В доминирует А; С не сравнимо ни с А, ни с В, т.е. пары {А, С} и {В, С} – пары недоминируемых нечетких множеств.

А ≠ В ≠ С

A= 0.6/u1 + 0.8/u2 +1/u3 +0/u4

А∩ В = 0.4/u1 + 0.2/u2 +0/u3 +1/u4

АВ = 0.7/u1 + 0.9/u2 +0.1/u3 +1/u4

А – В =	А ∩		= 0.3/u1 + 0.1/u2 +0/u3 +0/u4
		B
А В =	0.6/u1 + 0.8/u2 +0.1/u3 +0/u4

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами.

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения µA(u), на оси абсцисс - в произвольном порядке расположены элементы U.

							Если U по своей природе упо-
							рядочено, то этот порядок желательно
							сохранить	в расположении	элементов
Рис. 1.3а				Рис. 1.3б			на оси абсцисс. Такое представление
							делает	наглядными	простые
							логические операции над		нечеткими
							множествами (см. рис. 1.3).
Рис. 1.3в				Рис. 1.3г			На	рис. 1.3а заштрихованная
Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических							часть	соответствует	нечеткому
операций: а — нечеткое множество А; б — нечеткое							множеству А и, если говорить точно,
		; в — АΙ		; г — АΥ
множество	A		A		A

изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А.

На рис. 1.3б, в, г даны A ; А Ι A ; АΥ A

15

Свойства операций Ι и Υ.

Пусть А, В, С – нечеткие множества, являющиеся подмножествами

универсального множества U, такого что u U, µU (u) =1.

Тогда справедливыми являются следующие свойства:

Коммутативность:

А Ι

В = В Ι А

(1.19)

А Υ В = В Υ А

(1.19а)

Ассоциативность:

(АΙ

В) Ι С = А Ι (ВΙ С)

(1.20)

(АΥВ) ΥС = АΥ (ВΥС)

(1.20а)

Идемпотентность:

А Ι

А = А

(1.21)

А Υ А = А

(1.21а)

Дистрибутивность:

А Ι (В ΥС) =(А Ι В) Υ(А Ι С)

(1.22)

А Υ(В Ι С) =(А ΥВ) Ι (В ΥС)

(1.23)

А Ι

Ø = Ø

(1.24)

А Ι

U = A

(1.25)

А ΥU = U

(1.26)

А ΥØ = A, где Ø – пустое множество, т.е. µØ(u)=0 u U

(1.27)

Инволюция:

= А

(1.28)

A

Теоремы де Моргана

=

Υ

(1.29)

A Ι

B

A

B

=

Ι

(1.29а)

A Υ B

A

B

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

А Ι

≠ Ø

(1.30)

A

А Υ

≠ U

(1.31)

A

16

Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max min, поэтому доказательство свойств достаточно просто. Докажем, например, свойство ассоциативности (1.20а) и первую теорему де Моргана (1.29).

Доказательство (1.20а):

max (max (µA(u), µB(u)), (µC(u)) = max (µA(u), max (µB(u), µC(u)).

Выбор max из 3-х: max ((max (µA(u), µB(u)), µC(u)) = max (µA(u), (max (µB(u), µC(u))) = max (µA(u), µB(u), µC(u)).

Доказательство (1.29):

1 – min (µA(u), µB(u)) = max (1 - µA(u)), (1 - µB(u)) = 1 – min (µA(u), µB(u)).

1.3.2.Алгебраические операции над нечеткими множествами

Опр.1.15. Алгебраическое произведение А и В обозначается А B и

определяется функцией принадлежности вида µA B (u) = µA (u)µB (u) для u U.

Опр.1.16. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и

определяется функцией принадлежности	µA+B (u) = µA (u) + µB (u) − µA (u)µB (u) для
u U.
Для операций { , +} выполняются свойства:
Коммутативность:
А В = В А	(1.32)
А+ В = В+А	(1.32а)
Ассоциативность:
(А В) С = А (В С)	(1.33)
(А+В) +С = А+ (В+С)	(1.33а)
А Ø = Ø	(1.34)
А+Ø = A	(1.35)
А U = A	(1.36)
А+U = U	(1.37)
Теоремы де Моргана

17

A B

=

+

B

(1.38)

A

=

(1.38а)

A + B

A

B

Не выполняются свойства:

Идемпотентность:

А А = А

(1.39)

А+А = А

(1.39а)

Дистрибутивность:

А (В +С) =(А В) +(А С)

(1.40)

А+(В С) =(А+В) (В+С)

(1.40а)

А

= Ø

(1.41)

A

А+

≠ U

(1.42)

A

При совместном использовании операций { Υ, Ι , , +} выполняются

свойства (1.43):

А (В ΥС) = (А В) Υ (А С)

(1.43)

А (В Ι С) = (А В) Ι

(А С)

(1.43а)

А+(В ΥС) = (А+В) Υ (В+С)

(1.43б)

А+(В Ι С) = (А+В) Ι

(В+С)

(1.43в)

На основе операции алгебраического произведения определяется

операция возведения в

степень

α нечеткого множества А, где α -

положительное число.

Опр.1.17. Степенью нечеткого множества A называется нечеткое

множество Aα с функцией принадлежности.
µΑα (u) = µαA (u), u U, α>0.	(1.44)
При α = 2 получаем операцию концентрирование (уплотнение) (CON):
CON(A) = A2	(1.45)
В результате применения этой операции к	множеству А снижается

степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности относительно велико.

18

При α = 0.5 получаем операцию растяжения (DIL): DIL(A) = A0.5 (1.46)

Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.

Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции принадлежности следующим образом:

2(µA (u))2 ,		0	≤ µA (u) ≤ 0.5			(1.47)
µA (u) = 1− 2(1− µ	A	(u))2 , 0	≤ µ	A	(u) ≤ 0.5

Эта операция отличается от концентрирования тем, что она увеличивает значение µA (u) , которое больше 0.5 и уменьшает те, которые меньше 0.5. Таким образом, контрастная интенсификация, по существу уменьшает нечеткость А.

Операции концентрирования, растяжения и контрастной интенсификации используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Опр.1.18. Умножение на число. Если α - положительное число, такое,

что	α max µA (u) ≤1	, то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности
	u A
		µαА(u) = αµА(u)	(1.48)

Опр.1.19. Выпуклой комбинацией нечетких множеств А1 ×А2 ×…×Аn в U

называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида:

n			n
µA (u) = ∑λi µАi (u), λi ≥ 0, i =		,	∑λi =1	(1.49)
	1,n
i=1			i=1

Выпуклые комбинации нечетких множеств нужны для принятия решений с несколькими нечеткими ограничениями. Для обычных множеств эта операция не имеет смысла.

Опр.1.20. Декартово (прямое) произведение. Пусть А1, А2, … Аn нечеткие подмножества универсальных множеств U1, U2, … Un соответственно. Декартово произведение А=А1 ×А2 ×…×Аn является нечетким подмножеством декартового произведения U = U1 ×U2 ×…×Un c функцией принадлежности вида:

µA (u) = min{µA1 (u1 ),..., µAn (un )}, u = {u1 ,...,un } U

(1.50)

19

Опр.1.21. Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть А – нечеткое множество, U – универсальное множество и для всех u U определены нечеткие множества K(u). Совокупность всех K(u) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

Ф(А, К) = ΥµA (u) K(u)	(1.51)
u U

где – µA (u) K (u) произведение числа на нечеткое множество.

Пример

Пусть U={1, 2, 3, 4}; A = 0.8/1 + 0.6/2 + 0/3 + 0/4;

K(1) = 1/1 + 0.4/2; K(2) = 1/2 + 0.4/1 + 0.4/3; K(3) = 1/3 + 0.5/4; K(4) = 1/4. Тогда Ф(А,К) = µА(1) К(1) µА(2) К(2) µА(3) К(3) µА(4) К(4) = 0.8

(1/1 + 0.4/2) 0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3) = 0.8/1 + 0.6/2 + 0.24/3

20