Mtduksi8

П р и м е р ы лингвистических переменных

1.Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная – 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей ЛП <β, T, U, G, M>, где

β – толщина изделия;

Т – {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

U = [10,80];

G – синтаксическая процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или», и модификаторов (лингвистических неопределенностей) типа

«очень», «не», «слегка» и т.п. Например, «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина», «Не очень большая толщина» и т.д.

М – семантическая процедура задания на U = [10,80] нечетких множеств

А1=«Малая толщина», А2=«Средняя толщина», А3=«Большая толщина», а

также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок, лингвистических неопределенностей и других операций над нечеткими множествами.

2.Пусть β – посадочная скорость самолета (скорость). Тогда

Скорость := (скорость, <малая, небольшая, средняя, высокая>, [0..300],

G, M), где

G – процедура перебора элементов базового терм-множества. M – процедура экспертного опроса.

3. Рассмотрим еще один пример лингвистической переменной. β – дисциплина;

Т – {«Сложная дисциплина», «Интересная дисциплина», «Пригодится в будущей работе»};

U= [«Программирование», «Базы данных», «Нечеткая логика», «САОД»]

–множество дисциплин, изучаемых студентами специальности 220400;

G– процедура перебора элементов базового терм-множества;

51

M – процедура экспертного опроса.

4. Для лингвистической переменной <β, T, U, G, M> представленной на рис. 3.1:

T = {T1,T2,T3}

u0 < u1 < u2 < u3 < u4 < u5;

U = [u0, u5], пару (u0, u5) будем называть граничной парой.

Замечание. В дальнейшем без особой необходимости, не будем различать переменную и ее наименование.

		β
	T1	T2	T3
µ(u)	µ(u)		µ(u)

u0

u1

u

u2

u3 u

u4

u5

u

Рис.3.1. Взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных.

Взависимости от характера множества U лингвистическая переменная может быть разделена на числовые и нечисловые.

Опр.3.3. Числовой называют лингвистическую переменную, у которой U R1 , R1=(-∞, ∞), и которая имеет измеримую базовую переменную.

Скорость – это числовая лингвистическая переменная, причем нечеткие переменные из ее терм-множества нечеткие числа.

Вкачестве примера нечисловой лингвистической переменной можно привести понятие “дисциплина” из примера 4.

3.1.1.Характеристики простых отношений между нечеткими переменными

Зависимость между двумя обычными числовыми переменными X и Y чаще всего описываются набором высказываний, например: «если х равно 5, то у равно 12» и т.д.

52

Применим такой же способ описания и для нечетких переменных. В частности, если Х и Y - лингвистические переменные, то высказывания, описывающие зависимость Y от Х, могли бы выглядеть так: «если Х мало, то Y велико»; «если Х не очень мало, то Y очень велико»; «если Х не мало и не велико, то Y не очень велико» и т.п.

Нечеткие высказывания типа «из А следует В», где А и В имеют неопределенное значение, например: «Если Александр любезен с тобой, то ты должен быть добр к нему», обычны в повседневной речи. В дальнейшем будет показано, что высказывание “из А следует В” математически определяется, если А и В заданы как некоторые нечеткие переменные.

Приведенные отношения между нечеткими переменными Х и Y являются простыми в том смысле, что их можно записать как множество высказываний вида “из А следует В”. Для описания более сложной зависимости Y от Х могут потребоваться нечеткие алгоритмы.

Если обратить внимание на структуру лингвистической переменной, то можно отметить, что в общем случае значение лингвистической переменной есть составной термин, представляющий сочетание некоторых элементарных терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основные категории:

−первичные термины, которые являются символами специальных нечетких подмножеств, например, молодой, старый и т.д.

−отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ.

−неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д.

−маркеры, чаще всего это вводные слова.

Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше, меньше и другие термины, которые входят в определение значений лингвистической переменной, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на нечетких подмножествах U.

53

3.2. Нечеткие числа

Опр.3.4. Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве R c функцией принадлежности µА(u) [0, 1], u R.

Нечеткие числа соответствуют значениям числовой лингвистической

переменной.
Нечеткое число А нормально, если max µA (u) =1.	(3.1)
u
Нечеткое число А выпуклое, если для x ≤ y ≤ z выполняется
µA (x) ≥ min{µA ( y), µA (z)} .	(3.2)
Множество α-уровня нечеткого множества А определяется как
Aα = {u / µA (u) ≥α}.	(3.3)
Подмножество SA R называется носителем нечеткого числа А, если
S A = {u / µA (u) > 0}.	(3.4)
Нечеткое число А унимодально, если условие	µA (u) =1 справедливо
только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

µA (0) = sup (µA (u)) .

(3.5)

u

Нечеткое число А положительно, если u SA, u > 0 и отрицательно,

если u SA, u < 0.

3.2.1.Операции над нечеткими числами

Для определения арифметических операций = {+, -, *, /} Л. А. Заде был

сформулирован Принцип обобщения.
Пусть А и В – два нечетких множества. d: R1	R1 → R1 – некоторая
функция, определяющая арифметическую операцию.
Тогда нечеткое число D=d(A, B) определяется функцией принадлежности:
µD (u) = - [ µA (u) , µB (u) ],	(3.6)

54

sup	min ( µA (u),µB (u))	(3.7)
где Θ[ µA (u),µB (u)] = a S A ,b SB	.
d(a,b)=u

Теперь бинарные операции = {+, -, *, /} можно определить следующим образом:

А В = Υ µD (u) /(a b).	(3.8)
U
При решении прикладных задач мы редко имеем дело с бинарными

арифметическими операциями. Обычно рассматриваются многомерные арифметические выражения.

Пусть, например, D = A/(A+B), где A, B, D – нечеткие числа. Обычно значение D вычисляются в два этапа.

Сначала находят сумму A+B, а затем частное от деления A на (A+B). При этом:

S D′ =	S A	= {d	S A	}, SAB = SA + SB,	(3.9)
	S A + SB
			S AB

где S D′ - обычное множество D–уровня. d – нечеткое число d

µD(d) = µD (d) = sup min{µA (a), µA (a1 ), µB (b)}.

d =a1a+b;a,a1 SA ;b=SB

Если, однако, считать, что в определение D (в числитель и знаменатель) входит одно и то же число A, то должно быть:

	S D′′ = {d: d =			a	, a SA, b SB},	(3.10)
				a + b
	µD′′(d) =		sup		min {µA(a), µB(b)}.
		a	=d ,a S A ,b SB
		a+b

Очевидно, что S D′′ S D′, а значит D′′ D′, где D′ определяется по (3.9),

D′′ по (3.10).

Таким образом, если значением величины D считать нечеткое число D′′, то нечеткое число D′ будет лишь охватывающей оценкой для D.

Заметим, что изложенное будет справедливо и при более сложных нечетких арифметических выражениях.

55

П р и м е р Пусть А и В – нечеткие числа.

≈2: А={0.5/1.8, 1/2, 0.5/2.2}

≈3: B={0.6/2.8, 1/3, 0.4/3.3}

D = A + B = sup {0.5/4.7, 05/4.8, 0.4/5.1, 0.6/4.9, 1/5, 0.4/5.3, 0.5/5.1, 0.5/5.2, 0.4/5.5}= {0.5/4.7, 05/4.8, 0.6/4.9, 1/5, 0.4/5.3, 0.5/5.1, 0.5/5.2, 0.4/5.5}

3.2.2.Сравнение нечетких чисел

Рассмотрим два нечетких числа <A, R1, SA> и <B, R1, SB>, у которых

SA Ι SB ≠ Ø (рис. 3.1).

При решении задачи о выборе можно реализовать разные подходы к выбору четкого значения нечеткого числа, при этом соотношение между четкими значениями нечетких чисел и между именами нечетких чисел могут быть различными. Пусть, например, в первой реализации четкие значения нечетких чисел а1 и b1, во второй а2 и b2. Из рис. 3.1 видно, что в первой ситуации А< B (т.к. a1 < b1), а во второй – А > B (поскольку а2 > b2).

µ(u)

b2 a2 a1 b1 u

Рис. 3.1. Отношение порядка на множестве нечетких чисел

Таким образом, отношение порядка на множестве нечетких чисел является нечетким. Лишь в том случае, когда SA Ι SB = Ø, отношение между числами будет четким, в этом частном случае при любом выборе четкого значения нечеткого числа из условия а1 < b1, всегда следует А < B.

56

Существуют процедуры по вычислению некоторой четкой функции H(A, B) от нечетких аргументов, которые называются индексом ранжирования. Значение индекса для конкретной пары чисел дает основание решить вопрос о том, какое из двух нечетких чисел больше (или с какой степенью больше). Приведем пример индекса ранжирования:

	H(A,B) = H+(A) – H+(B),		H+(A) = ∫1	M (A0 )dA ,	(3.11)
			0
где А0 – α – уровневое подмножество нечеткого множества А.
М(А0) = (а- + а+)/2; a- = inf a;			a+ = sup a.
		a A0	a A0
При этом, если H(A,B) ≥ 0, то A ≥ B.
Данный индекс ранжирования учитывает форму функции
принадлежности.
Пример .
Два	истребителя	противоборствующих			воздушных	армий

руководствуются стратегиями:

А: Если снарядов мало, то вероятность поражения противника малая,

иначе не малая.

В: Если снарядов не мало, то вероятность поражения противника

большая, иначе не большая. Известно, что

мало снарядов = A=(0.8/3, 0.4/15, 0.3/30), малая вероятность = B=(0.1/0.9, 0.5/0.5, 0.8/0.1),

большая вероятность = C = (0.8/0.9, 0.5/0.5, 0.3/0.2).

Количество снарядов не очень мало. Кто победит?

Определим все необходимые для решения задачи нечеткие множества:

не мало снарядов = A = (0.2/3, 0.6/15, 0.3/30).

не малая вероятность = B = (0.9/0.9, 0.5/0.5, 0.2/0.1).

не большая вероятность = C = (0.2/0.9, 0.5/0.5, 0.7/0.2). x = не очень мало = (мало)2

(мало)2 = (0.64/3, 0.16/15, 0.09/30)

57

(мало)2 = (0.36/3, 0.84/15, 0.91/30).

Определим нечеткое отношение стратегии А:

R1 = А×ВΥ A × B

А×В =	0.1	0.5			0.8												×		=		0.2			0.2	0.2
	0.1	0.4			0.4																0.6			0.5	0.2
														A				B
	0.1	0.3			0.3																0.3			0.3	0.2
R1 = А×ВΥ			×						0.2	0.5	0.8
						=			0.6	0.5	0.4
		A		B
									0.3	0.3	0.3
y1 = x○R1 = 0.36					0.84					0.91○			0.2				0.5			0.8				= (0.6/0.9, 0.5/0.5, 0.4/0.1).
													0.6				0.5			0.4
													0.3				0.3			0.3

Определим нечеткое отношение стратегии B:

R2 = A ×C ΥA× C

					0.16	0.1			0.06								0.16	0.4	0.56
		×C =			0.48	0.3			0.18					A×		=	0.08	0.2	0.28
	A														C
					0.24	0.15			0.09								0.06	0.15	0.21
R2 =				×C ΥA×				=			0.16		0.4	0.56
											0.48		0.3	0.28
			A				C
											0.24		0.15	0.21

0.16 0.4 0.56

y2 = x○R2 = 0.36 0.84 0.91○ 0.48	0.3	0.28 = (0.48/0.9, 0.36/0.5, 0.36/0.2).
0.24	0.15	0.21

Сравним полученные результаты y1 и y2 между собой, для чего воспользуемся индексом ранжирования H(y1, y2).

H+(y1) = 0.4*(0.1 + 0.9)/2 + 0.5*(0.5 + 0.9)/2 + 0.6*(0.9 + 0.9)/2 = 0.2 + 0.35 + 0.54 = 1.09

H+(y2) = 0.36*(0.2 + 0.9)/2 + 0.48*(0.9 + 0.9)/2 = 0.198 + 0.432 = 0.63 H(y1, y2) = 1.09 – 0.63 = 0.46 > 0.

Таким образом, истребитель со стратегией А победит.

58

3.3. Лингвистические неопределенности

Как уже отмечалось, значения лингвистической переменной являются символами нечетких подмножеств, которые представляют собой фразы или предложения формального или естественного языка.

Например, если U есть набор целых чисел U = (0, 1, 2, . . . , 100) и возраст есть лингвистическая переменная, тогда значения лингвистической переменной могут определяться словосочетаниями: молодой, не молодой, очень молодой, не очень молодой, старый и т.д.

Основная проблема, которая возникает при использовании лингвистической переменной, заключается в следующем: пусть дано значение любого элементарного термина xi, i = 1..n, в составном термине u = x1…xn, который представляет собой значение лингвистической переменной. Требуется вычислить значение u в смысле нечеткого множества.

Рассмотрим более простую задачу – вычисление значения составного термина вида u = hx, где h – неопределенность, а x – термин с фиксированным значением. Например, u = очень высокий человек, где h = очень, а х = высокий человек.

Будем рассматривать h как оператор, который переводит нечеткое множество M(x), представляющее значение x, в нечеткое М(hx). Теперь неопределенность выполняет функцию генерации большого множества значений для лингвистической переменной из небольшого набора первичных элементов. Например, используя неопределенность очень в сочетании с отрицанием НЕ и первичным термином высокий, мы можем генерировать нечеткие множества очень высокий, не очень высокий и т.п.

Для неопределенности h удобно использовать некоторые основные операции, определенные ранее, особенно операции степень, CON, DIL, INT. Покажем, как это можно сделать для естественной неопределенности очень и искусственных неопределенностей плюс и минус. Аналогичным образом можно определить неопределенности больше, меньше, много, слабо, вроде, вполне и

другие.

59

(точно)

(точно)

В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко определенного значения. Она действует как усилитель, генерируя подмножества того множества, к которому она применяется. Аналогичным

образом действует операция концентрирования.	Поэтому очень u, где u –
некоторый термин, может быть определенно как квадрат u, т.е.
оченьu =u 2 = Υµu2 (u) / u .	(3.12)
u

Например, если u = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5),

тогда

очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5).

Рассматриваемый как оператор, очень может сочетаться с самим собой. Так, например:

очень очень маленький = (1/1, 0.4/2, 0.1/3)

Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном термине существенно влияет на результат. Так, например:

2

u = очень не точно =

и

2

u = не очень точно =

не одно и то же.

С другой стороны, не очень точно может быть записано по-разному, хотя результат будет один и тот же.

u = не очень точно = очень_ точно = (точно)2 .

Искусственные неопределенности плюс и минус служат для придания более слабых степеней концентрации и растяжения, чем те, которые определяются операциями CON и DIV.

плюс u = u1.25 =	ΥµU1.25 (u)		/u,		(3.13)
	U
минус u = u0.75 =		ΥµU0.75 (u)		/u.	(3.14)
		U

Вследствие (3.13) и (3.14) мы имеем приближенные тождества, которыми часто пользуются на практике

60