Mtduksi8

Опр.2.7. Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R –

нечеткое отношение с функцией принадлежности µR (x, y) . Обычное отношение,

ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением

0,	если µR (x, y) < 0.5
	если µR (x, y) > 0.5
µR (x, y) = 1,

0 или1,если µR (x, y) = 0.5

По договоренности принимаютµR (x, y) = 0 при µR (x, y) = 0,5 .

Опр.2.8. Обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения. Пусть

α [0,1]. Обычным подмножеством α-уровня нечеткого отношения R Χ× Χ

~

будем называть обычное подмножество

Gα = (x, y) | µR (x, y) ≥α	(2.7)
~

Примеры 1. Для отношения, приведенного ниже, обычное подмножество α-уровня

G0,8 ={(x1, y2 ),(x1, y3),(x2, y2 ),(x2, y4 ),(x3, y1)}

R1	y1	y2	y3	y4
x1	0.3	0.8	-	0
x2	0.5	1	0.3	0.9
x3	1	0.2	0.6	0.7

2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное формулой

µR (x, y) =1−1+ x21+ y2

~

Подмножество уровня 0.3 будет определяться условием

	1−			1		≥ 0,3 или x2	+ y2	≥ 3/ 7.
		1		+ x2	+ y2

Это подмножество – внешность круга радиуса r = 3/ 7 , включая его границу – окружность.

31

Опр.2.9. Первая проекция нечеткого отношения R определяется

функцией принадлежности µR(1) (x) = max µR (x, y) . Аналогично вторая проекция -

y

µR(2) ( y) = max µR (x, y) .

x

Опр.2.10. Вторая проекция первой проекции (или наоборот) называется глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначается h(R). Таким

образом, h(R) = max max µR (x, y) = max max µR (x, y) .
x y	y x

Если h(R)=1 – отношение нормально, если h(R) < 1 – субнормально.

Пример

Вычислим первую, вторую и глобальную проекции отношения R,

заданного матрицей.
R y1		y2	y3	y4			1-я
x1	0.1	0.2	1	0.3			1
x2
	0.6	0.8	0	0.1			0.8
x3
	0	1	0.3	0.6			1
x4
	0.8	0.1	1	0			1
x5
	0.9	0.7	0	0.5			0.9
x6
	0.9	0	0.3	0.7			0.9
2-я
	0.9	1	1	0.7			h(R)=1

Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.

Опр.2.11. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений A и B на U характеризуется функцией принадлежности вида

µAB (x, z) = max min{µA (x, y), µB ( y, z)}	(2.7)
y U

Опр.2.12. Минимаксная композиция нечетких отношений A и B на U

(обозначаетсяA°B) определяется функцией принадлежности вида

32

µAοB (x, z) = min max{µA (x, y), µB ( y, z)}	(2.8)
y U

Опр.2.13. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений

A и B на U есть нечеткое отношение A*B с функцией принадлежности вида

µA*B (x, z) = sup{µA (x, y) µB ( y, z)}	(2.9)
y U

Пример

Пусть заданы два нечетких отношения A и B на U, состоящем из двух элементовU={u1, u2}, где матрицы нечетких отношений таковы:

µA (x, y) =	0.2	0.6	,	µB ( y, z) =	0.5	0.7
	0.5	0.8			0.3	1

Тогда композиция (произведение) нечетких отношений определяется так: а) максиминная R12 = A B

0.30.6

µA B (x, z) = 0.5 0.8

б) минимаксная R22 = A οB

0.50.7

µA B (x, z) = 0.5 0.7

в) максимультиплекативная R32 = A* B

0.180.6

µA B (x, z) = 0.25 0.8

2.3.Свойства нечетких отношений

Опр.2.14. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется рефлексивным наU, если выполняется условие µR (x, x) =1, (x, x) U ×U

Примеры рефлексивных отношений

1. Интуитивно понятно, что отношения «у примерно равно x», «y близко x» являются рефлексивными.

33

2. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D} матрицей. По виду матрицы понятно, что отношение R рефлексивно – на главной диагонали стоят 1.

R		A	B	C	D
A		1	0	0.2	0.3
B
		0	1	0.1	1
C
		0.2	0.7	1	0.4
D
		0	1	0.4	1
Опр.2.15.				Антирефлексивность. Нечеткое отношение R на U

антирефлексивно, если µR (x, x) = 0, x U (Например, R - много больше)

Опр.2.16. Симметричность. Нечеткое отношение R на U симметрично,

если для всех (x, y) U ×U : µR (x, y) = µR ( y, x) .

Примеры

1. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D,E}. Матрица симметричного отношения симметрична.

R	A	B	C	D	E
A	0	0.1	0	0.1	0.9
B	0.1	1	0.2	0.3	0.4
C	0	0.2	0.8	0.8	1
D	0.1	0.3	0.8	0.1	1
E	0.9	0.4	1	1	0

2. Пусть R - множество действительных чисел. Тогда отношение «y близко к x» интуитивно воспринимается как нечеткое симметричное отношение в R × R.

Опр.2.17.	Отношение	R	антисимметрично,	если
(x, y) U ×U при x ≠ y :	µR (x, y) ≠ µR ( y, x) или µR (x, y) = µR ( y, x) = 0

Опр.2.18. Отношение R совершенно антисимметрично, если из того, что

(x, y) U ×U при x ≠ y µR (x, y) > 0 следует µR ( y, x) = 0 .

34

Опр.2.19. Пусть x, y, z U, нечеткое отношение R транзитивно, если

(x, y),( y, z),(x, z) U ×U : µR (x, z) ≥ max[min(µR (x, y), µR ( y, z))]						(2.10)
					y
Примеры транзитивных отношений
1. Данное отношение R транзитивно. Покажем это.
R	A	B	C	D
A	0.2	1	0.4	0.4
B
	0	0.6	0.3	0
C
	0	1	0.3	0
D
	0.1	1	1	0.1

Чтобы проверить транзитивность, для конечного множества U мощности n, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции принадлежности, нужно выполнить n2 раз n операций.

Дуга (А,А).

µ(А,А) µ(А,А) = 0,2 0,2 = 0,2

µ(А,В) µ(В,А) = 1 0 = 0

µ(А,С) µ(С,А) = 0,4 0 = 0

µ(А,D) µ(D,А) = 0,4 0,1 = 0,1 MAX[0.2;0;0;0.1]=0.2

µ(А,А)=0.2>=0.2

Дуга (А,B).

µ(А,А) µ(А,B) = 0,2 1 = 0,2

µ(А,В) µ(В,B) = 1 0,6 = 0,6

µ(А,С) µ(С,B) = 0,4 1 = 0,4

µ(А,D) µ(D,B) = 0,4 1 = 0,4 MAX[0.2;0,6;0,4;0.4]=0,6

µ(А,В)=1 >= 0,6

и т.д.

35

2.Следующие нечеткие отношения транзитивны: «Y много больше X», «А чище, чем В».

Отношения «X - дальний родственник Y», «X похож на Y» нетранзитивны. Здесь все зависит от характера функции принадлежности, оценивающей сходство. Так, например, может случиться так, что «X похож на Y» и «Y похож

на Z», но X не обязательно похож на Z.

3.Рассмотрим отношение хRу, где х, у N, задаваемое функцией принадлежности

µR (x, y) = e−k ( x−y)2

при значениях k > 1 и достаточно больших для того, чтобы эта функция принадлежности выражала отношение «x и у очень близки друг к другу». Покажем, что данное нечеткое отношение нетранзитивно.

Если сравнить матрицу данного отношения с матрицей, в которой приведены результаты вычисления правой части условия транзитивности (2.10), то можно убедиться, что условие транзитивности выполняется не для всех пар.

R

0

1

2

3

4

5

6

7

Λ

~

0

1

e−k

e−4k

e−9k

e−16k

e−25k

e−36k

e−49k

Λ

1

e−k

1

e−k

e−4k

e−9k

e−16k

e−25k

e−36k

Λ

2

e−4k

e−k

1

e−k

e−k4

e−9k

e−16k

e−25k

Λ

3

e−9k

e−4k

e−k

1

e−k

e−4k

e−9k

e−16k

Λ

4

e−16k

e−9k

e−4k

e−k

1

e−k

e−4k

e−9k

Λ

5

e−25k

e−16k

e−9k

e−4k

e−k

1

e−k

e−4k

Λ

6

e−36k

e−25k

e−16k

e−9k

e−4k

e−k

1

e−k

Λ

7

e−49k

e−36k

e−25k

e−16k

e−9k

e−4k

e−k

1

Λ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Ο

36

RοR 0

1

2

3

4

5

6

7

Λ

~~

0	1	e−k	e−k	e−4k	e−4k	e−9k	e−9k	e−16k	Λ
1	e−k	1	e−k	e−k	e−4k	e−4k	e−9k	e−9k	Λ
2	e−k	e−k	1	e−k	e−k	e−4k	e−4k	e−9k	Λ
3	e−4k	e−k	e−k	1	e−k	e−k	e−4k	e−4k	Λ
4	e−4k	e−4k	e−k	e−k	1	e−k	e−k	e−4k	Λ
5	e−9k	e−4k	e−4k	e−k	e−k	1	e−k	e−k	Λ
6	e−9k	e−9k	e−4k	e−4k	e−k	e−k	1	e−k	Λ
7	e−16k	e−9k	e−9k	e−4k	e−4k	e−k	e−k	1	Λ

ΜΜ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ο

Следовательно, данное отношение нетранзитивно.

Теперь рассмотрим случай, когда отношение транзитивно, а множество U счетно.

Пример 4. Рассмотрим отношение хRу, где х, у N, определяемое

0, y < x

функцией принадлежности µR (x, y) = e−x , y ≥ x

R		0		1		2		3		4		5		6		7		Λ
~
0		1		1		1		1		1		1		1		1		Λ
1		0		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		Λ
2		0		0		e−2		e−2		e−2		e−2		e−2		e−2		Λ
3		0		0		0		e−3		e−3		e−3		e−3		e−3		Λ
4		0		0		0		0		e−4		e−4		e−4		e−4		Λ
5		0		0		0		0		0		e−5		e−5		e−5		Λ
6		0		0		0		0		0		0		e−6		e−6		Λ
7		0		0		0		0		0		0		0		e−7		Λ
Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Ο

RοR		0		1		2		3		4		5		6		7		Λ
~
0		1		1		1		1		1		1		1		1		Λ
1		0		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		e−1		Λ
2		0		0		e−2		e−2		e−2		e−2		e−2		e−2		Λ
3		0		0		0		e−3		e−3		e−3		e−3		e−3		Λ
4		0		0		0		0		e−4		e−4		e−4		e−4		Λ
5		0		0		0		0		0		e−5		e−5		e−5		Λ
6		0		0		0		0		0		0		e−6		e−6		Λ
7		0		0		0		0		0		0		0		e−7		Λ
Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Μ		Ο

Сравнив матрицу этого отношения и матрицу композиции отношений, можно убедиться, что условие транзитивности (2.10) выполняется для всех пар. Следовательно, данное отношение транзитивно.

2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

Пусть R - нечеткое отношение в U×U. Определим

37

R2 = RοR

(2.11)

~~

сфункцией принадлежности

µ

R

2

(x, z) = MAX

MIN(µ

(x, y), µ ( y, z))

(2.12)

y

~

~

~

где x, y, z U .

Свойство (2.10), определяющее транзитивность, можно также

представить следующим образом:

R οR R

(2.13)

Из этого видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения

зависит от способа определения композиции нечетких отношений.

Предположим, что

R2 R ,

(2.14)

и Rk +1 Rk , k=1,2,3,…

(2.15)

Тогда очевидно, что

Rk

R , k = 1,2,3,…

(2.16)

Опр.2.20. Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения

будем называть отношение

€

2

R

3

...

(2.17)

R

= R R

Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть

транзитивное бинарное отношение.

Доказательство. Согласно (2.17) можно записать

€2

€

€

= R

2

R

3

R

4

...

(2.18)

R

= R

οR

тогда сравнивая (2.17) и (2.18.9), можно записать

€2

€

(2.19)

R

R

что и доказывает транзитивность R.

Подводя итоги, получаем следующие свойства:

(R R

€

(2.20)

2

) (R = R) R транзитивно

(R = R

€

R транзитивно

(2.21)

2

) (R = R)

Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для любого отношения.

38

Теорема 2. Пусть R - некоторое нечеткое бинарное отношение. Если для некоторых k имеем

Rk +1 = Rk

(2.22)

то

€	= R R	2	... R	k	(2.23)
R

Заметим, что обратное утверждение неверно. Доказательство почти тривиально.

2.5. Специальные типы нечетких отношений

2.5.1.Нечеткие отношения предпорядка

Опр. 2.21. Нечетким отношением предпорядка называется бинарное

нечеткое отношение, обладающее свойствами транзитивности и рефлексивности.

Для нечетких отношений предпорядка справедливы следующие теоремы. Теорема 3. Если R — транзитивно и рефлексивно (т. е. предпорядок), то

Rk = R, k , (k=1,2,3…)

Доказательство. Достаточно обратиться к определению транзитивности и показать, что если

x : µR (x, x) =1,

то

R2 = R

поскольку

R2 = R οR

то согласно (2.7) имеем

µR2	(x, z) = max min{µA (x, y), µB ( y, z)}	(2.24)
	y U

Правая часть содержит два равных члена

min{µR (x, x), µR (x, z)} = min{µR (x, z), µR (z, z)} =µR(x, z)

Поскольку в силу рефлексивности

µR (x, x) = µR (x, z) =1

39

R - транзитивное отношение, т.е.

µR (x, z) ≥ max[min{µR (x, y), µR ( y, z)}]

y

и поэтому µR (x, z) - значение правой части (2.24), и мы действительно имеем

					R2 = R.
Теорема 4. Если R - предпорядок, то
R =	R	2	= ... = R	k	€	(2.25)
					= R

Доказательство. Это следствие из теоремы 3.

Пример отношения предпорядка

1. На рисунке изображен предпорядок R = {A, B, C, D, E}.

R		A		B		C		D		E
A		1		0.7		0.8		0.5		0.5
B		0		1		0.3		0		0.2
C		0		0.7		1		0		0.2
D		0.6		1		0.9		1		0.6
E		0		0		0		0		1

Его транзитивность можно проверить с помощью соотношения

R2 R .

Рефлексивность непосредственно следует из существования единиц на главной диагонали.

Наконец, можно проверить, что действительно

R2 = R .

2.5.2.Нечеткие отношения порядка

Опр. 2.22. Нечетким отношением порядка называется бинарное

отношение, которое: рефлексивно; транзитивно; антисимметрично (будем также говорить просто отношение порядка).

Можно также дать следующее определение: антисимметричное нечеткое отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.

Примеры отношений порядка

40