Mtduksi8

1. Ниже представлены нечеткие отношения порядка R1 и R2. Можно проверить, что они действительно рефлексивны, транзитивны и антисимметричны.

R1		A		B		C		D
A		1		0.8		0		0
B		0.2		1		0		0
C		0.3		0.4		1		0.1
D		0		0		0		1

R2		A		B		C		D
A		1		0.8		0.8		0.8
B		0.5		1		0.6		1
C		0.5		1		1		1
D		0.5		0.6		0.6		1

2. Отношение xRy , где x, y Ν , есть нечеткое отношение порядка.

R	0	1	2	3	4	5	Λ
0	1	e−1	e−2	e−3	e−4	e−5	Λ
1	0	1	e−3	e−4	e−5	e−6	Λ
2	0	0	1	e−5	e−6	e−7	Λ
3	0	0	0	1	e−7	e−8	Λ
4	0	0	0	0	1	e−9	Λ
5	0	0	0	0	0	1	Λ

ΜΜ Μ Μ Μ Μ Μ Ο

2.5.3.Отношение подобия

Опр. 2.23. Отношение подобия, или нечетким отношением

эквивалентности, называется нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами: транзитивности, рефлексивности, симметричности. Очевидно, что это предпорядок.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры отношений подобия 1. Рассмотрим отношение, представленное ниже. Можно

непосредственно убедиться, что оно рефлексивно и симметрично. Для проверки транзитивности достаточно подсчитать R2. Тогда должны иметь R2 = R .

41

R		A		B		C		D		E
A		1		0.8		0.7		1		0.9
B		0.8		1		0.3		0.8		0.8
C		0.7		0.7		1		0.7		0.7
D		1		0.8		0.7		1		0.9
E		0.9		0.8		0.7		0.9		1

2. Если в данном отношении положить 0 ≤ а ≤1,

то имеем отношение

подобия.

R

A

B

C

D

E

A

1

a

a

a

a

B

a

1

a

a

a

C

a

a

1

a

a

D

a

a

a

1

a

E

a

a

a

a

1

3.

Если

в

отношении,

представленном

ниже,

положить

0 ≤ a1 ≤ a2

≤ ... ≤ ak

≤ ... ≤1,

то это отношение подобия, определенное на

бесконечном множестве U.

R

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Λ

x1

1

a1

a1

a1

a1

a1

a1

Λ

x2

a1

1

a2

a2

a2

a2

a2

Λ

x3

a1

a2

1

a3

a3

a3

a3

Λ

x4

a1

a2

a3

1

a4

a4

a4

Λ

x5

a1

a2

a3

a4

1

a5

a5

Λ

x6

a1

a2

a3

a4

a5

1

a6

Λ

x7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

1

Λ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Ο

4. Нечеткое отношение xRy , где x, y R+, определяемое функцией

принадлежности

	−k ( y+1)	,	y < x,	k >1
e
µR (x, y) =	1,		y = x	(2.26)
	−k ( x+1)	,	y > x,	k >1
e

есть отношение подобия.

Теорема 1. Пусть R U ×U - отношение подобия. Пусть также x, y, z – три элемента множества U. Положим

42

c = µR (x, z) = µR (z, x)
	(2.27)
a = µR (x, y) = µR ( y, x)
b = µR ( y, z) = µR (z, y)

Тогда

c ≥ a= b, или a ≥ b= c или b ≥ c = a.

Другими словами, из этих трех величин a, b, c по крайней мере две величины равны друг другу, а третья больше всех остальных.

2.5.4.Отношения различия.

Рассмотрим отношение подобия R, определенное в 2.5.3. Для удобства

напомним здесь три свойства подобия:

1) (x, y),( y, z),(z, x) U ×U : µR (x, z) ≥ max[min{µR (x, y), µR ( y, z)}]

- транзитивность,

y

2) (x, x) U ×U : µR (x, x) =1 - рефлексивность,

3) (x, y) U ×U : µR (x, y) = µR ( y, x) - симметрия.

Теперь с R свяжем отношение

, такое, что

R

(x, y) U ×U : µ

(x, y) =1− µR (x, y)

(2.28)

R

Зная, что отношение R обладает свойствами 1)-3), можно определить и

свойства отношения

. Начнем со свойства транзитивности.

R

Имеем:

1− µ

(x, z) ≥ max[min{[1− µ

(x, y)],[1− µ

( y, z)]}]

(2.29)

R

R

R

y

но согласно теореме де Моргана

min{[1− µ

(x, y)],[1− µ

( y, z)]} =1− max{µ

(x, y), µ

( y, z)}

(2.30)

R

R

R

R

Таким образом, (2.29) можно переписать в виде

1− µ

(x, z) ≥ max[1− max{µ

(x, y), µ

( y, z)}]

R

R

R

y

или

µ

(x, z) ≤ min[max{µ

(x, y), µ

( y, z)]

R

R

R

y

это свойство называется (min – max)-котранзитивностью. В силу 2) имеем µR (x, x) =1− µR (x, x) =1−1 = 0

И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем

43

µ

(x, z) ≤ min[max{µ

(x, y), µ

( y, z)] - (min - max)-котранзитивность,

(2.31)

R

R

R

y

µ

(x, x) =1− µ

(x, x) =1

−1 = 0

- антирефлексивность,

(2.32)

R

R

(x, y) U ×U : µ

(x, y)

= µ

( y, x) - симметрия.

(2.33)

R

R

Опр. 2.24. Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами (2.31)

– (2.33), называется отношением различия.

Пример 1. На рисунке представлено отношение различия (кроме того, отношение

R совпадает с отношением подобия R примера 1 из 2.5.3.).

R		A		B		C		D		E
A		0		0.2		0.3		0		0.1
B		0.2		0		0.3		0.2		0.2
C		0.3		0.3		0		0.3		0.3
D		0		0.2		0.3		0		0.1
E		0.1		0.2		0.3		0.1		0

2.5.5.Отношения сходства и несходства

Опр. 2.25. Отношение R, такое, что

1)(x, x) U ×U : µR (x, x) =1 - рефлексивность,

2)(x, y) U ×U : µR (x, y) = µR ( y, x) - симметрия ,

называется отношением сходства.

Примеры отношений сходства 1. На рисунке приведен пример отношения сходства.

R		A		B		C		D		E
A		1		0.1		0.8		0.2		0.3
B		0.1		1		0		0.3		1
C		0.8		0		1		0.7		0
D		0.2		0.3		0.7		1		0.6
E		0.3		1		0		0.6		1

2. Отношение µR (x, y) = e−k ( x−y)2 , x, y Ν,

как мы уже видели в примере 3 из п. 2.3, нетранзитивно, но оно рефлексивно и симметрично, поэтому есть отношение сходства.

44

Опр. 2.26. Отношение R, такое, что

1)(x, x) U ×U : µR (x, x) = 0 - антирефлексивность

2)(x, y) U ×U : µR (x, y) = µR ( y, x) - симметрия

называется отношением несходства.

Рассмотрим очевидное свойство. Если R – отношение сходства, то R - отношение несходства и наоборот.

45

Контрольные вопросы

1.Дайте определение нечеткого отношения.

2.Определите свойства нечетких отношений.

3.Дайте понятие транзитивного замыкания нечеткого отношения.

4.Дайте определение обычного отношения, ближайшего к нечеткому?

5.Дайте определения композиции отношения.

6.Какое нечеткое отношение называется обратным?

7.Что такое первая, вторая и глобальная проекции нечеткого отношения?

8.Какие специальные типы нечетких отношений Вы знаете?

9.Приведите пример отношения подобия.

10.Выведите свойства для отношения различия.

11.Какими свойствами обладает отношение «A красивее, чем B»?

46

Упражнения

1. Пусть даны нечеткие отношения.

	R	y	y	y	y	R	a	b	c	d
		1	2	3	4
	x1	0	0.5	0	0.5
						a	0.3	1	0.2	0.1
	x2	1	0	0.5	0.5	b
							0.9	0.2	0	0.5
	x3	1	0	0	1	c
							0.8	0.1	0.8	0.9
	x4	0	0	0	0	d
							0.9	0.5	1	0.9
						e	0.5	0	0.7	0.7

Для каждого из данных отношений найдите:

1)носитель нечеткого отношения;

2)обычное отношение, ближайшее к нечеткому;

3)обратное отношение;

4)обычное подмножество α-уровня нечеткого отношения при α=0.5;

5)первую, вторую и глобальную проекции нечеткого отношения.

2.Пусть даны нечеткие отношения

а)	хRу, где х, у R, и	µR (x, y) =	1							, k >1
			1+ k(x − y)2
б)	хRу, где х, у R, и	µR (x, y) =	1						, k >1
				1+ k		x − y

Для каждого из данных отношений найдите:

1)носитель нечеткого отношения;

2)первую, вторую и глобальную проекции нечеткого отношения.

47

3. Пусть даны следующие нечеткие отношения
R1	y1	y2	y3	y4	R2	y1	y2	y3		y4	R3	y1	y2	y3	y4
x1	0	0.1	0	0.4	x1	0.1	0	0.2		0.5	x1	0.5	0	0.2	0
x2	0.5	1	0	0.7	x2	0	1	0.1		1	x2	0	1	0.1	0.2
x3	0.8	0.9	0.9	1	x3	0.9	0.4	0.7		0	x3	0.9	0.4	0	1

Подсчитайте

1) R1 ∩ R2 2) R1 R3 3) R1 ∩ R2 ∩ R3 4) R1 ∩(R2 ∩ R3 )

4. Для следующих отношений найдите (max-min) – композицию.

R1	y1	y2	y3	y4	y5	R2	z1	z2	z3	z4
x1	0	0.2	0	0.2	1	y1	0.5	0.8	0	0.7
x2	1	0.5	0.4	1	0.4	y2	0.7	0	0.5	0.8
x3	0.7	0	0.5	0	0.9	y3	1	1	1	0
						y4	0.5	0.2	0	0.4
						y5	0.9	0.7	0.8	0.7
R3	t1	t2	t3	t4	t5
z1	0.8	0	0.2	0.8	1
z2	0.9	0.2	0	0.1	0
z3	1	0.5	0.7	0	0.4
z4	0.4	1	0	0.4	0.9

1) R1 οR2 2) R2 οR1 3) R3 οR2 οR1

5.Проверьте, является ли отношение, приведенное в примере 2 п. 2.5.2 отношением порядка.

48

6.Убедитесь, что отношение, приведенное в примере 4 п. 2.5.3 является отношением подобия.

7.Является ли отношение, заданное матрицей R, отношением сходства? Ответ обоснуйте.

R1	y1	y2	y3	y4	y5
x1	1	0.1	0.5	0.7	1
x2	0.1	1	0	1	0.1
x3	0.5	0	1	0.3	0.5

8. Сформулируйте и запишите нечеткие отношения предпочтения между элементами множеств X и Y, Y и Z.

X= {лес, кирпич, шлакоблоки},

Y= {железо, шлакобетон, брус},

Z= {шлакоблоки, ракушечник, бетон}.

49

3. Нечеткая и лингвистическая переменные

3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных

Целью введения нечеткого множества чаще всего является формализация нечетких понятий и отношений естественного языка (ЕЯ). Данную формализацию можно выполнить, воспользовавшись понятиями нечеткой и лингвистической переменных.

Опр.3.1. Нечеткой переменной называется совокупность (кортеж) вида

~

<X,U, X>, где

X – наименование нечеткой переменной.

U = {u} область ее определения (универсальное множество);

~	Υ µ ~ (u) / u - нечеткое множество на U, описывающее ограничения
X =
	u U	X
(т.е. µ ~ (u) )	на значения нечеткой переменной X.

X

Опр.3.2. Лингвистической переменной (ЛП) называется кортеж вида <β,

T, U, G, M>, где

β– наименование лингвистической переменной

Т– множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество U. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной

G – синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из элементов множества Т новых, осмысленных для данной задачи значений лингвистической переменной (терм).

М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

50