Mtduksi8

Контрольные вопросы

1.Дайте определение нечеткого множества.

2.Какое множество называется субнормальным? Как субнормальное множество можно привести к нормальному виду?

3.Приведите определение высоты, носителя и точек перехода нечеткого множества.

4.Какие методы построения функции принадлежности Вы знаете?

5.Опишите физический смысл функции принадлежности.

6.Определите логические операции над нечеткими множествами.

7.Перечислите свойства логических операций. В чем заключается отличие свойств логических операций над нечеткими множествами и логических операций над обычными множествами?

8.Определите алгебраические операции над нечеткими множествами.

9.Перечислите свойства алгебраических операций.

10.Дайте определение оператора увеличения нечеткости нечеткого множества.

21

Упражнения

1.Дано нечеткое множество A = (0.4/яблоко; 0.3/груша; 0.7/слива; 0.2/ранет; 0.5/вишня; 0.8/черешня; 1/манго).

Определите:

−носитель нечеткого множества A;

−высоту нечеткого множества A;

−точки перехода A;

−α-уровневое подмножество А0,3;

−разложение нечеткого множества A.

2.На универсальном множестве U = {a, b, c, d, e, f, g} даны нечеткие множества

A = (0.3/a; 0.4/b; 0.55/c; 0.7/d; 0.9/e; 1/f; 0.5/g) В = (0.3/a; 0.4/b; 0.3/c; 0/d; 0,9/e; 0.8/f; 0.5/g) С= (1/a; 0.5/b; 0.5/c; 0.2/d; 0/e; 0.2/f; 0.9/g) .

Определите:

1) A ∩ B, B C, (A ∩ B) C, B С, A − B ∩C , A - B, B C

2) C × B, A × C × B, (А В) С, (А+В) С, DIL B, INT B, CON C,

2)Пусть K(a) = 1/a + 0.4/b; K(b) = 1/b + 0.4/c + 0.4/d; K(c) = 1/c + 0.5/e; K(d) = 1/d, K(e) = 1/e + 0.4/d; K(f) = 1/a + 0.4/c + 0.4/f; K(g) =1/d + 0.4/e + 0.4/g. Вычислите Ф(А,К).

3.Докажите все свойства логических операций над нечеткими множествами.

4.Упростите выражение (A ∩((B ∩C) (A ∩C))) C .

5.Пусть универсальное множество U представляет собой множество дисциплин, преподаваемых на специальности 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Переменная u, принимающая значения на этом множестве, интерпретируется как дисциплина.

22

U = {программирование, дискретная математика, история, операционные системы, базы данных}

Определить значения функции принадлежности нечеткого множества А, обозначающего понятие « пригодится в работе»:

1)методом парных соотношений,

2)частотным методом.

23

2. Нечеткие отношения и операции над ними

Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения, вспомним обычные отношения и их свойства.

Опр. Отношением R на множестве X называется некоторое подмножество декартова произведения X×X.

В соответствии с этим определением задать отношение R на множестве X означает указать все пары (x,y), которые связаны отношением R. Для обозначения того, что элементы (x,y) связаны отношением, будем пользоваться следующими двумя эквивалентными формами записи: xRy или (x,y) R .

Если множество X, на котором задано отношение R, конечно, то отношение задается в двух формах:

1) в матричной

R = rij , i = 1,m, j = 1,n

1, если(xi , x j ) R

rij = 0, в противномслучае

2) в графовой

Пусть на множестве X×X заданы два отношения A и B , множество

A определяется матрицей A = aij , а B -матрицей B = bij .

Тогда рассмотрим отношение C=A B, которое является объединением

двух отношений:					.
ЕслиD является пересечением отношенийA иB , то											.
Опр. Отношение					B включает в себя отношение				A, если для

соответствующих множеств A X×X и B X×X выполняется условие A B.

24

Опр. Если между x и y существует отношение R, то обратным к нему называется такое отношение R-1, что xR-1y существует тогда и только тогда,

когда yRx. Если при этом	A =		aij		, A−1 =		aij		- матрицы этих отношений, то
элементы этих матриц связаны соотношением aij = a ji , i, j =											.
										1,n
Опр. Произведение	(композиция)								отношений A B на декартовом

произведении X×X определяется следующим образом: C=A B тогда и только тогда, когда существует такой z X, для которого выполнены одновременно отношения xAz и zBy. При этом элементы матриц отношений связаны следующим образом

cij = max min{aik ,bkj }

k

Основные свойства отношений:

1. Отношение R рефлексивно, если (x,x) R или xRx для любого x R. Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел – отношение≥ ('больше-равно').

2. Отношение R на X×X антирефлексивно, если из того, что xRy следует x≠y. В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1,

аантирефлексивного - 0.

3.Отношение R симметрично, если из того, что xRy следует yRx. Матрица симметричного отношения - симметричная. Отношение называется антисимметричным, если из того, что xRy и yRx, следуетx=y.

4.Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:

R R R

2.1. Нечеткие отношения.

Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства. Опр.2.1. Нечетким отношением R на универсальном множестве U =

U1×U2 называется нечеткое подмножество декартова произведения U1×U2,

которое характеризуется такой функцией принадлежности µR(x,y), что

25

µR	. Причем	µR(x,y) принимается как субъективная мера выполнения
U1 ×U 2 →[0,1]
отношения xRy.
Или другой способ записи:
R = U		µR (x, y) /(x, y)	(2.1)
	( x, y) U1*U 2
В общем	случае	n-арное отношение есть	нечеткое подмножество R

декартового произведения универсальных множеств U1× U2×…..× Un , причем

R =	U	µR (x1 ,..., xn ) /(x1 ,..., xn )	(2.2)
	( x1 ,...,xn ) U1×U 2 ×....×Un

Примеры . 1. Пусть заданы:

а) четкое отношение R1 (≥, x ≥ y), где x [0,1]; б) нечеткое отношениеR2 (>>, x >> y)

Рис.2.1. Примеры задания отношений R1 (≥, x ≥ y) и R2 (>>, x >> y)

На рис. 2.1а приведены пары (x,y) из интервала [0,1], связанные отношением R1, то есть такие, что x ≥ y. Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение R2: x>>y на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары (x,y), которые можно определенно отнести ко множеству R2 (например, точка (0.9, 0.01)), а также те, которые определенно не принадлежатR2 (например, (0.01,0.9))

Кроме того, имеется несчетное множество пар (x,y), о принадлежности которых к множеству R2 можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка (0.8, 0.6)). Поэтому нечеткое множество

26

R2 характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества R2, и степень принадлежности µR2 (x, y) пары (x,y) следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 2.1б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения R2 при фиксированном х0.

Соответствующее семейство функций µR2				(x0 , y) приведено на рис. 2.1в.
Если нечеткое отношение R на X конечно,	то его функция принадлежности
µR (x, y) задается в виде квадратной матрицы		rij		,i, j =		с элементами rij [0,1].
					1, n

Если rij = α, то это означает, что степень выполнения отношения xiRxj равнаα.

2. Пусть X = Y					= (-∞;	∞). Отношение x>>y можно задать функцией
принадлежности
0,					, если x ≤ y
		1
µR =					, если y < x
		+ (1/(x − y)	2	)
1
3. Пусть U1={x1, x2, x3},						U 2 ={y1, y2,				y3, y4}, M=[0,1]. Нечеткое отношение
R может быть задано, к примеру, в виде таблицы:
					R			y1	y2	y3	y4
					x1			0	0	0.1	0.3
					x2
								0	0.8	1	0.7
					x3
								1	0.5	0.6	1

4. Нечеткое отношение R , для которого µR (x, y) = e−k ( x−y)2 , при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа»

Опр.2.2. Носителем нечеткого отношения R на множестве U называется подмножество декартова произведения U1×U2, определяемое так:

supp R = {(x, y) : µR (x, y) > 0, x U1 , y U 2 }

(2.3)

Примеры

1. Пусть нечеткое отношение R задано в виде:

27

R	y1	y2	y3	y4
x1	0.1	0	0.2	0
x2	0.3	0	0	0.9
x2	0.4	0.7	1	1

Тогда носитель данного отношения будет иметь вид:

S(R) ={(x1 , y1 ),(x1 , y3 ),(x2 , y1 ),(x2 , y4 ),(x3 , y1 ),(x3 , y2 ),(x3 , y3 ),(x3 , y4 )}

2. Рассмотрим отношение x R y , где x R+ , y R+ и

				~
	−( y−x)2			,		y − x				≤ 0,46
e
µR (x, y) =
	0,		y − x					> 0,46

Тогда имеем

S(R) ={(x, y) | 0 ≤ y − x ≤ 0,46}

~

2.2. Операции над нечеткими отношениями

Опр.2.3. Пусть на множестве U1×U2 заданы два нечетких отношения A и B с функциями принадлежности µA(x,y), µB(x,y). Тогда множество C = A B представляет собой объединение нечетких отношений A и B на множестве U, если его функция принадлежности определяется выражением

µС (x, y) = max{µA (x, y), µB (x, y)}	(2.4)
Аналогично множество D = A ∩ B является пересечением нечетких
множествA иB, если
µD (x, y) = min{µA (x, y), µB (x, y)}	(2.5)

Примеры

1. Ниже в виде таблиц определены отношения R1 и R2 ,а также объединение и пересечение этих отношений.

R1	y1	y2	y3	y4	R2	y1	y2	y3	y4
x1	0.3	0.4	0.2	0	x1	0.3	0	0.7	0
x2	0.8	1	0	0.2	x2	0.1	0.8	1	1
x3	0.5	0	0.4	0	x3	0.6	0.9	0.3	0.2

28

R1 R2 y1		y2	y3	y4	R1 ∩R2 y1			y2	y3	y4
x1	0.3	0.2	1	0		x1	0.3	0	0.7	0
x2	0.8	1	1	1		x2	0.1	0.8	0	0.2
x3	0.6	0.9	0.4	0.2		x3	0.5	0	0.3	0
2. На рис. 2.2а изображено						нечеткое отношение x R1 y , x R+ и y R+ ,
										~

содержательно означающее, что «числа x и y очень близкие».

µ1(δ)

δ= y-x

Рис. 2.2а

µ2(δ)

δ= y-x

Рис. 2.2б

1 µ3(δ)
α	δ= y-x
Рис. 2.2.в

На рис. 2.2б изображено нечеткое отношение x R2	y , x R+ и	y R+ ,
~
содержательно означающее, что «числа х и у очень различные».
Объединением отношений R1 и R2 является	отношение	x R3 y ,
		~

содержательно означающее «числа х и у очень близкие или/и очень различные» и определяющееся кривой µR3 (x, y) :

µR
	(x, y) = µ
3
~		µ

R1

~

R2

~

0,	| y − x |< 0
(x, y),	0 ≤| y − x |≤ α
(x, y)	α ≤| y − x |

где α – такое значение |y – x|, при котором

µR1 (x, y) = µR2 (x, y)

Влогике основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде

«числа х и у очень близкие или/и очень различные» должно быть сокращено до «х и у очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об х и у нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга. Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

29

Опр.2.4. Нечеткое отношение B включает в себя (или содержит)

нечеткое отношениеA (A B), если для них выполняется соотношение

		µA (x, y) ≤ µB (x, y), x, y X									(2.6)
Примеры
1.	Легко проверить, что R1 содержит R2.
	R1	y1	y2	y3	y4		R2	y1	y2	y3	y4
	x1	0.3	0.4	0.2	0		x1	0.4	0.4	0.2	0.1
	x2	0.5	0	1	0.9		x2	0.5	0	1	1
	x3	0.4	0	0.1	0.8		x3	0.5	0.1	0.2	0.9
2.	Рассмотрим нечеткое отношение							x R1 y , где		x R+ и y R+ , такое, что
								~

y >> x , т.е. «у много больше х», и пусть функция принадлежности этого отношения определяется выражением

µR	0,			y − x < 0
	(x, y) =		−k	( y−x)2
1		− e		, y − x ≥ 0
~	1		1

Пусть теперь k2>k1. Тогда отношение R2 с функцией принадлежности

µR2	0,				y − x < 0
	(x, y) =	− e	−k2 ( y−x)2	, y − x ≥ 0
~	1
содержит R1 .
Опр.2.5. Если R -					нечеткое отношение с функцией принадлежности
µR (x, y) ,	то отношение					, характеризующееся функцией принадлежности
					R

µR (x, y) =1− µR (x, y) , называется дополнениемR на множестве X.

Опр.2.6. Обратное к R отношение на X определяется следующим образом: xR−1 y ↔ yRx , при этом функции принадлежности связаны между собою

равенством		.

30