- •По теме: механика, магнитостатика, электродинамика.
- •Глава 3. Специальная теория относительности.
- •Часть II
- •Глава 1. Электростатика
- •Глава 2. Магнитостатика
- •Глава 3. Электродинамика.
- •Часть 1. Механика.
- •Глава 1. Кинематика.
- •§ 1.1 Кинематика материальной точки.
- •2) Векторное произведение (вектор, направленный перпендикулярно к каждому из векторов)
- •§ 1.2 Кинематика твердого тела.
- •Глава 2. Динамика.
- •§ 2.1 Динамика материальной точки. Понятие массы и силы.
- •§ 2.2 Импульс. Закон сохранения импульса. Центр масс.
- •§2.3 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
- •§2.4 Работа и энергия.
- •§2.5 Динамика твердого тела, закрепленного на оси.
- •§2.6 Кинетическая энергия вращающегося тела. Теорема Штейнера - Гюйгенса.
- •§ 2.7. Динамика твердого тела с неподвижной точкой. Уравнение Эйлера.
- •§ 2.8. Динамика произвольного движения твердого тела.
- •§2.9. Явление прецессии. Гироскопы.
- •Глава 3. Специальная теория относительности.
- •§ 3.1. Принцип относительности.
- •§3.2. Преобразования Лоренца.
- •§3.3. Преобразование интервалов длины, времени и скоростей.
- •§3.4. Релятивистская динамика.
- •§3.5 Четырех - векторы.
- •§3.6 Преобразование силы.
- •§ 1.2 Теорема Остроградского-Гаусса
- •§1.3 Электрический потенциал.
- •§ 1.4 Энергия электростатического поля
- •§ 1.5 Электрическое поле диэлектрика
- •§ 1.6 Электрическое поле на границе двух диэлектриков
- •§ 1.7 Проводники в электростатическом поле.
- •§ 1.8 Ёмкость конденсатов
- •§ 1.9 Электрический ток в уравнении непрерывности
- •§ 1.10 Закон электрического тока.
- •Глава II Магнитостатика.
- •§2.1 Силы Лоренца и Ампера
- •§2.2 Магнитное поле прямого проводника с током.
- •2.3 Закон полного тока. Теорема о циркуляции.
- •§2.4 Плотность источника магнитного поля.
- •§2.5 Закон Био-Савара-Ласпласа.
- •Глава III Электродинамика
- •§3.1 Преобразование полей
- •§3.2 Электромагнитная индукция.
- •§3.3 Взаимная индукция. Самоиндукция. Индуктивность.
- •§ 3.4Уравнение Максвелла.
§2.5 Динамика твердого тела, закрепленного на оси.
Твердое тело, закрепленное на оси, обладает одной степенью свободы, то есть для определения его положения, достаточно одной независимой переменной, в качестве которой будем использовать угол Эйлера (1.2)
, осьZсовпадает с осью поворота.
Z
Y
X
- радиус траектории.
Пусть направлена вдольZ.
Рассмотрим момент импульса твердого тела:
(1.2)
Найдем проекцию на осьZ:
Где ; - расстояние от точкиiдо оси вращения;- момент инерции твердого тела, относительно оси вращенияZ.
Таким образом:
- сумма моментов внешних сил, действующих на твердое тело.
Мы рассмотрели случай, когда направлен вдоль осиZ, еслинаправлен в другую сторону, то, а в общем случае.
Уравнение движения твердого тела с неподвижной осью будет:
§2.6 Кинетическая энергия вращающегося тела. Теорема Штейнера - Гюйгенса.
Рассмотрим твердое тело с неподвижной осью вращения. Его кинетическая энергия будет равна:
Момент инерции играет важную роль при описании движения твердого тела. Для определения момента инерции твердого тела удобно пользоваться теоремой Штейнера - Гюйгенса.
Пусть - момент инерции твердого тела, относительно произвольной осиZ, а- момент инерции относительно, параллельнойи проходящей через центр масс твердого тела.
A
i
m
Y
Радиус- вектор центра масс в системе будет:
, так как центр масс лежит на осии его координатыиравны.
Пример:
1) Момент инерции тонкого кольца:
2) Момент инерции диска:
§ 2.7. Динамика твердого тела с неподвижной точкой. Уравнение Эйлера.
Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой. Для описания движения такого тела необходимо 3 независимых переменных (так как у него 3 степени свободы). Для нахождения этих переменных нужно три скалярных уравнений. В качестве этих рассмотрим:
, где- сумма моментов внешних сил, действующих на тело.
i
Момент импульса твердого тела называется:
- квадрат расстояния от оси, до точкиi.
Тогда, - момент инерции твердого тела относительно оси.
Переобозначим:
Точно так же:
Набор из девяти коэффициентов:
Называется тензором инерции твердого тела.
Диагональные элементы тензора – моменты инерции твердого тела, относительно соответствующих осей , которые жестко связаны с твердым телом.
Положение этих осей в твердом теле можно выбирать произвольно. При каждом новом выборе будут меняться коэфицентов тензора инерции.
Из математики известно, что существуют такие оси , при которых тензор инерции принимает диагональный вид (). Такие оси называются осями инерции, а диагональные элементы тензора называются главными моментами инерции.
Пусть оси совпадают с осями инерции твердого тела, тогда:
Отсюда следует:
; .
Полученные уравнения называются уравнениями Эйлера и полностью описывают движение твердого тела с неподвижной точкой.