- •Математика
- •Оглавление
- •Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. Тема 1. Функции одной переменной. Предел функции
- •Решение типовых примеров.
- •Тема 2. Производная и дифференциал функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Решение типовых примеров
- •Тема 3. Неопределенный интеграл
- •3. Таблица основных дифференциалов функции
- •4 Таблица интегралов.
- •5. Основные методы интегрирования.
- •Непосредственное интегрирование.
- •Замена переменной (интегрирование подстановкой).
- •Интегрирование по частям.
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 4. Определенный интеграл.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Задачи к теме 1. Функции одной переменной. Предел функции
- •Задачи к теме 2. Производная и дифференциал функции
- •Задачи к теме 3. Неопределенный интеграл
- •Задачи к теме 4. Определенный интеграл.
- •Список литературы
- •Приложение 1 Образец оформления титульного листа
- •Контрольная работа №2 по дисциплине «математика»
- •2011 Приложение 2 Справочный материал по элементарной математике
- •Математика
Тема 2. Производная и дифференциал функции
Произво́дная (функции в точке) – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется какпределотношения приращения функции к приращению ееаргументапри стремлении приращения аргумента кнулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс нахождения производной называетсядифференци́рованием.
Обозначения: или .
При вычислении производных используют таблицу производных и правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Пусть u = u(x)иv = v(х)– дифференцируемые функции в точкех = х0, тогда существуют производные от суммы, разности, произведения, частного этих функций в заданнойх0.
Замечание: производная постоянной равна нулю С = 0
А. Б. В. |
Г. Д. |
Таблица производных основных элементарных функций
№ |
y = f(х) |
y = f(x) |
|
№ |
y = f(х) |
y = f(x) |
1 |
|
10 | ||||
2 |
|
11 | ||||
3 |
|
12 | ||||
4 |
|
|
13 | |||
5 |
|
|
|
14 | ||
6 |
|
15 | ||||
7 |
|
16 | ||||
8 |
|
17 | ||||
9 |
|
|
Задача 1.Найти производную.
Решение.
.
В данном решении используем правило дифференцирования Ви формулу 4.
Задача 2. Найти производную функции.
Решение.
В данном решении используем правила дифференцирования А,Ви формулы 3, 7 и 11.
Задача 3. Найти производную функции.
Решение.
В данном решении используем правила дифференцирования Б,Ги формулы 2, 12, 14.
В задаче 3 видно, что производная функции может получиться достаточно громоздкой и не всегда целесообразно упрощать полученный результат.
Производная сложной функции
Пусть у = f(u),аu = (х),тогдау = f((х))– сложная функция, ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции. Если каждая из функцийу = f(u)иu = (х)дифференцируема по своему аргументу, то
Правило дифференцирования сложной функции: Е.
Обратите внимание на запись . Здесь у нас две функциии, причем функция, образно говоря, вложена в функцию. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Задача 4. Найти производную функции
Решение:
Под косинусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблицепроизводных основных элементарных функцийне получится.
В данном примере функция – это сложная функция, причем многочленявляется внутренней функцией (вложением), а– внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобыразобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. После этого необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (правилоЕ).
Начинаем решать:
Сначаланаходим производную внешней функции(косинуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций правило №11 и замечаем, что .Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что .
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Таблица производных основных сложных функций
№ |
y = f(u), u = (х) |
у = f(u)u |
|
№ |
y = f(u), u = (х) |
у = f(u)u |
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|