Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , гдеR- рациональная функция от sinxи cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки. В результате этой подстановки имеем

.

Задача 17. Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Подынтегральная функция является рациональной функцией от sinxи cosx. Применяем подстановку.

Тема 4. Определенный интеграл.

Если функция определена, непрерывна и имеет первообразнуюна отрезке, то определенный интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:, где– первообразная для функции, то есть;a,b– нижний и верхний пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрированиях.

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную, причем удобно взять произвольную постоянную равной нулю: C=0, а затем вычислить разность значений этой первообразной в верхнем и нижнем пределах.

Свойства определенного интеграла

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , где – четная

6. , где – нечетная

Задача 17. Найти определенный интеграл.

Решение.

Функция имеет разрыв в точкахx₁=1 иx₂=-3, но на отрезкефункция непрерывна, а следовательно можно применить формулу Ньютона-Лейбница.

Так как , то используем метод замены переменной.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если непрерывная функция неотрицательная на отрезке, точисленно равен площади под кривойна отрезке.

yy

S

S

0 a b x

0 a b x

Задачи к теме 1. Функции одной переменной. Предел функции

Задача 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.