- •Математика
- •Оглавление
- •Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. Тема 1. Функции одной переменной. Предел функции
- •Решение типовых примеров.
- •Тема 2. Производная и дифференциал функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Решение типовых примеров
- •Тема 3. Неопределенный интеграл
- •3. Таблица основных дифференциалов функции
- •4 Таблица интегралов.
- •5. Основные методы интегрирования.
- •Непосредственное интегрирование.
- •Замена переменной (интегрирование подстановкой).
- •Интегрирование по частям.
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 4. Определенный интеграл.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Задачи к теме 1. Функции одной переменной. Предел функции
- •Задачи к теме 2. Производная и дифференциал функции
- •Задачи к теме 3. Неопределенный интеграл
- •Задачи к теме 4. Определенный интеграл.
- •Список литературы
- •Приложение 1 Образец оформления титульного листа
- •Контрольная работа №2 по дисциплине «математика»
- •2011 Приложение 2 Справочный материал по элементарной математике
- •Математика
Интегрирование рациональных дробей
Рациональная дробь– это отношение двух многочленов, где,–многочлены степенейnиmсоответственно. Если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе (n<m), то дробь называетсяправильной. В противном случае (nm) дробьнеправильная, она представляется в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.
Простейшими дробями называются правильные дроби следующего вида:
, где m– натуральное число иm>1
, где , т.е. квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней
, где n– натуральное число,n>1 и квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
Во все четырех случаях предполагается, что A,B,p,q,a– действительные числа.
Для интегрирования рациональной функции используется следующая последовательность шагов:
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателяQ(x)), разделим многочленP(x) наQ(x). Получим следующее выражение:, гдеM(x) – многочлен, а– правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на множители
Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде:, где, т.е. квадратный трехчленне имеет действительных корней .
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai,Bi,Сiдолжно быть равно степени знаменателяQ(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменательQ(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенямиx. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентовAi,Bi,Сi . Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собойметод неопределенных коэффициентов.
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:
Тогда . В первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому.
При разложении простейших дробей возможны ситуации:
если числитель является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму натуральному от знаменателя:
квадратный трехчлен в знаменателе можно разложить на линейные множители, а подынтегральную функцию на простые рациональные дроби:
Коэффициенты А и В находят методом неопределенных коэффициентов.
квадратный трехчлен в знаменателе нельзя разложить на линейные множители, тогда следует выделить полный квадрат и ввести замену:
После чего вводят новую переменную:
Эти интегралы можно вычислить: первый – подведением под знакдифференциала, второй –непосредственным интегрированием.
Задача 13. Найти неопределенный интеграл.
Решение.
Так как , то используем метод замены переменной. Задача 14. Найти неопределенный интеграл.
Решение.
Так как , то используем метод замены переменной.Задача 15. Найти неопределенный интеграл.
Решение.
Так как , то используем метод замены переменной.
Задача 16. Найти неопределенный интеграл.
Решение.
Так как , то разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей и применимметоднеопределенных коэффициентов:
Из последнего равенства найдем постоянные коэффициенты А1,А2,А3. Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, приходим к равенству:
Теперь избавляемся от знаменателей, т.к. они одинаковы:
.
В левой части раскрываем скобки:
.
Сгруппируем по степеням x, вынесем общий множитель за скобки:
Составляем систему линейных уравнений из коэффициентов левой и правой части при соответствующих степенях x.
Решаем систему уравнений и получаем ответ:
Тогда .