Решение типовых примеров

Задача 5. Найти производную функций.

Решение.

Пусть _{, тогда .}По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Итак, _.

В данном решении используем правило дифференцирования (Е) и формулы 3, 24, 15.

_{Задача 6. Найти производную функции.}

Решение.

Пусть ,и,, тогдаи, отсюда:.

Итак,

Задача 7. Найти производную функции

Решение.

Применим правило дифференцирования произведения.

Задача 8. Найти производную функцииу = ln(arcsin8x); y =?

Решение.

Пусть y=lnu; гдеu=arcsin8x. Тогда

Задача 9. Найти производную функции.

Решение.

.

В данном решении используем правило дифференцирования сложной функции и формулы 22, 11.

Задача 10. Найти производную функции.

Решение.

В данном решении используем правило дифференцирования (Е) и формулы 24, 15.

Задача 11. Найдите производную функции.

Решение.

В данном решении используем правила дифференцирования Б,ВиЕи формулы 18, 22, 28, 13, 1

Задача 12. Найдите производную функции.

Решение.

В данном решении используем правила дифференцирования ГиЕи формулы 28, 29, 3 и 7.

Тема 3. Неопределенный интеграл

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

Функция называетсяпервообразнойдля функции, если.

Множество всех первообразных функции задается формулойF(x)+C, гдеС– постоянное число, и называетсянеопределенным интеграломот функции:

.

_{– знак неопределенного интеграла;}

f(x) – подынтегральная функция;

f(x)dx – подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования;

dx – дифференциал переменной интегрирования;

F(х) – первообразная для функции f(x);

F(x)+C – множество (семейство) всех первообразных для функции f(x) ;

С = const – произвольная постоянная.

2. Свойства неопределенного интеграла.

1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. неопределенный интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной

4. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

,

где k– постоянная, отличная от нуля.

5. интеграл алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

6. если их=φ(u)- некоторая функция, имеющая непрерывную производную, то

3. Таблица основных дифференциалов функции

df(x) = f(x)dx	f(x)dx = df(x)

4 Таблица интегралов.

№
	, α ≠ -1
14.
15.
16.
17.