2010 Литвинский Шевченко Учебное пособие

тельство области приняло решение об установлении акциза на мебель в размере 200 руб. на одну ед. На сколько процентов из­ менятся равновесные цена и объем продаж? Определите величи­ ну поступлений в бюджет от введения акциза.

ЗАДАЧА 1.82. Функция спроса на зарубежные компакт-диски имеет вид: QD= 500 - 3 /7, а функция предложения - Qs = 2 /7 - 1 0 0 (р - цена диска, Q - объем продаж, млн. шт.). Правительство страны установило импортную квоту в размере 80 млн. шт. Оп­ ределите: равновесную цену и равновесный объем продаж до ус­ тановления квоты; равновесную цену и равновесный объем после введения квотирования.

ЗАДАЧА 1.83. Функция спроса на машинное масло имеет вид: Qo = 6000 - 5 /7, а его предложение задано функцией: Qs = 15/7- 800. Правительство страны ввело акциз на продажу масла в раз­ мере 20% от цены товара. Определите: равновесную цену и рав­ новесный объем продаж до введения акциза; равновесную цену и равновесный объем продаж после введения акциза; налоговые поступления в госбюджет.

ЗАДАЧА 1.84. Функция спроса и предложения товара А имеет вид: Qd = 8 - р и Qs = 2 / 7 - 4 (р - цена, долл., Q - объем продаж, шт.). Правительство ввело акциз в 3 долл. на каждую проданную единицу товара А. Определите величину поступления в государ­ ственный бюджет в результате введения акциза (7), величину на­ лога, которую заплатят продавцы (7"i), и величину налога, кото­ рую заплатят потребители (Г2).

ЗАДАЧА 1.85. Рыночный спрос на яблоки характеризуется следующей шкалой спроса: при цене 40 руб. величина спроса равна 60 кг, при цене 30 руб. величина спроса увеличивается до 90 кг, а при цене 20 руб. - до 120 кг. Используя эти данные, опре­ делите функцию рыночного спроса Q{P) на яблоки.

230

ЗАДАЧА 1.86. Рыночный спрос на яблоки сорта «гольден» опи­ сывается функцией: Q f = 50 - 2Рг + 0,5Ря + 0,02/, где Рг - цена яб­ лок «гольден», Ря - цена других сортов яблок, / -доход потребите­ ля. Определите функции спроса на яблоки «гольден» по каждой из детерминант (по цене, доходу, цене других сортов яблок) спроса, если известно, что: ^ - 10 руб./кг; Ря - 5 руб./кг; / - 1000 руб.

ЗАДАЧА 1.87. Предположим, имеются обратные функции спроса трех индивидов: Ра - 200 - 2Q\ Рб = 250 - 1/3Q; Рс= 150 —

- 0,5Q. Определите функцию рыночного спроса по цене (0°).

ЗАДАЧА 1.88. Если функция рыночного спроса имеет вид: QP = 200 - 0,5/», то чему равен свободный член обратной функ­ ции спроса?

ЗАДАЧА 1.89. Предположим, что известны функции спроса и предложения, которые имеют следующий вид: Q° = 1 0 0 - 1,5Р; и (7s = 20 + 0 ,5 /\ Необходимо установить, при какой цене (Р*) и

каком объеме (Q *) рынок окажется в состоянии равновесия.

Задача 1.90. Функция предложения бензина имеет вид: Qs = 25 + 0,5Р, а функция спроса - Q° = \25 - 2Р. Правительство ввело налог на бензин (/) в размере 10 руб./л. Определить вели­ чину налоговых поступлений (7).

ЗАДАЧА 1.91. Дана функция спроса, которая имеет вид: 0 ° = -2 Р + 1000. Определите величину излишка потребителя при цене 200 руб.

ЗАДАЧА 1.92. Допустим, функция предложения линейна и за­ дается как Qs = 150 + 3/\ а функция спроса - как Q° = 120 - 2Р. Какими будут коэффициенты ценовой эластичности спроса и предложения при цене продукта 50 руб.?

ЗАДАЧА 1.93. Допустим, нам известно, что функции спроса и предложения яблок сорта «гольден» являются линейными. При

231

этом равновесная цена яблок Р* = 30, а равновесное количество Q* = 90. Известно также, что при равновесии ценовая эластич­ ность спроса eD = 1, а ценовая эластичность предложения es = 4/3. Определите функции рыночного спроса (0°) и предложения (£f) для яблок «гольден».

ЗАДАЧА 1.94. Какое влияние окажет повышение цены на чай на 30% на величину спроса на лимоны (AQjihmX если известно, что их перекрестная эластичность равна «-0,5»?

З а д а ч а 1.95. На	рынке имеются две группы покупателей.
Спрос первой группы	на товар X описан функцией: Р = 12 - 2QP,

спрос второй группы - функцией: Р = 10 - Предложение то­ вара описано уравнением Р = 2,5 + Qs (Р - цена, руб., Q° - вели­ чина спроса на товар, ( f - величина предложения). Определите равновесную цену и равновесное количество товара X

ЗАДАЧА 1.96. На рынке имеется две группы покупателей. Спрос первой группы на товар X задан функцией: ^Р\ - 10 - Р , спрос второй группы - функцией: qP2 = 5 - Р. Предложение то­ вара задано функцией: Q = Р - 3. Определите равновесную цену и равновесный объем товара X.

ЗАДАЧА 1.97. Спрос на товар X задан функцией: Q? = 12 - 2Р. а) Определите, при какой цене коэффициент ценовой эла­

стичности спроса равен (-0,5).

б) Определите ценовую эластичность спроса, если известно, что выручка продавцов составляет 18 ден. ед.

ЗАДАЧА 1.98. Спрос на товар задан функцией: 0 ° = 1/Р. Оп­ ределите ценовую эластичность спроса при Р = 5 и Р = 3. Объяс­ нить в чем специфика данной функции спроса?

ЗАДАЧА 1.99. Рыночный спрос на товар X описан функцией:

qd =	где / _ совокупный доход потребителей, Рх и Р у —це-

232

им товаров X и У, - спрос на товар X. Известно, что 1= 625, /\ = 2, Ру = 1. Определите:

а) ценовую эластичность спроса по товару X;

б) эластичность спроса на товар X по доходу;

в) перекрестную эластичность спроса на товар X по цене то­ вара Y.

ЗАДАЧА 1.100. Эластичность спроса на товар X по доходу рав­ на 0,8. Доля товара X в совокупных расходах потребителя состав­ ляет 20%. Какова будет доля товара X в совокупных расходах, ес­ ли при неизменных ценах доход потребителей вырастет на 1 0 %?

Задача 1.101. Когда цена товара X возрастает на один про­ цент, величина спроса на него сокращается на два процента. Эла­ стичность спроса на товар X по доходу равна 0,5. Доля товара X в общих расходах потребителя составляет 1%. Определите эла­ стичность компенсированного спроса по товару X (с точностью до третьего знака после запятой).

ЗАДАЧА 1.102. Разделим все многообразие товаров на две группы - X и Y. Доля Y в совокупных расходах потребителей равна 0,8. Эластичность спроса на товары группы Y по доходу составля­ ет 1,05. Перекрестная эластичность спроса на товары группы Y по цене товаров группы X равна 0,5. Товары группы X характеризу­ ются единичной эластичностью спроса по цене. Определите:

а) эластичность компенсированного спроса по товарам группы Х\ б) перекрестную эластичность замещения товара Y по цене

товара X.

Задача 1.103. Известно, что при повышении цены товара^ на один процент расходы потребителей на этот товар снижаются на 0,5 процента. Определите ценовую эластичность спроса на то­ вар X (Подсказка: прежде чем приступать к вычислениям, найди­ те зависимость между эластичностью расходов на товар по его

цене еР=	д (Р Х ) Р		д Х	Р ч
	•— и эластичностью спроса по цене е„ = — — )
'	д (Р ) Р Х	г	1 ЭР	X J

233

2. ТЕОРИЯ И АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

ЗАДАЧА 2.1. При PY0 = 1, Рх,о = 2 и бюджете /= 240 потре­ битель, покупая 1 2 0 ед. QY и 60 ед. Qx , получает максимум по­ лезности. Известно уравнение кривой безразличия, на которой

этот индивид находится: q y =

. Цена блага X увеличилась до 3

Qx

(Рхл = 3). Определить величину компенсирующего и эквивалент­ ного изменения дохода.

ЗАДАЧА 2.2. Индивид составил для себя таблицу полезности трех благ (в ютилях). Имея 25,2 ден. ед., он купил 3 кг хлеба по цене 2 ден. ед. за 1 кг, 4 л молока по цене 2,8 и 2 кг сахара по це­ не 4 ден. ед. за 1 кг.__________________________

№Хлеб, кг Молоко, л Сахар, кг

I	15	1 2	1 0
II	1 0	1 1	8
III	8	1 0	6
IV	7	7	3
V	5	6	1

1.Докажите, что индивид не достиг максимума полезности при своем бюджете.

2.Какой набор благ обеспечивает ему максимум полезности при его бюджете?

ЗАДАЧА 2.3. Функция полезности индивида имеет вид: U= Q1 г • Qx, где QYи Qx - объемы потребляемых благ.

1.Выведите функцию спроса потребителя на благо Y.

2.На сколько процентов изменится объем спроса на благо 7, ес­ ли его цена возрастет на 1 %?

3.Постройте кривую Энгеля для блага X в условиях, когда Рх - 2,5, а доход индивида монотонно увеличивается с 1 0 до 2 0 ден. ед. Отражает ли построенная линия закон Энгеля?

234

ЗАДАЧА 2.4. Используя карту безразличия индивида, потреб­ ляющего блага X и Г, и график, представляющий его бюджет, по­ стройте график функции спроса по цене на благо X и покажите, что происходит со спросом на благо Y по мере изменения цены блага X.

ЗАДАЧА 2.5. Известна функция полезности Никиты: U=Qy • Qx, где Qy и Qx - количества двух различных благ. Его бюджет равен 36 ден. ед. При сложившихся ценах Никита поочередно покупает два таких набора благ: Qy= 6 ; Qx = 2 и QY = 3; Qx = 4, потому что признает их равнополезными. Определите равновесие потребите­ ля и представьте результат графически.

ЗАДАЧА 2.6. Функция полезности Олега имеет вид: U=Qr'Qx, где Qy и Qx - количества двух различных благ. Известны цены благ

PY= 25, Рх =40, и бюджет Олега /= 600.

1. Как Олег должен израсходовать свой бюджет, чтобы полу­ чить максимум полезности?

2.На сколько возрастет благосостояние Олега, если цена бла­ га X снизится до 30?

3.Разложите реакцию Олега на снижение цены на эффекты замены и дохода.

4.Какую сумму налога нужно взять с Олега, чтобы после снижения цены блага X его благосостояние сохранилось на ис­ ходном уровне?

5.На сколько должен увеличиться бюджет Олега, чтобы при исходных ценах его благосостояние возросло на столько же, на сколько оно возросло вследствие снижения цены блага X с 40 до 30?

ЗАДАЧА 2.7. Функция полезности индивида: U= (Qy+ 4) • (Qx +

+5), его бюджет 1= 64, а цены благ: PY= 1, Рх = 1,5.

1.Запишите уравнение кривой безразличия, на которой нахо­ дится потребитель в момент равновесия.

2.Определите перекрестную эластичность спроса на благо X, в момент равновесия потребителя.

3.Цена блага X повысилась до 2 ден. ед. Определите пере­ крестную эластичность спроса на благо Y после достижения но­ вого равновесия.

235

4.Определите разность между компенсирующим и эквива­ лентным изменениями дохода.

5.Представьте графически компенсирующее и эквивалентное изменения дохода в условиях данной задачи.

ЗАДАЧА 2.8. Известны функция полезности потребителя, це­

ны потребляемых им благ и его бюджет: U = 6 QY5Qx25 ; Ру = 2;

Рх= 4; 1= 24.

1.Определите соотношение коэффициентов эластичности спро­

са по доходу на блага Y и X.

2.Доход потребителя возрос до 36 ден. ед., а цена блага Y снизилась до 1 . Разложите реакцию потребителя на изменение PY на эффекты замены и дохода.

3.Представьте решение задания 2. графически.

ЗАДАЧА 2.9. Вадим покупает только три вида товаров: хлеб, колбасу и молоко. На хлеб он тратит 20%, на колбасу - 50% и на молоко - 30% своего дохода. Определить эластичность спроса Вадима на молоко по доходу, если известно, что его эластичность спроса по доходу на хлеб равна ( - 1 ), а на колбасу (+2 ).

ЗАДАЧА 2.10. При цене килограмма яблок 18 ден. ед. на рынке было три покупателя, имеющих прямолинейные функции спроса по цене. Первый купил 20 кг, и его эластичность спроса по цене была (-2 ); второй купил 16 кг при эластичности спроса по цене (-1,5), и третий купил 24 кг при эластичности спроса по цене (-2,5). Определите эластичность рыночного спроса по цене.

ЗАДАЧА 2.11. На рынке есть три покупателя со следующими

А	^	5 /,+ 24	3/2 +20	^	7,5/3+ 3 0
функциями спроса:	0	=—1- — ,	Q2 =— - — ,	Q3	= ---- - ----- , где

7/ - доход /-го потребителя. Постройте на одном и том же рисунке функции рыночного спроса при изменении цены от 1 0 до 2 0 ден. ед. для случаев:

1.Когда все покупатели имеют одинаковый доход по 50 ден. ед.

2.Когда в пределах той же общей суммы доходы покупателей

дифференцированы следующим образом: 1\ = 20; 72 = 50; / 3 = 80.

236

ЗАДАЧА 2.12. Найдите и сравните MRSxy д л я потребителей, имеющих следующие предпочтения (0 < а < 1); объясните полу­ ченный результат:

а) U = X aY'~a ;	г) U(X-,Y) = a \n X + (\- a )\n Y ;
б) U = (XnYx-°)2-	д) ( / = 1 [«|п(А') + (1 - а )|п(У)];
в ) U = (X‘у 1- ') ^ ;	е ) С / = 2[а1п(^) + (1-а)1п(У)].

Задача 2.13. Где это возможно, выделите семейства функ­ ций полезности, выражающие предпочтения одного и того же ти­ па, и назовите данный тип предпочтений.

a)	U [X, Y) = ЪХ + Y ;	ж) U(X,Y) = X°'SY°-5;
б ) U ( X , r ) = m i n j A , 5К		з) £ /(Х ,У ) = Х°'75Г°-75;
		У 'й	y t )
в )	U(X,Y) = X°'5+Y ;	и ) {/ (Х ,У )^ а т +/Зу ;
г) U(X,Y) = \nX + Y;		к) U { X j ) = 4 x r + T	■
д)	U(X,Y) = 4Х 2Г ;	л) U{X,Y)=aX+PY, а>0, р>0;
е )	U(X,Y) = c \n X +с/1п7;	м) U{X,Y) = X + Y .

ЗАДАЧА 2.14. Для функций полезности, приведенных выше в пунктах а), ж), з), к): 1 ) найдите MUX, MUy и M RSxy и определите, убывает ли MRSxy с ростом .X(т.е. определите, являются ли кри­ вые безразличия выпуклыми к началу координат); 2 ) нарисуйте соответствующие кривые безразличия и сделайте выводы о том типе предпочтений, который они представляют; предложите то­ вары, подходящие, на ваш взгляд, на роль X и Y (Для удобства в случаях б), в), г) нарисуйте кривые безразличия для U(X, Y) = 1).

ЗАДАЧА 2.15. Пусть у потребителя имеется следующая функ­ ция полезности набора из рыбы и мяса: U = 6 F+ ЮМ, где F —коли­ чество кг рыбы в месяц, а М - количество кг мяса в месяц. Рассчи-

237

тать предельную норму замещения мяса рыбой. Как она изменяется по мере замещения мяса рыбой? Начертить кривые безразличия для мяса и рыбы и обозначить оптимум потребителя, у которого ежемесячный бюджет по этим двум товарам составляет 2 0 0 руб. при этом цена мяса составляет 2 0 руб. за кг, а рыбы - 15 руб. за кг.

ЗАДАЧА 2.16. а) Функция полезности потребителя имеет вид:

U(X,Y) = X 0,5Y0,5; его еженедельный доход равен 900 руб.; он

стабильно потребляет только два товара - X и У, причем Рх со­ ставляет 40 руб., а Ру - 20 руб. Найти оптимальный набор потре­ бителя, используя метод Лагранжа.

б) Найти в общем виде оптимальный набор для потребителя, предпочтения которого описаны функцией Кобба-Дугласа (ис­

пользовать метод Лагранжа).
	в)	Функция		полезности	потребителя	имеет	вид:
/	\	У	У				руб., а
ЦХ,У)=Х/3			У/3; его еженедельный доход составляет 240

цены X и Y по-прежнему составляют 40 и 20 руб. за 1 ед. товара соответственно. Найти оптимальный набор потребителя, исполь­ зуя монотонное преобразование функции полезности и не прибе­ гая к методу Лагранжа.

ЗАДАЧА 2.17. Пенсионерка Агафья Тихоновна всегда пьет чай с молоком в одной и той же пропорции: доливая стакан на одну пятую часть молоком. 1 л чайной заварки обходится ей в 2 руб., а 1 л. молока - в 4 руб.

а) Каков оптимальный потребительский набор Агафьи Тихо­ новны, если ежемесячно она тратит на чай и молоко 72 руб.?

б) Каков вид функции полезности для Агафьи Тихоновны и чему равна полезность ее оптимального потребительского набо­ ра, исчисленного в п. а)?

в) Допустим, что в условиях некоторого сокращения своего дохода Агафья Тихоновна закупила на месяц чая из расчета полу­ чения 1 0 л заварки и сухого молока из расчета получения 1 0 л жид­ кого молока. Какова для нее полезность такого потребительского набора? Имело ли смысл закупать эти продукты в таких количест­ вах? (Инфляционные ожидания исключаются из рассмотрения.)

238

ЗАДАЧА 2.18. Электрическая компания взимает с индивиду­ ального пользователя тариф в размере $0,1 за 1 кВт.Ч. в пределах первой 1000 кВт.Ч. электроэнергии, потребляемой им ежемесяч­ но, а за каждый дополнительный кВт.Ч. сверх этого - в размере лишь $0,05. Нарисуйте бюджетную линию для индивидуального пользователя, имеющего ежемесячный доход в $400 и осуществ­ ляющего выбор между потреблением электроэнергии (X) и ком­ позитного товара (У). (Подсказка: считайте цену композитного товара равной $1 .)

ЗАДАЧА 2.19. Потребитель с функцией полезности U(X,Y)=XY имеет доход 100 руб. Цена товара X равна 5 руб., цена товара Y - 1 руб. внезапно цена товара X упала до 2 руб. Определите:

а) как изменилась величина спроса на товар X за счет эффек­ та замены и эффекта дохода по Слуцкому и по Хиксу (для облег­ чения расчетов исходите из того, что корень из 250 равен 15,8);

б) как повлиял перекрестный эффект замены на величину спроса по товару Y и как повлиял на нее перекрестный эффект дохода (по Слуцкому и по Хиксу);

в) считая функции спроса линейными, изобразите на одном графике маршаллианскую кривую спроса, кривые компенсиро­ ванного спроса Слуцкого и Хикса по товару X.

ЗАДАЧА 2.20. Доход в размере $100 потребитель тратит на пищу (X) и жилье (Y). Единица пищи стоит $2, единица жилья - $5. В этой ситуации потребитель, имеющий стандартного вида предпочтения, выбирает набор, включающий 8 ед. жилья и 30 ед. пищи. Правительство решает поставлять каждому домохозяйству фиксированное количество единиц жилья, снизив при этом цену последнего до $3. При такой цене жилья потребитель предпочел бы набор из 12 ед. жилья и 32 ед. пищи. Правительство же решает предоставить домохозяйству 15 ед. жилья.

а) Используя графическую иллюстрацию, покажите, как из менится при такой правительственной политике уровень благо­ состояния потребителя (получаемая им полезность) по сравне­ нию с исходной ситуацией.

239