2010 Литвинский Шевченко Учебное пособие

0	La Lb Lc	i
	Рис. 3.12. Отдача от масштаба

2) если фирма увеличила количество использованных ресур­ сов производства в п раз, а выпуск продукции увеличится мень­ ше, чем п раз (Q2<п Q \\ то отдача от масштаба является убы­ вающей. Каждое увеличение выпуска (переход на более дальнюю от начала координат изокванту) требует все больших и больших затрат ресурсов производства (отрезки 0А<АВ<ВС);

3) если фирма увеличила количество использованных ресур­ сов производства в п раз, а выпуск увеличится более чем в п раз (Q2>n Q \\ то отдача от масштаба является возрастающей. Каждое увеличение выпуска требует все меньших затрат ресурсов произ­ водства (0А>АВ>ВС).

Отдача от масштаба отражена также еще в одной характери­ стике производственной функции - однородности.

Производственная функция называется однородной, если при увеличении количества использования всех ресурсов производст­ ва в п раз выпуск продукции увеличивается в п раз:

Q2{nK;nL) = ri Q\(K; L).

Показатель (степень) t показывает степень однородности функции и является показателем отдачи от масштаба:

I.t = 1 - постоянная отдача от масштаба;

II. t < 1 - убывающая отдача от масштаба;

III. t > 1 —возрастающая отдача от масштаба.

130

3.6. ЗАТРАТЫ ФИРМЫ В ДОЛГОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ

Очевидно, что в долгосрочном периоде фирма в состоянии изменить количество любого фактора производства, поэтому все факторы являются переменными, следовательно, в долгосрочном периоде не существует постоянных затрат (FC) и средних посто­ янных затрат (AFC). Таким образом, если в краткосрочном пе­ риоде существует семь основных типов затрат (ГС, ГС, ГС, АТС, ЛГС, AFC и МС), то в долгосрочном - только три: LTC - долго­ срочные валовые (общие) затраты; LATC - долгосрочные средние затраты; LMC - долгосрочные предельные затраты (рис. 3.13).

Линия долгосрочных общих затрат (LTC). Форма линии LTC

зависит от характера отдачи от масштаба. На начальном участке линии LTC (отрезок ОА на рис. 3.13) отдача от масштаба - возрас­ тающая (затраты возрастают медленнее, чем выпуск продукции) и линия LTC выпукла влево вверх. На отрезке АЕ форма линии LTC объясняется постоянной отдачей от масштаба (затраты и вы­ пуск продукции увеличиваются с одинаковой скоростью). Отре­ зок АЕ имеет вид прямой линии. Далее, выше точки Е линия LTC загибается вверх, что объясняется убывающей отдачей от мас­ штаба (затраты возрастают быстрее, чем выпуск продукции).

Линия долгосрочных предельных затрат (LMC). По аналогии с краткосрочным периодом величина LMC есть наклон линии LTC. Графически величина LMC в любой точке линии LTC опре­ деляется как тангенс угла наклона касательной, проведенной к данной точке. Алгебраически величина LMC равна:

ШС=— =— .	(3.22)
Д Q dQ	V '

Линия долгосрочных средних затрат (LAC или LATC). Дол­ госрочные средние затраты - это частное от деления долгосроч­ ных общих затрат и объема выпуска продукции:

,	LTC	(3-23)
LACzz- q ~ ■

Графически величина LAC в любой точке линии LTC равна тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего начало координат с данной точкой. Очевидно, что в точке Е величины LMC и LAC равны (рис. 3.13).

131

о

Q?. Qy Q

Рис. 3.13. Общие, средние и предельные затраты в долгосрочном периоде

Сравнивая линии кратко- и долгосрочных затрат, можно сформулировать следующие основные черты, которые присущи данным линиям:

1.Линии STC и LTC. Линия LTC более «вытянута» относи­ тельно горизонтальной оси, что, бесспорно, отражает свойство изменяемости во времени всех факторов производства.

2.Линия LTC всегда исходит из начала координат, так как в долгосрочном периоде отсутствуют постоянные затраты и фирма

всостоянии изменить количество всех использованных ресурсов.

3.Линия STC всегда пересекает ось ординат (0У), так как в краткосрочном периоде существуют постоянные затраты.

132

П Р А К Т И Ч Е С К И Е З А Д А Н И Я

ТИПОВЫЕ ЗАДА ЧИ

ЗАДАЧА 1. Пусть технология производства представлена про­ изводственной функцией 0 = Х0,25/,0,75. Затраты фирмы составля­ ют 5400 р. при ставке заработной платы w = 450 р. и ставке арендной платы г = 750 р. Рассчитать оптимальное значение вы­ пуска в краткосрочном периоде.

Решение

Используя уравнение бюджетного ограничения фирмы, со­ ставляем следующее равенство: 5400 = 150К + 450Z. Следова-

тельно, К = 1,2 - 0,6L ^>Q = (7,2 - 0,6Z)°’25 • L0,75.

Оптимальное значение выпуска фирмы определяется из ус­ ловия максимизации прибыли: 0 ' = 0 => L = 9, К = 1,8; 0 = 6,02.

ЗАДАЧА 2. Пусть технология производства представлена производственной функцией 0 = K°,25L0,75. Цена единицы труда w = 450 р., а цена единицы капитала —г = 750 р. Рассчитать про­ изводительность труда и капитала при нахождении фирмы в со­ стоянии краткосрочного равновесия.

Решение

Из предыдущей задачи мы знаем, что оптимальное потребле­ ние ресурсов составляет L = 9, К= 1,8, с выпуском 0 = 6,02. Из­ вестно, что производительность труда есть его средний продукт, который рассчитывается по следующей формуле: АРL= Q/L, или APl = 6,02 /9 = 0,669. Аналогично рассчитывается производитель­ ность капитала (АРк = Q/K), которая составляет АРК= 6,02 / 1,8 = = 3,34.

ЗАДАЧА 3. Известна функция общих затрат фирмы, которая име­ ет следующий вид: 7U = 2 5 0 -5 0 2 + 903 + 120\ Определить вели­ чину предельных затрат фирмы, если объем выпуска равен 10 ед.

Решение

Сначала определим функцию предельных затрат данной фирмы: МС = (ТСУ => МС = 25 - 100 + 270 2 + 480 3. Далее рас­ считаем значение МС(0) при 0=10 .

МС{ 10) = 25 - 10 • 10 + 27 • 102 + 48 • 103 = 50 625.

133

ЗАДАЧА 4. Известно, что капитал и труд в количестве 500 и 200 ед., соответственно, распределяются между производствен­ ными процессами I и II. Определить цены ресурсов, при которых будет достигаться равновесное (Парето-эффективное) распреде­ ление факторов производства между производственным процес­ сом I и процессом II.

Решение

Для решения данной задачи необходимо использовать равен­ ство предельных норм технического замещения капитала трудом в обоих производственных процессах: MRTSlK± = MRTSuKyL. Данное равенство определяет равновесное распределение факторов производства между производственными процессами.

Пусть MRTS'Kl	К	а MRTS'l, =-Кя -, кроме этого определим,
	L/	L//

что К1+К1/ = 500, a Z/+Z,// = 200. Таким образом, принимая во внимание условия ограниченности ресурсов (L и К), можно выра­ зить условие оптимального распределения ресурсов в следующем

виде-	MRTS'K L = MRTS'lL => —		= —	=>—	= 500 ~ K/ =>^- =2,5'
ВИДе'	кх	кх L,	L„	L,	200-1,	L,

Исходя из условия оптимума, можно утверждать, что равновесное распределение ресурсов будет достигнуто при любых их ценах,

Kj со

которые будут удовлетворять следующему условию: — - “ => / г

=> со= 2,5г - ставка заработной платы в 2,5 раза превышает ставку арендной платы за использование оборудования.

ЗАДАЧА 5. Пусть технология производства представлена про­ изводственной функцией £? = 75л ,5£0,5, где К - количество ис­ пользуемого капитала, L - количество использованного труда, а Q - объем выпуска. Цена единицы труда равна цене единицы ка­ питала w = r = 25 р. Определить, какое количество труда и капи­ тала следует потреблять фирме, чтобы производить 600 ед. про­ дукции с минимальными затратами? Рассчитать величину этих минимальных затрат.

134

Решение

Известно, что производитель выпускает продукцию с мини­

мальными	затратами при выполнении следующего	условия:
W	. Используя данное равенство, составим	систему
MRTSK! = —
уравнений:
	'600 = 75л/лХ
	<Т С = 2 5 К + 2 5 L ,
	К / L = w / r

решив которую, получим, что К = L = 8 ед. Далее рассчитываем величину минимальных затрат: ТС = 25 ■8+25 • 8 = 400 ед.

Задача 6. Известна функция затрат фирмы в краткосрочном периоде, которая имеет вид: TC(Q) = 1 0 ^ - 5Q2+ 15Q + 100, где Q - объем выпуска в единицу времени.

1. Определить величину постоянных затрат (FC) фирмы, а также вывести функцию средних постоянных затрат (AFC(Q)).

2.Вывести функции переменных (КС), средних переменных (A VC) и предельных издержек (МС) фирмы.

3.Определить минимальную величину средних переменных издержек, а также соответствующий ей объем выпуска.

Решение

1. Известно, что постоянные издержки не зависят от количе­ ства выпускаемой продукции и являются константой, следова­ тельно, из данной функции общих затрат только величина 100 является константой. ТС = VC + FC, FC = const = 100. Известно, что AFC(Q) = FC/Q, следовательно, функция AFC{Q) будет иметь следующий вид: AFC{Q) = 100/Q.

2.Функция VC(Q) имеет вид: VC(Q)= 10Q*-5Q1+ 15Q; функ-

ция A VC(Q) = 10(? - 5Q + 15; функция MC(Q) = 3 0 ^ - 10Q + 15.

3.Как правило, величина A VC достигает своего минимума в

точке пересечения	с линией МС.	Таким	образом,
A VC(Q) = MC(Q) =>	10Q25Q + 15 = ЗО02 -	10Q + 15,	следова-

тельно, A VC принимает минимальное значение при Q = 0,25 ед.

135

З а д а ч а 7. Известно, что фирма платит 500 р. за аренду обо­ рудования и 400 р. заработной платы. При сложившихся ценах фирма использует такое количество труда (L) и капитала (К), что их предельные продукты равны МРК= 1, a MPL = 0,5. Опреде­ лить, использует ли фирма оптимальное количество труда и ка­ питала с точки зрения максимизации прибыли?

Решение

Исходя из условия оптимума фирмы, которое имеет вид

w_M PL	MPj МРК	400	0,5
7~МР	или	можно утверждать, ч т о	—
Г M t K	7 /^onst	3 U U	1 Tp=cons[

Следовательно, при заданных условиях фирма не использует оп­ тимального сочетания факторов производства и, соответственно, не максимизирует прибыль. Для максимизации прибыли фирме необходимо уменьшить количество труда или увеличить количе­ ство капитала до тех пор, пока отношение их предельных про­ дуктов не будет равно 0,8.

ЗАДАЧА 8. Известно, что фирма, работая по некой техноло­ гии, выпускает Q\ ед. продукции, используя при этом К\ ед. капи­ тала и Ь\ ед. труда. Кроме этого известно, что при данном объеме выпуска предельная производительность труда равна средней производительности труда (.MPL= APL). Определить величину ко­ эффициента эластичности выпуска по труду при выпуске Q\ ед. продукции.

Решение

Для решения данной задачи необходимо определить формулу для расчета коэффициента эластичности выпуска по переменно­

му фактору (в данном случае это Z), которую в общем виде мож- А£

но выразить как: = б

Исходя из условия задачи (MPL= APL), можно утверждать, что величина коэффициента эластичности выпуска по труду при выпуске Q\ ед. продукции равна единице.

136

ЗАДАЧА 9. Технология производства задается производственной функцией, которая имеет следующий вид: Q=K°,4L0,6. В произ­ водственном процессе используется капитал и труд в следующих количествах: К= 15; L = 54. Цены факторов производства равны:

г= 8; w = 3. Определить:

1.ценность труда и ценность капитала в готовой продукции;

2.ценность труда и ценность капитала в готовой продукции, при условии увеличения цены труда в 2 раза (w = 6);

3.вывести эластичность замены факторов производства.

Решение

1. Рассчитаем оптимальное сочетание факторов производства (К / L), при котором выпуск продукции производится с мини­

мальными средними затратами:			= -=>— = 0 ,2 5 .
r	г	М Р К г	0,4 L 8	L
Поскольку	соотношение	наличных	факторов	производства

£ / 1 = 1 5 /54 = 0.28, то количество капитала находится в избыт-

ьг

ке. Далее, найдем оптимальное количество капитала: — = о,25=>

=5 .

При использовании данных факторов производства (К= 13,5;

L = 54) объем выпуска будет равен: о = а:041°6= 13,5° 454°6« з1.

Рассчитаем величину ТС на выпуск 31 ед. продукции:

Щ З 1) = wL + гК= 3 • 54 + 8 • 13,5 = 162 + 108 = 270.

Распределение ценности:

wL = 162 => 162 / 270 = 0,6 или 60% от всех затрат (ТС = 270); гК= 108 => 108 / 270 = 0,4 или 40% от всех затрат (ТС = 270).

2. При изменении цены труда до уровня w = 6 оптимальное сочетание факторов производства (К / L \ при котором выпуск продукции производится с минимальными средними затратами

определяется из следующего равенства: — 'L =—; =

« р. , » . « .

L

Здесь в излишке оказывается труд (Z), так как оптимальное со-

отношение факторов производства равно — = ^5, а соотношение

наличных факторов производства не изменилось и равно

137

— = — = 0.28. Таким образом, оптимальное количество труда:

— = 0,5 =r- L = 30.

L

При использовании данных факторов производства (К = 15; L = 30) объем выпуска будет равен: Q — K0AL0/j —150,4300,6 ^ 22,7.

Рассчитаем величину ТС на выпуск 22,7 ед. продукции: 7С(22,7) = wL + гК= 6 • 30 + 8 • 15 = 180 + 120 = 300.

Распределение ценности:

wL = 180 => 180 / 300 = 0,6 или 60% от всех затрат (ТС = 300); гК= 120 => 120/300 = 0,4 или 40% от всех затрат

(ТС = 300)’.

3. Эластичность замены факторов производства определяется

д ["']

по следующей формуле: e ftf = / у

'( ! )

Найдем недостающие члены и произведем расчет.

Д = 0,25 - 0,5 = -0,25; Д | - | = 0,375 -0,75 = -0,375;

Д(%)	« 5	. ,	£ (# )_
Y l	0,25		’ у	0,375

eK’L - — - i

ЗАДАЧА 10. Известно, что функция общих затрат конкурент­ ной фирмы выражается следующей зависимостью: TC(Q) = 25Q*+ +625. Вывести функцию предложения фирмы в краткосрочном периоде, а также определить, при каком объеме выпуска миними­ зируются средние издержки.

1Внимание!!! Распределение созданной ценности между факторами производства (ценность L и ценность К в готовой продукции) происходит в соответствии с величиной степени в производственной функции Q = LaK^ (а - ценность труда; Р - ценность капитала), только при условии того, что а + р = \.

138

Решение

Для определения функции предложения фирмы в кратко­ срочном периоде воспользуемся условием максимизации прибы­ ли конкурентной фирмы: Р = МС. Исходя из условия задачи, можно вывести функцию МС, а затем приравнять ее к Р, полу­ чим: МС = (ТС)'= 50Q = Р. Следовательно, линия предложения имеет следующий вид: Qs = Р/50.

Для определения объема выпуска, который будет минимизи­ ровать затраты, необходимо воспользоваться условием миними­ зации затрат: АС = МС. Таким образом, получаем следующее ра-

венство: 256 + 0 ^ = 500 , решив которое получаем Q = 5.

ЗАДА ЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧА 11. Пусть технология		производства			представлена
производственной функцией:	s0		75	0 25
	Q = fC'			L ’ , где К - количество
используемого капитала, L -	количество использованного труда,
a Q - объем выпуска, при этом в		производстве			используется
75 ед. капитала и 25 ед. труда. Определить:

1.Объем производства данного блага в единицу времени.

2.Какое количество капитала обеспечит прежний объем вы­ пуска при увеличении количества труда в два раза?

3.Какое количество труда обеспечит прежний объем выпуска при уменьшении капитала на 25 ед.?

4.Если фирма уменьшает количество факторов производства в 25 раз, то какое количество продукции будет произведено фирмой?

ЗАДАЧА 12. Известны следующие показатели, характери­ зующие производственный процесс (см. таблицу). Рассчитать все виды затрат, а также построить график зависимости FC, ГС, ТС от Q, а также AFC, A VC, АС, МС от Q. Объяснить, как закон убы­ вающей отдачи от масштаба воздействует на форму линий VC и ТС. Объяснить характер взаимодействия линий AFC, AVC, АС и МС. Объяснить, как изменится расположение линий AFC, AVC, АС и МС, если величина FC уменьшится либо увеличится.

139