2010 Литвинский Шевченко Учебное пособие

Решение

1. Определим величину предельной нормы замещения блага X в точке касания линии бюджетного ограничения и кривой без­ различия. Исходя из того, что MUX= У, MUY =Х, и принимая во внимание, что в точке касания выполняется равенство У/Х=

=Р^/Ру, величину предельной нормы замещения можно предста­ вить в виде MRSxy = Рц/Ру = 9/18 = 0,5.

2.Составим уравнение бюджетного ограничения: 9Х + 187=

=108.

3.Составим систему из двух выведенных ранее уравнений:

—= 0 ,5

•X

9 Х + 1 8 У = 1 0 8

Решением данной системы является равновесный набор благ: Х = 6 ; 7=3. Исходя из данного набора благ, можно определить максимальное значение полезности, которое равно U=XY=6 • 3 = = 18.

ЗАДАЧА 4. Известна функция полезности, которая имеет следую­ щий вид: U=XY. При заданных ценах на данные блага потреби­ тель безразличен в своем выборе между двумя наборами: Х\ = 25; У\ = 30 и Х2 = 50; 7г = 15. Определить равновесный набор благ при условии, что бюджет потребителя равен 990 р.

Решение

Зная две точки, через которые проходит линия бюджетного ограничения, мы можем вывести ее функцию, которая имеет вид: 7=45-0,6А. Далее определим точки пересечения данной функ­

ции с осями координат: Утах = 45; Хтах'-=15.		Исходя из этого,
можно определить цены на блага X и	7:	Рх = 990/75 = 13,2;
Ру = 990/45 = 22. Потребитель достигает	максимума полезности

при заданном бюджете при выполнении следующего равенства:

У/Х= Рх/Ру или У/Х= 13,2/22 = 0,6.

Найдем набор благ, который обеспечит максимум полезно­ сти: У/Х= 0,6 => 7= 096Х. Подставим найденное равенство в бюджетное ограничение и получим: 990 = 13,2 А + 22 • 0,6А => X =37,5; 7 =22,5. Так как полезность от потребления двух дан­ ных в условии наборов благ равна 750 ед., а полезность найден-

90

Iidi о набора составляет 843,75 ед., то при заданном бюджете по­ требитель получает максимум полезности от потребления набора благ 37,5; 7=22,5.

ЗАДАЧА 5. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: u = Jxy, где X - некое экономическое благо, шт., a Y - композитное благо, р. Бюджет потребителя равен 600 р. Цена блага X составляет 4 р. Государство вводит налог на благо X в размере 25%. Рассчитать величину налоговых поступ­ лений в бюджет.

Решение

Очевидно, общие отчисления в бюджет равны произведению ставки налога на количество данного блага. После введения нало­ га цена блага X увеличивается до уровня 5 руб. (4 руб. + 25%), из которых отчисления в бюджет составляют 1 руб. с каждой еди­ ницы благаХ.

Далее определим оптимальный объем потребления блага X на основе условия максимизации общей полезности при заданном бюджете и ценах: M R Sxy = Px/PY- Цену расходов на композитное благо считаем равной единице, таким образом, увеличивая по­ требление блага X на 1 ед., потребитель уменьшает расходы на композитное благо на 5 р. Исходя из данных условий, составляем систему уравнений:

MUу	X	Ру
I = PxX + P yY =		5X+IY= 600.
Решив данную систему,	находим Х=60 ед. - оптимальный

объем потребления блага X; Y= 300 р. - оптимальный объем рас­ ходов на композитное благо. Исходя из этого, находим уровень полезности от потребления данного набора благ, который равен п/ =V1800. Следовательно, отчисления в бюджет государства рав­ няются 60 ед. 1р. = 60 р.

ЗАДАЧА 6. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: U =2АЧ-37. Доход потребителя со­ ставляет 280 р. Известно, что Рх = 20 p., PY = 14 р. Определить максимальную полезность от потребления данных благ.

91

Решение

Потребитель достигает максимума полезности при выполне­ нии следующего равенства: Pj/Py = Y/X. Основываясь на данном равенстве, составляем систему уравнений

[280 = 20 X + 147 <20 _ Y _

Л 4 ~ X

решив которую, получаем: Х= 7; Y - 10оптимальный набор, кото­ рый обеспечивает максимум полезности. иш х =2 • 7 + 3 • 10 = 44.

ЗАДАЧА 7. Функция полезности потребителя имеет следую­ щий вид: U=Xklft9 причем известно, что степени а и у? равны меж­ ду собой. Потребитель располагает доходом в размете 360 р. Це­ ны на блага составляют Рх = 6, PY = 3. В сложившейся ситуации потребитель покупает следующий набор благ: Х= 30; Y= 60, по­ лучая при этом максимальное количество полезности в размере 2187 ед. Определить величину компенсирующего и эквивалент­ ного изменения дохода, если известно, что цена блага X увеличи­ лась до 9 (Р'х =9).

Решение

Как известно, компенсирующее изменение дохода - это сумма денег, которой необходимо компенсировать изменение (в данном примереповышение) цены блага Х9 т.е. сумма, которую надо дать потребителю после увеличения Рх с целью сохранения пер­ воначального уровня полезности.

Для расчета этой суммы необходимо определить точку каса­ ния первоначальной кривой безразличия (U\ =2187) с прямой, па­ раллельной новой бюджетной линии (угол наклона линии бюд­ жетного ограничения равен Р\/Ру). Таким образом, необходимо

найти	точку,		в которой выполнялось бы равенство MRSxy = 3.
v 2187		^	2187	^
Y =^	^	=>Y	Х г = ~3 ^	х = 2 1 ■ Тогда, F= 2187/27 = 81.

Для приобретения данного набора благ потребителю необходимо

1=9 •27 + 3*81= 486 р. Следовательно, компенсирующее измене­ ние дохода составляет 486-360 = 126р .

92

Эквивалентное изменение дохода - это максимальная сумма денег, которую готов заплатить потребитель за предотвращение увеличения цены благаХ

При ценах, равных Рх = 6, PY = 3, и бюджете - 1 = 360 р. по­ требитель покупает некий набор благ, соответствующий точке касания кривой безразличия U\ и линии бюджетного ограничения ВС (точка А]). После увеличения Рх до 9 p. (PY= 3) оптимальный набор благ соответствует точке касания кривой безразличия U2 и линии бюджетного ограничения BD (точка А2). Набор благ (Л2) имеет меньшую полезность, нежели набор (А\) (U2 <U\).

Для определения эквивалентного изменения дохода необхо­ димо провести отрезок В'С\ параллельный первоначальной ли­ нии бюджетного ограничения ВС.

Для расчета величины эквивалентного изменения дохода необ­ ходимо найти точку оптимума после изменения цены блага X до 9 руб. Для расчета точки оптимума составляем систему уравнений,

которая имеет следующий вид: \X /Y = 3	г. Исходя из этого, рас-
360 = 9 ^ + 3 /
считываем оптимальный набор благ для	потребителя: Х ’ = 20,

К = 60. Следовательно, после увеличения Рх потребитель оказался на кривой безразличия: Y - 1200/Х. Далее определяем точку каса­ ния данной кривой безразличия с прямой, параллельной линии бюджетного ограничения ВС:

1200 ТГ| 1200

Для приобретения данного набора благ потребителю необхо­ димо / = 6 • 24,5+3 • 50 = 147+150 = 297 р. Следовательно, эквива­ лентное изменение дохода составляет 360-297 = 63.

ЗАДАЧА 8. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: U=XY, где X - некое экономическое благо, пгг, а Г - расходы на композитное благо. Определить вели­ чину компенсирующего и эквивалентного изменения дохода, ос­ новываясь на подходах Слуцкого и Хикса, при условии, что бюджет потребителя составляет 100 р. Цена блага X уменьшается

сРх\=25 m P xi = Юр.

Решение

Принимая во внимание, что цена композитного блага равна 1, можно найти равновесие потребителя до и после снижения цены, основываясь на следующей системе уравнений:

'l = PxxX x+PrxYx

	pY| х х
подставив необходимые данные, получаем:
'100= 25^ + 17;
<25 = Y1_	=>jr, = 2; Yx= 50, U= 100.
1 X x

Аналогично составляем систему уравнений для ситуации после снижения цены:

ioo = iojr, + i>;
10	=>Х2 = 5; Г2 = 50, £7=250.
1 X,
Таким образом, по Слуцкому,
компенсирующее изменение дохода:
Г-1 = СГхх Х\ + P y Y ) - 100=70 -		100 = -30
эквивалентное изменение дохода:
/'- / = (Рх\ X2	+ Py Y) - 100=175 -	100 = 75

Для определения минимального уровня расходов потребите­ ля, который обеспечит ему 100 ед. полезности, при Рх = 10, со­ ставляем систему уравнений:

94

100 = Л 'з^

2L = 10 => Х , = М ; Y3 = 10л/ш , U= 100.

Таким образом, по Хиксу, компенсирующее изменение дохода:

Г- 1 = {РXIХ3 + PYУз) - ЮО - 63,25 - 100 —-36,75.

Аналогично, для определения, набора благ, который обеспе­ чивает минимальный уровень расходов потребителя, при Рх = 25 и полезности U2 = 250, составляем систему уравнений:

250 — Х 4У4

У^ = 2 5 => Х4 = л/Ш; Y4 = 257Го, U =250.

X*

Из этого следует, что эквивалентное изменение дохода по Хиксу составляет:

Г-1 = (Pxl Х4 + PYУ4) —100 « 158,11 - 100 = 58,11

ЗАДАЧА 9. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: U = XY. Доход потребителя составляет 2100 р. Известно, что Рх = 50 р., Ру = 40 р. Определить, на сколь­ ко возрастет благосостояние потребителя, если цена блага X уменьшится на 20 р.?

Решение

Сначала рассчитаем, какую величину полезное™ получает потребитель при исходных ценах, т.е. найдем равновесный набор благ при Рх —50 р., Ру —40 р. Для этого составим систему урав­ нений

Г 2100 = 50 X + 40 Г

[50Ао = Y/x

решив которую, получим: Х= 21, ¥= 26,25, следовательно, U= 551,25. Аналогично определяем равновесный набор благ при Рх = 30

р., Ру = 40 р., он равен: Х= 35, Г= 26,25, U= 918,75.

Следовательно, при исходных ценах, значение полезности для данного потребителя составляет U\ = 551,25, после уменьше­ ния цены - t/2 = 918,75, т.е. его благосостояние возросло на U2-

(/, = 918,75-551,25 - 367,5 ед.

95

ЗАДАЧА 10. Известна функция полезности потребителя, ко­ торая имеет следующий вид: U =XY. Доход потребителя состав­ ляет 2100 р. Известно, что Р^=50 р., Ру = 40 р. Определить эф­ фект дохода и эффект замены, а также общий эффект, при изме­ нении цены блага X до уровня 30 р.

Решение

Для определения эффекта замены и дохода необходимо оп­ ределить точку касания исходной кривой безразличия (СД) и но­ вой линии бюджетного ограничения (/2). В предыдущей задаче определено, что уравнение кривой безразличия U\ имеет сле­ дующий вид: У = 551,25/ЯГ. Исходя из этого, можно определить

точку касания U\ и /2 из следующего равенства:	551,25 _ 30
	~~40 *

Решив равенство, получаем, что ЯГ= 27,11; У= 20,33.

Эффект замены состоит в увеличении потребления X на ве­ личину 27,11-21 =6,11; и в сокращении потребления блага Y на величину 20,33-26,25 = -5,92.

Эффект дохода состоит в увеличении потребления блага X на величину 35-27,11 = 7,89 и в увеличении потребления блага Y

на величину 26,25-20,33 = 5,92.

Общий эффект равен сумме эффекта замены и эффекта до­ хода: для блага X составляет 6,11+7,89 = 14; для блага Y состав­ ляет -5,91+5,91 = 0. Исходя из того, что для блага Y эффект заме­ ны равен эффекту дохода, объем спроса на него остался неизмен­ ным.

ЗАДА ЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 11. Предположим, что доход некоего потребителя составляет 120 р. Весь свой доход потребитель тратит на покупку двух товаров Х и У, причем цена товара X составляет 12 р., а цена У - 30 р.

а) Вывести уравнение бюджетного ограничения для данного потребителя.

б) Какой экономический смысл заложен в точках пересече­ ния бюджетной линии с осями координат, а также в угле наклона бюджетной линии?

96

в) Если доход данного потребителя уменьшится в два раза, то какое влияние это окажет на положение бюджетной линии? Как уменьшение дохода повлияет на количество потребляемых благ?

г) Как изменится положение бюджетной линии, если цена блага X снизится до уровня 6 р.?

ЗАДАЧА 12. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: U = 60X+90Y. Доход потребителя со­ ставляет 3300 р. Известно, что Рх = 15 p., PY = 22 р. Определить максимальную полезность от потребления данных товаров.

ЗАДАЧА 13. Известна функция полезности потребителя, ко­

торая имеет следующий вид: U = л/х2 + Y2 , где Х и Y -некое коли­ чество благ, причем X и Y положительные величины. Предполо­ жим, что Рх = 3 р., Ру = 4 р., / = 54 р. Потребление какого набора благ X и Y принесет потребителю максимум полезности?

ЗАДАЧА 14. Известна функция полезности потребителя, кото­ рая имеет следующий вид: £/= 4А0,75У0’25. Определить коэффици­ енты эластичности спроса на благаХ и 7 по доходу при условии,

что: Рх = 5; PY = 4; 7=320.

ЗАДАЧА 15. Известна функция полезности потребителя, ко­ торая имеет следующий вид: [/= 4.¥0’25У0,75. Цены потребляемых благ и бюджет равны: Рх = 5; PY = 4; 1= 320. Определить на сколько единиц изменилась полезность потребляемого набора благ при одновременном изменении дохода до уровня / ' = 480 и цены блага X до уровня Р ’х = 2.

ЗАДАЧА 16. Определить цену блага Z, если известно, что функция полезности потребителя имеет следующий вид: //= 10^+407+52, при условии, что цены благ равны: Рх = 5;

Г у = 20.

ЗАДАЧА 17. Вывести функцию линии «доход - потребление» о тносительно блага X и 7, а также уравнение бюджетного огра­ ничения, если известно, что функция полезности потребителя имеет следующий вид: U = X0,2 У0,75 при условии, что цены благ равны Рх■= 5; PY= 3.

97

ЗАДАЧА 18. Предпочтения потребителя описываются функ­ цией полезности следующего вида: U(X;Y) ~ (0,5Х+1,5У)1,75. Ма­ тематически доказать, какую форму будут иметь кривые безраз­ личия, соответствующие данной функции полезности? Раскрыть экономический смысл данной функции полезности и определить те предпочтения, которые отражает карта кривых безразличия, основанная на данной функции полезности. Ответ подкрепить примерами из жизни.

ЗАДАЧА 19. Известно, что уравнение бюджетного ограниче­ ния имеет следующий вид: PxX+PyY= /. Вывести через первона­ чальные цены и доход новое уравнение бюджетного ограничения, если Рх повышается в 4 раза, PY уменьшается в 2 раза, а доход увеличивается в 10 раз.

ЗАДАЧА 20. Известна функция полезности потребителя, ко­ торая имеет следующий вид: £/= 4Л'°’25У0’75. Какую долю своего дохода он будет тратить на товар У?

ТЕСТЫ

1. Потребитель достигает максимума полезности в том слу­ чае, когда:

а) отношение предельной полезности к цене равно по всем потребляемым благам;

б) предельная полезность равняется нулю; в) предельная полезность имеет максимальное значение;

г) выполняется равенство предельной нормы замещения от­ ношению цен.

2. Потребитель достигает своего оптимума, когда: а) предельные полезности благ равны между собой;

б) наклон кривой безразличия не равен наклону линии бюд­

жетного ограничения;	Мих	Рх
Ч
в) выполняется следующее равенство:	j f	=— ;
	1V1иy	*у

г) предельные полезности благ равны предельной полезности денег.

98

3. Определить неверное утверждение:

а) любая точка на кривой безразличия показывает некую комбинацию товаров;

б) любая точка на линии бюджетного ограничения показыва­ ет некую комбинацию товаров;

в) любая точка на линии бюджетного ограничения означает одинаковый уровень денежного дохода;

г) любая точка на кривой безразличия означает одинаковый уровень денежного дохода.

4. Эффект дохода проявляется, когда:

а) в связи с увеличением доходов потребители приобретают больше данного блага;

б) изменяется реальный доход при неизменном денежном до­ ходе;

в) изменение цены блага изменяет реальный доход потреби­ теля или его покупательную способность;

г) происходит относительное изменение потребления набора благ, связанное с изменением цены одного блага.

5.Положение в пространстве, а также угол наклона кривой безразличия можно объяснить с помощью:

а) предпочтений потребителя и размером его дохода; б) сопоставления цен на данные блага; в) предпочтений по гребителя;

г) сопоставления цен и предпочтений потребителя.

6.Эффект замены - это рост уровня потребления данного блага, вызванный:

а) изменением уровня цен на все потребляемые блага; б) готовностью потреблять дополнительные единицы блага

только по более низкой цене; в) уменьшением цены блага, что увеличивает (при прочих

равных условиях) реальный доход потребителя; г) изменением объема потребления блага вследствие измене­

ния его относительной цены.

99