Analiticheskaya_Geometria

(3.62)

Рассмотрим частный случай y ≥ 0 . Пусть M(x, y, z) − произвольная точка поверхности P . Точка M(x, y, z) получена в результате вращения некоторой точки N ( 0, yN , z) начального меридиана L. Точка N остается в

плоскости, перпендикулярной оси Oz , и описывает окружность с центром в точке A( 0, 0, zN ) и радиусом yN , следовательно,

AM		=	x2 + y2	= yN .	(3.57)

Так как точка N ( 0, yN , z) лежит на начальном меридиане, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.56), т. е. F (yN , z) = 0 , или с учетом (3.57) можно записать

F (		, z) = 0 .	(3.58)
	x2 + y2

Если рассмотреть и область y 0 , то в общем случае уравнение (3.58) поверхности вращения имеет вид

F (±

x2 + y2

, z) = 0 .

(3.59)

Аналогичные уравнения получаются при вращении начального меридиана вокруг координатных осей Ox и Oy .

П р и м е р 36. Пусть прямая y = z вращается вокруг оси Oz . Тогда уравнение начального меридиана F (y, z) = y − z = 0 . Уравнение полученной

поверхности вращения имеет вид ± x2 + y2 = z , т. е. x2 + y2 = z2 , или x2 + y2 − z2 = 0 . Таким образом, полученная поверхность вращения является конусом второго порядка.

3.18. Сжатие и растяжение поверхностей

Пусть P′ − произвольная поверхность. Возьмем некоторое положительное число k и каждую точку M′(x, y, z′′) поверхности P′ заменим точ-

кой M(x, y, z) , у которой

		′		(3.60)
		z = kz .
	Если k 1, то расстояние каждой точки от плоскости Oxy увеличива-
ется в k раз, если k 1 − уменьшается в			1 раз.
			k
	Пусть поверхность P′ задана уравнением
	F (x, y, z) = 0 .			(3.61)
	Рассмотрим поверхность P , состоящую из точек M(x, y, z)			таких, что
′	, т. е. каждая точка поверхности P		получена из точек поверхности		P	′
z = kz
увеличением (k 1) или уменьшением (k 1) аппликаты. Так как				′	′′
				M (x, y, z )
	′		′
расположена на поверхности P		, то F (x, y, z ) = 0 . Следовательно,

F (x, y, kz) = 0 .

Уравнение (3.62) описывает поверхность, полученную из поверхности, задаваемой уравнением F (x, y, z) растяжением или сжатием в k раз.

84

П р и м е р 37. Пусть в плоскости Oyz

задан эллипс

y2

+

z2

=1. При

9

4

вращении этого эллипса вокруг оси Oy получим поверхность,

определяе-

мую уравнением

y2

+

(±

x2 + z2 )2

=1, или

x2

+

y2

+

z2

=1,

т. е.

эллипсоид

9

4

4

9

4

вращения. Возьмем k = 2

и произведем сжатие эллипсоида вращения в 1,5

3

раза вдоль оси Oy . Тогда уравнение полученной поверхности имеет вид

			3y 2
2						z	2
			2
x								=1, или		2	2		2		. Таким образом, получили сферу р а-
	+				+				x	+ y		+ z		= 4
4			9			4

диусом R = 2 и с центром в начале координат.

Рекомендуемая литература

1.Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

М., 1979.

2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

М., 2000.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 2001.

4.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1965.

5.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. М., 1997.

6.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,

1989.

7.Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1996.

85