3.3. Задачи линейной алгебры

Выделяют четыре основные задачи линейной алгебры: решение СЛАУ, вычисление определителя матрицы, нахождение обратной матрицы, определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

3.3.1. Вычисление определителя матрицы

Одной из важных характеристик квадратной матрицы является ее определитель, это число, которое обозначается как det A. Отличие от нуля определителя det A  0 соответствует тому факту, что все строки (столбцы) матрицы, интерпретируемые как векторы являются линейно независимыми.

Определитель det A матрицы A(n) = [a_i,j] размером nn вводится следу-ющим образом.

Назовем дополнением элемента a_1,j подматрицу A_j(n–1) размера n–1, получаемую из исходной вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца.

Тогда рекуррентный алгоритм нахождения определителя записывается в виде:

1. .

2. .

Например, определитель матрицы второго порядка:

.

Определитель вычисляется следующим образом

Например, вычислим определитель матрицы .

Для больших размерностей матрицы приведенный алгоритм требует значительных вычислительных затрат. Ниже будет приведен эффективный алгоритм Гаусса для нахождения определителя.

3.3.2.Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задача отыскания решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными – одна из наиболее часто встречающихся в практике вычислительных задач, так как большинство методов решения сложных задач основано на сведении их к решению некоторой последовательности СЛАУ.

Для матричного оператора А задача I формулируется как или

; . (3.6)

Здесь А и заданы, требуется найти*, удовлетворяющий (3.6).

Известно, что если определитель матрицы , то СЛАУ имеет единственное решение. В противном случае либо решение отсутствует (если), либо имеется бесконечное множество решений (если). При решении систем, кроме условия, важно чтобы задача былакорректной, т. е. чтобы при малых погрешностях правой части и (или) коэффициентовпогрешность решениятакже оставалась малой. Признаком некорректности, или плохой обусловленности, является близость к нулю определителя матрицы.

Рис. 3.1 Устойчивость СЛАУ

Каждое из уравнений (3.6) описывает прямую линию в системе координат (x₁, …x_n). Плохо обусловленная система двух уравнений геометрически соответствует почти параллельным прямым (рис. 3.1). Точка пересечения таких прямых (решение) при малейшей погрешности коэффициентов резко сдвигается. Обусловленность (корректность) СЛАУ характеризуется числом . Чем дальшеот 1, тем хуже обусловлена система. Обычно присистема некорректна и требует специальных методов решения – методов регуляризации. Приведенные ниже методы применимы только для корректных систем.

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы дают в принципе точное решение за конечное число арифметических операций (если не учитывать ошибок округления). Для решения хорошо обусловленных СЛАУ применение прямых методов требует меньших вычислительных затрат по сравнению с итерационными, однако при этом требуется больше оперативной памяти.

Наибольшее распространение среди прямых методов получили метод Гаусса для СЛАУ общего вида, его модификация для трехдиагональной матрицы – метод прогонки и метод квадратного корня для СЛАУ с симметричной матрицей. Среди итерационных чаще используются метод простой итерации и его модификация – метод Зейделя.