Вопросы и задания для проверки

1. Сформулируйте основную задачу вариационного исчисления.

2. Что такое вариация функции?

3. Сформулируйте первое определения вариации функционала.

4. Запишите второе определение вариации функционала.

5. Изложите метод Ритца нахождения минимума произвольного функционала.

6. Сформулируйте элементарную задачу вариационного исчисления.

7. Запишите уравнение Эйлера для нахождения экстремалей.

Лекция 7. Преобразование Лапласа и z - преобразование

7.1. Преобразование Лапласа

Преобразование Фурье используется в основном для анализа сигналов. Рассмотренные ниже преобразования используются для решения дифференциальных, интегральных и разностных уравнений, которые описывают прохождение сигнала через различные фильтрующие сигнал устройства. Например, чтобы найти, как преобразует сигналf(t) сглаживающее устройство, представленное на рисунке, необходимо для сигнала u(t) на выходе решить дифференциальное уравнение. При этом надо задать начальный момент отсчета, как правило, при t = 0, предположить, чему равно u (0) и, зная f(t), рассчитать изменение сигнала u (t) при t > 0. При решении таких линейных дифференциальных уравнений широкое применение получил так называемый операционный метод, основанный на использовании интегрального преобразования Лапласа.

Рассмотрим класс, в общем случае комплексных функций, определенных для положительных t > 0 и ограниченных экспонентой . Такие функции обычно используются на практике, т. к. при рассмотрении некоторого процесса, изменяющегося со временем, естественно взять за начало отсчета времени значениеt = 0, а также считать, что процесс развивается не взрывообразно (т. е. не экспоненциально).

Рис. 7.2 Область определения

преобразования Лапласа

Для таких функций в заштрихованной на рис. 7.1 области существует конечный интеграл:

, (7.1)

причем функция F(р) является аналитической (т. е. дифференцируемой бесконечное число раз). Таким образом (7.1) представляет интегральный оператор Lu(t)=F(р), который определяет преобразование Лапласа, широко используемое в практических приложениях.

Для пространства функций {…u(t)…; } множество {…F(р)…; } представляетпространство образов преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа является некоторой модификацией преобразования Фурье – оно превращается в преобразование Фурье, если задать p=it. Для него так же существует обратное преобразование.

Обратное преобразование Лапласа L^–1F(р)=u(t):

(7.2)

Нас интересует, как с помощью этого преобразования можно решать дифференциальные уравнения. Поэтому сразу найдем, как преобразование Лапласа действует на производную.

Найдем преобразование Лапласа от производной :

.

Для второй производной получим:

Действуя аналогично, получается преобразование Лапласа для производной любого порядка:

. (7.3)

Рис 7.3 Разрядка конденсатора

Формула (7.3) лежит в основе операционного исчисления – методики решения многих задач с начальным условием (для дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных уравнений) путем их сведения к задачам над образами.

Проиллюстрируем эту методику на простейшем примере решения задачи Коши (задачи с начальным условием при t = 0) для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решим дифференциальное уравнение с начальным условием:

. (7.4)

Это уравнение описывает, как изменяется напряжение на обкладках вначале заряженного конденсатора после подключения сопротивления (рис. 7.3).

Применим к нему преобразование Лапласа:

.

Как видим, вместо дифференциального уравнения мы получили алгебраическое из которого легко находим образ искомого решения:

.

Теперь для нахождения искомого решения достаточно найти обратное преобразование (7.2) для 1/(p + a). Но взять интеграл (7.2) порой слишком затруднительно. Поэтому для преобразования Лапласа имеются довольно подробные таблицы образов многих нужных функций.

Покажем, как они получаются, и заодно решим нашу задачу.

Многие функции могут быть представлены в ряд Тейлора:

Поэтому для начала найдем образ от функции вида :

С другой стороны, многие функции F(р) могут быть представлены в виде разложения по степеням 1/p. Это дает возможность получать образы многих функций.

Например, возьмем следующее разложение функции в ряд Тейлора:

и подставим x = a/p, получим:

.

Теперь представим нашу функцию 1/(p + a), получившуюся как образ решения ДУ в виде ряда по степеням 1/p:

.

Возьмем от полученного ряда обратное преобразование:

.

В результате получим искомое решение: . Прямой подстановкой убеждаемся, что оно удовлетворяет нашему уравнению и граничному условию.

Если вспомнить, что функция Бесселя представима в виде степенного ряда, то аналогично находится оригинал от функции Бесселя:

.

В книге Андре Анго (Математика для электро- и радиоинженеров. М, Наука. 1964.) приведена таблица, содержащая образы преобразования Лапласа для 100 функций. Ее использование позволяет решить множество инженерных задач.