6.3. Общий метод нахождения минимума функционала

На основании вышеприведенной теоремы для поиска минимума функционала следует найти его вариацию, после чего решать получившееся функциональное (чаще всего дифференциальное) уравнение:

. (6.3)

Если же вариацию найти не удалось, или же полученное функциональное уравнение слишком сложное для решения, то используют самый универсальный и во многих случаях единственно возможный метод, предложенный Ритцем (W. Ritz, 1908 г). Иногда его называют методом пробных функций. Теоретическим обоснованием этого метода занимались Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов. Чаще всего этот метод реализуется следующим образом.

Выбираем в области определения Y функционала Ф некоторый базис, т. е. набор линейно независимых функций , обладающихсвойством полноты: любая функция у(х) из области решений может быть представлена в виде

Будем искать приближение к функции, доставляющей минимум функционала в видеПосле подстановкив функционалполучим функциюN переменных:

Неизвестные значения коэффициентов разложения искомого решения по функциям базиса будем находить из условия.

Таким образом, задача вариационного исчисления сводится к нахождению минимума функции n переменных. Алгоритмы решения этой задачи хорошо разработаны и имеются стандартные программы минимизации функции n переменных.

Для случая квадратичных функционалов нахождение сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, как показано в следующем примере 1.

Пример 1. Найти минимум функционала:

.

Выбираем систему базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям:

.

Решение ищем в виде функции , которая удовлетворяет граничным условиям. Производная.

Подставляем в наш функционал и получаем целевую функцию:

.

Обозначим:

Получим:

.

Запишем условия экстремума функции n переменных:

.

Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений с помощью стандартной программы, получаем неизвестные значения a₁,…a_N и искомую экстремаль y^N(x).

Заметим, что в нашем конкретном случае матрица системы получается диагональной и решение имеет вид:

; .

6.4. Элементарная задача вариационного исчисления

Наиболее полно теория решения вариационных задач разработана для частного случая функционала следующего вида:

. (6.4)

Здесь – непрерывная дифференцируемая функция трех переменных.

Получим для этой задачи функциональное уравнение (6.3) для нахождения экстремалей. Воспользуемся вторым определением вариации (6.2) и правилом дифференцирования сложной функции. Уравнение (6.3) примет вид:

Преобразуем последний интеграл, воспользовавшись правилом интегрирования по частям:

, ;

получим:

.

В результате имеем:

.

Последнее равенство должно выполняться для произвольной , что возможно только при условии:

=0, . (6.5)

Или более коротко: .

В результате мы получили дифференциальное уравнение Эйлера (6.5), которому должны удовлетворять экстремали функционала (6.4). Это уравнение в общем случае имеет второй порядок и дополняется двумя граничными условиями. Для выяснения вопроса минимум или максимум имеет место требуется дополнительное исследование второй производной на положительность. Если

то на экстремали достигается минимум, если – то максимум.

Пример 2. Найти экстремаль функционала:

.

Здесь .

Подставляя в (6.5) получим уравнение Эйлера в виде: .

Интегрируем его, получаем:

.

Константы подбираем используя граничные условия, получим:

с₁ = с₂ = 0, .

Проверим , следовательно, имеет место минимум приy = x³.

Пример 3. Найти минимум функционала:

.

Здесь .

Уравнение Эйлера имеет вид: .

Общее решение:

.

Из граничных условий, находим: или.

Окончательно: .

Если сравнить с результатом примера 1, получим:

.