- •А. К. Синицын Специальные математические методы и функции
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1. Элементы функционального анализа
- •1.1. Линейные пространства
- •1.2. Линейное нормированное пространство
- •1.3. Унитарные пространства. Скалярное произведение и ортогональность
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 2.Тригонометрический ряд Фурье, интегральное преобразование Фурье
- •2.1. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
- •2.1.1. Классическая форма ряда Фурье
- •2.1.2. Комплексная форма ряда Фурье.
- •2.1.3. Ряд Фурье для функции с заданным периодом
- •2.2. Интегральное преобразование Фурье
- •2.2.1. Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье
- •2.2.2. Свойства преобразования Фурье
- •2.2.3. Спектральные функции для некоторых сигналов
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 3. Линейные операторы, основные задачи и методы
- •3.1. Линейные операторы
- •3.2. Операторные задачи в линейных пространствах и общие методы их решении
- •3.2.1. Итерационный метод
- •3.2.2. Проекционный метод
- •3.3. Задачи линейной алгебры
- •3.3.1. Вычисление определителя матрицы
- •3.3.2.Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •3.3.3. Метод Гаусса
- •3.3.4. Решение задачи на собственные значения
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 4. Специальные методы решения дифференциальных уравнений
- •4.1. Уравнения математической физики
- •4.2. Основные типы уравнений в частных производных
- •2. Гиперболические:
- •4.3. Два наиболее часто используемых специальных метода решения линейных дифференциальных уравнений
- •4.3.1. Метод комплексных амплитуд
- •4.3.2. Метод разделения переменных Фурье для решения уравнений в частных производных
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 5. Функции Бесселя
- •5.1. Волновое уравнение в цилиндрической системе координат
- •5.2. Уравнения Бесселя
- •5.3. Функции Бесселя первого и второго рода
- •5.3.1. Определения и графики
- •5.3.2. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя первого и второго рода
- •5.4.2. Рекуррентные соотношения для модифицированных функций Бесселя первого и второго рода
- •6.2. Общая задача вариационного исчисления, вариация функцинала
- •6.3. Общий метод нахождения минимума функционала
- •6.4. Элементарная задача вариационного исчисления
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 7. Преобразование Лапласа и z - преобразование
- •7.1. Преобразование Лапласа
- •7.2. Сеточные функции и разностные уравнения
- •7.2.1. Понятие сеточной функции.
- •7.2.2. Разностные уравнения для сеточных функций и их решения
- •7.3. Дискретное z - преобразование: определение и основные свойства
- •Вопросы и задания для проверки
- •Литература
- •Специальные математические методы и функции
3.3.3. Метод Гаусса
Метод основан на приведении исходной СЛАУ с произвольной матрицей (3.6), с помощью преобразований, не меняющих решение, к СЛАУ с верхней треугольной матрицей вида:
. (3.7)
Этап приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса.
Решение системы с верхней треугольной матрицей (3.7), как легко видеть, находится по формулам, называемым обратным ходом метода Гаусса:
(3.8)
Сначала из последнего уравнения (3.7) находится xn, затем, зная xn, из предпоследнего находится xn–1 и т. д.
Прямой ход метода Гаусса осуществляется следующим образом: вычтем из каждогоm-го уравнения(m = 2 ... n) первое уравнение, умноженное наи вместоm-го уравнения оставим полученное. В результате в матрице системы исключаются все коэффициенты первого столбца ниже диагонального. Затем, используя второе полученное уравнение, аналогично исключим элементы второго столбца(m = 3 ... n) ниже диагонального и т. д. Такое исключение называетсяциклом метода Гаусса. Проделывая последовательно эту операцию с расположенными нижеk-го уравнениями (k = 1, 2, ..., n–1), приходим к системе вида (3.7). При указанных операциях решение СЛАУ не изменяется.
На каждом k-м шаге преобразований прямого хода элементы матриц изменяются поформулам прямого хода метода Гаусса:
(3.9)
Элементы называютсяглавными. Заметим, что если в ходе расчетов по данному алгоритму на главной диагонали окажется нулевой элемент, то произойдет сбой в ЭВМ. Чтобы этого избежать, следует каждый цикл поkначинать с перестановки строк: среди элементовk-го столбцанаходят номер pглавного, т. е. наибольшего по модулю, и меняют местами строкиkиp. Такой выбор главного элемента значительно повышает устойчивость алгоритма к ошибкам округления, так как в формулах (3.9) при этом производится умножение на числаменьшие единицы, и ошибка, возникшая ранее, уменьшается.
Проиллюстрируем метод Гаусса на решении СЛАУ 3-го порядка:
Первый цикл: вычтем из второго уравнения первое, умноженное на , а из третьего – первое, умноженное наполучим:
Второй цикл: вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на a3,2/a2,2 = 0,5; получим систему с треугольной матрицей вида:
Обратный ход: из последнего уравнения находим , подставляя во второе, находим, подставляя в первое, находим.
Таким образом, получен вектор решения
Определитель матрицы (detA) не изменяется при вышеприведенных преобразованиях прямого хода метода Гаусса, однако изменяется его знак.
Как известно, определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Для нашего примера det A = 249 = 72.
3.3.4. Решение задачи на собственные значения
Рассмотрим задачу III с матричным оператором А
(3.10)
Значения , , при которых выполняется (3.10) называются собственным значением и соответствующим ему собственным вектором матрицыА. Множество всех собственных значений называется спектром матрицы А.
Система является однородной (здесьI – единичная матрица), и следовательно имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю:
.
Этот определитель представляет собой многочлен степени n относительно , который называется характеристическим. Соответствующее характеристическое уравнение получается после приведения подобных членов и имеет стандартный вид:
. (3.11)
Характеристическое уравнение (3.11) имеет n корней 1,…n, среди которых могут быть одинаковые (кратные). Эти корни и являются собственными значениями матрицы.
Для нахождения собственных векторов требуется при каждом 1,…n решать однородную систему уравнений:
(3.12)
Ввиду того, что матрица этой системы имеет нулевой определитель, ее решение определяется с точностью до произвольной константы с:
.
В качестве примера найдем собственные значения и собственные векторы матрицы:
.
Составляем характеристическое уравнение:
;.
Построим график P(), найдем приближенное значение каждого корня, после этого решаем уравнение P() = 0 численно, находим
{1 = –4.284, 2 = 3.762, 3 = 5.522}.
При 1 = –4.284, получим систему:
Определитель этой однородной системы равен нулю, поэтому она имеет бесконечное множество решений. Одну из переменных можно взять произвольно, например, x3 = c1 и отбросить одно из уравнений. Тогда получим
.
Действуя аналогично, при 2 = 3.762, x1 = c2, получим .
При 3 = 5.522, x3 = c3, получим .