4.2. Основные типы уравнений в частных производных
Наш мир устроен так удивительно, что большинство окружающих нас физических полей описывается дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка или, если имеется несколько взаимосвязанных полей, – системами таких уравнений. Более того, если процессы не слишком интенсивны, то при их описании можно ограничиться линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Самый общий вид такого уравнения:
; 
(4.1)
Оказывается, что свойства решений (4.1) существенно зависят от коэффициентов, стоящих при старших производных. Причем с помощью соответствующей замены независимых переменных уравнение (4.1) может быть приведено к одному из следующих трех типов.
Параболические:
или
. (4.2)
Более общий случай:
или
.
К этому типу сводятся уравнения для физических полей, описывающих диссипативные процессы: теплопроводность – поле температуры Т(x, y, z, t); диффузия – поле концентрации С(x, y, z, t) (например, сахара в растворе). Уравнение (4.2) получило название уравнение теплопроводности.
Процесс распространения возмущения, возникающего в таком поле, имеет затухающий характер, и для одномерного случая этот процесс иллюстрирует рис. 4.1, на котором вначале (при t = 0) компактное возмущение температуры в последующие моменты времени «расползается» по пространству.
Рис. 4.1
Развитие
возмущения
Одномерное ДУЧП:
.
2. Гиперболические:
или
. (4.3)
Более общий случай:
или
.
К этому типу сводятся уравнения для физических полей, описывающих волновые процессы – распространение звука, электромагнитные волны, поле вероятностей в квантовой физике. Уравнение (4.3) получило название уравнение Д’Аламбера, или неоднородное волновое уравнение.
Процесс распространения возмущения, возникающего в таком поле, имеет вид бегущих в разных направлениях возмущений, причем в одномерном случае, представленном на рис. 4.2, возмущения не затухают.
Рис. 4.2
Развитие возмущения
Одномерное ДУЧП:
.
Решение имеет вид
.
3. Эллиптические (описывают стационарные процессы):
или
. (4.4)
В более общем случае:
или
.
К этому типу
сводятся уравнения для многих физических
полей: электростатические и
магнитостатические поля, установившееся
температурное поле и поле концентраций
и др. Уравнение (4.4) получило название
уравнение
Пуассона;
если
= 0 –уравнение
Лапласа.
При постановке
задач для ДУЧП обычно требуется найти
распределение поля
,
удовлетворяющее ДУ в некоторой области
пространства
с границей Г, причем область может быть
как ограниченной, так и полуограниченной.
Оказывается, что
семейство решение ДУЧП, в отличие от
ОДУ, не зависит от конечного набора
произвольных констант, а содержит
произвольные дифференцируемые функции,
т. е. пространство
решений является бесконечномерным.
Например, решением одномерного волнового
уравнения
является произвольная, дважды
дифференцируемая функция с аргументомt
– z,
или t
+ z:
(бегущие влево и вправо волны, см. рис.
4.2), в чем легко убедиться прямой
подстановкой.
Для выделения единственного искомого решения из пространства решений необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего ими являются начальные условия (для нестационарных полей, описываемых уравнениями (4.2), (4.3)) и граничные (краевые) условия.
Начальные условия задают значение искомой функции в начальный момент времени. При этом для ДУ (4.2) достаточно задать:
. (4.5)
Для ДУ (4.3), содержащего вторую производную по времени, нужно задать еще начальное распределение производных:
. (4.6)
Граничные (краевые) условия задают либо значения искомой функции на границе Г области условия (первого рода) Дирихле:
, (4.7)
либо значения производной на границе условия (второго рода) Неймана:
, (4.8)
либо некоторое соотношение между производной и значением функции на границе условия (третьего рода) Ньютона:
. (4.9)
Задачи для (4.2), (4.3) с начальным условием (4.5),(4.6) и граничным условием (4.7) – (4.9) называют задачами Коши, задачи для (4.4) с (4.7) (4.9) – краевыми задачами.