6.2. Общая задача вариационного исчисления, вариация функцинала

Задачи, подобные вышеописанной можно сформулировать в общем виде следующим образом.

Имеется функционал Ф[у(x)]  P, определенный на множестве функций y  Y, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Требуется среди этих функций найти такую функцию y^m, на которой функционал достигает своего минимума (или максимума), т. е. для y(x)  y^m(x), Ф[у(x)] > Ф[у^m(x)]. Кривая у^m(x) в этом случае называется экстремалью.

При нахождении минимума функции используют производную, которая по определению равна отношениюдифференциала функции к приращению аргументаdx в каждой точке. В точке экстремума дифференциал равен нулю. Как известно из курса дифференциального исчисления, дифференциал – это главная линейная часть приращения функции при приращении ее аргумента. Как видно из рис. 6.2 дифференциал dy может не совпадать с приращением функции . По аналогии с определением дифференциала функции для функционала вводят понятиевариации функционала.

Вначале рассмотрим понятие вариации функции у(х), являющейся аргументом функционала Ф[у(x)].

Вариацией функции y(х) (или приращением функции) называется разность между двумя функциями у(х) и , принадлежащих выбранному классуY:

.

Заметим, что вариация сама является функцией, она показана пунктиром на рис. 6.3. Для близких функций, в смысле выбранного расстояния вY, вариация будет близка к нулевой функции. Обычно при решении вариационных задач, рассматриваются классы функций, удовлетворяющих граничным условиям. В этом случае вариация удовлетворяет нулевым условиям на границах.

Вариация функционала: .

Пусть функционал Ф[у(x)] задан на множестве Y функций, удовлетворяющих граничным условиям.

Приращением функционала Ф[у(x)], отвечающим приращению y(х) аргумента, называется величина:

.

Определение вариации функционала.

Допустим, что приращение функционала можно представить в виде, гдеL[y(х)] – линейный функционал от y(х), а – остаточный член, который пристремится к нулю не медленнее, чем квадрат вариации:(C – некоторая константа). Тогда главная линейная по отношению к  y (х) часть приращения функционала L[ y(х)] называется вариацией функционала и обозначается .

Доказано, что если вариация функционала существует, то она определяется единственным образом.

Пример 1. Найдем вариацию линейного функционала .

Находим приращение функционала:

.

Таким образом приращение и есть линейный функционал относительноy(х) и, следовательно в точности равно вариации функционала.

Заметим, что по аналогии дифференциал df от линейной функции равен приращению f.

Пример 2. Найдем вариацию нелинейного функционала: .

Находим приращение функционала:

В пространстве С[a,b] справедливо неравенство:

,

т. е. остаточный член стремится к нулю не медленнее, чем квадрат вариации аргумента. В результате получаем, что вариация равна: .

Второе определение вариации функционала. Не всегда удобно находить вариацию, используя первое определение. Поэтому часто используют определение, которое ввел французский математик Лагранж. Согласно этому определению, вариация функционала может быть получена как значение производной функционала по параметруs при s = 0 (здесь s – число):

. (6.2)

Пример 3. Найдем опять вариацию функционала:

.

Используя второе определение, найдем выражение для производной:

.

При s = 0 получаем тот же результат, что и в примере 2: .

Теперь можно сформулировать основную теорему об экстремуме функционала.

Теорема (необходимое условие экстремума функционала)

Если функционал достигает экстремума приy = y^m (x)  Y, то имеет место равенство нулю вариации функционала .

Функции, для которых называются стационарными функциями илиэкстремалями, т. е. это кривые, на которых может достигаться искомый минимум функционала.