Лекция 1. Элементы функционального анализа

1.1. Линейные пространства

Линейным пространством E называется всякая совокупность элементов (в дальнейшем функций, векторов или матриц):

,

над которыми определены две операции

сложение:

 x, y  E, z=x+y  E

умножение на число:

 x  E,  a P (P – поле чисел), ax E,

подчиняющиеся следующим аксиомам:

1. x+y = y+x; свойство коммутативности;

2. (x+y)+z = x+(y+z); свойство ассоциативности;

3. существует нулевой элемент , такой, что  x  E, x +  = x;

4.  x  E существует противоположный – x, x + (–x) = , т.е существует операция вычитания;

5. 1x = x;

6. (a+b)x = ax+bx; a, b P;

7. a(x+y) = ax+ay; распределительный закон;

8. a(bx)=(ab)x.

Одним из следствий аксиом является то, что для любого набора элементов ихлинейная комбинация тоже принадлежит Е, т.е.

, a₁,..,a_n  P.

Примеры линейных пространств

1. Все векторы , отложенные от начала координатО некоторого n-мерного пространства R_n образуют линейное векторное пространство V_n.

–координаты вектора;

операция сложения: ;

операция умножения на число a : .

2. Множество матриц образуют линейное пространствоM_mn. Операции аналогичны, т. к. вектор – частный случай матрицы.

3. Множество функций {…,f(x), g(x), u(x),…} является линейным пространством F.

4. Линейным пространством R является и множество решений линейного дифференциального уравнения:

.

Действительно, если – решения, тотоже решение, еслиc₁, c₂  P.

Основной отличительной особенностью линейных пространств от других множеств элементов является тот факт, что в любом линейном пространстве E можно найти такой набор базисных элементов (говорят базис) {j₁,…, j_n,…} через линейные комбинации которых a₁₁+…+a_n_n выражается любой элемент из E.

Действительно, для вышеприведенных пространств в качестве базиса могут быть выбраны следующие наборы элементов:

1. В трехмерном векторном пространстве V₃ можно выбрать тройку векторов:

: .

Тогда любой вектор можно получить в виде

, x, y, z  P.

2. Во множестве матриц M₂₂ можно выбрать базис из 4-х матриц:

,

через которые выражается любая матрица А  M₂₂:

А=a₁₁A¹¹+a₁₂A¹²+a₂₁A²¹+a₂₂A²², a_ij – произвольные числа.

3. Во множестве аналитических функций F_a выберем базис из бесконечного набора одночленов: {1, x, x²,…xⁿ,…},тогда, каждую аналитическую функцию в окрестности точки x = 0 можно представить в виде степенного ряда:

.

4. Рассмотрим пространство R₃, состоящее из решений дифференциального уравнения третьей степени: . Выберем базис из 3-х частных решений:

.

Тогда любое решение можно представить в виде

.

Чтобы можно было представить любой элемент в виде линейной комбинации элементов базиса необходимо, чтобы базисные элементы были линейно независимы. Система элементов {x₁,…x_n} называется линейно независимой, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда.

Линейной оболочкой n линейно независимых элементов {x₁,…x_n} называется множество из линейных комбинаций,a_i  P.

Линейное пространство E_n называется n-мерным, если оно представляет собой линейную оболочку n независимых элементов {x₁,…x_n}.

Линейное пространство E_ называется бесконечномерным, если в нем существуют системы из бесконечного числа линейно независимых векторов.

Как видим, пространства V₃, M₂₂, R₃ – конечномерные, пространство F_a бесконечномерное.