Уравнения этой системы определяют две параллельные прямые (рис. 1.2),

	y			которые никогда не пересекутся, а следова-
				тельно, система примера 2 не имеет реше-
	3			ний, т.е. несовместна.
				Если записать систему (1.15) в виде
	x +2 y = 6
				x −3y = 2,
1
		6	x
	2			−2x +6 y = −4.
O				и построить прямые, соответствующие ее
	3x +6 y = 4			уравнениям (рис.1.3), то мы убедимся, что
				эти прямые совпадают. Таким образом, бес-
	Рис.1.2.			конечное множество точек совпадающих
				прямых определяет бесконечное множество
решенийсистемыпримера3 (системанеопределенна).
	Очевидно, что рассмотренные три случая исчерпывают возмож-
	y			ности взаимного расположения двух прямых -
	x −3y = 2		x	графического изображения уравнений систе-
O				мы (1.3).
	2			Теперь ясно, почему при решении системы
−1				(1.3) возможен один из трех случаев:
	−2x +6 y = −4
				- система имеет единственное решение

		- система не имеет решений
	Рис.1.3.	- система имеет бесчисленное множество ре-
		шений.

1.3Определители третьего и высших порядков

Впредыдущем разделе мы убедились в возможности использования определителей второго порядка для исследования и решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Чтобы распостранить этот метод на системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, а затем обобщить для произвольного n нам понадобятся определители более высоких порядков. При вычислении этих определителей для нас окажется предпочтительным способ, при котором определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков. С этой целью рассмотрим сначала квадратную матрицу третьего порядка

12

		a11	a12	a13
A =		a21	a22	a23		(1.16)
		a31	a32	a33

Если в матрице третьего порядка вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Очевидно, что таким способом из матрицы третьего порядка можно получить девять различных матриц второго порядка.

Определение. Минором элемента aik матрицы третьего по-

рядка называется определитель матрицы второго порядка, получающейся из данной матрицы вычеркиванием i -ой строки и k -ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Минор элемента aik обозначается символом Dik . У матрицы третье-

го порядка девять различных миноров. Например, минором элемента a12 матрицы (1.16) является определитель

D	=	a21	a23	.
12		a31	a33

Определение. Алгебраическим дополнением Aik элемента aik

матрицы третьего порядка называется число, равное произведению минораэтогоэлементана (−1)i+k .

Таким образом, по определению

A	= (−1)i+k D	(1.17)
ik	ik

Из формулы (1.17) следует, что алгебраическое дополнение равно минору, если сумма индексов i + k - четная, и имеет противоположный знак, если сумма индексов нечетная.

Пример. Вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы третьего порядка

2

−1

0

1

−3

−1

−2

0

1

Решение. По формуле (1.17) вычислим

A

1+1

−3 −1

= −3; A

1+2

1 −1

=1;

= (−1)

= (−1)

11

0 1

12

−2 1

13

1 −3

= −6;

A

= (−1)1+3

13

−2

1

A

= (−1)2+1

−1 0

=1; A

= (−1)2+2

2 0

= 2;

21

0

1

22

−2

1

A

= (−1)2+3

2 −1

= 2;

23

−2

0

A

= (−1)3+1

−1

0

=1; A

= (−1)3+2

2

0

= 2;

31

−3

−1

32

1

−1

A = (−1)3+3

2 −1

= −5.

33

1

−3

Определение. Определителем матрицы третьего порядка (опре-

делителем третьего порядка) называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения и обозначаемое символом

a11 a12 a13 a21 a22 a23 . a31 a32 a33

Таким образом, по определению

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11A11 +a12 A12 +a13 A13. (1.18) a31 a32 a33

Если в (1.18) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы в соответствии с (1.17) и выполнить тождественные преобразования, то получим формулу, которую принимают в курсах высшей алгебры в качестве определения определителя третьего порядка:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21.a32	−	(1.19)
a31	a32	a33

a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23.a32.

В этой формуле шесть слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов матрицы: по одному из каждой строки и каждого

14

столбца. Три слагаемых со знаком “+” и три - со знаком "-". Чтобы легко запомнить формулу (1.19) используют "правило треугольника": со знаком "+" берутся произведения элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали, а со знаком "-" берутся произведения элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали. Правило треугольника представлено на схеме:

+	–

Пример. Вычислить определитель

2	−1	1
1	2	−3
1	1	−1

Решение. Вычислим определитель двумя способами. а) По определению, в соответствии с формулой (1.18)

2 −1 1

						1			2		−3 = 2A11 +(−1) A12 +1A13 =
						1			1			−1
					1+1			2		−3		1+2		1 −3		1+3		1 2
				= 2(−1)				1		−1		+(−1)(−1)		1 −1		+1(−1)		1 1	=
				= 2 1+1 2 +1(−1) =3.
б) По правилу треугольника
		2	−1	1
		1	2	−3	= 2 2(−1) +(−1)(−3)1+1 1 1−1 2 1−(−1)1(−1) −2(−3) 1 =
		1	1	−1

= −4 +3 +1−2 −1+6 =3.

15

Аналогично тому, как определитель третьего порядка был определен с помощью определителей второго порядка, определители высших порядков (четвертого, пятого и т.д.) будем определять, считая, что известны определители предшествующих порядков.

Следуя этой схеме, в общем случае, предполагая известным понятие определителя (n −1) - го порядка, введем понятие минора Dik и алгебраиче-

ского дополненияAik элемента aik				матрицы n -го порядка
		a11	a12	...	a1n
A =		a21	a22	...	a2n					(1.20)
		... ... ... ...
		an1	an2	...	ann
Определение. Минором Dik элемента aik матрицы n -го поряд-
ка называется определитель матрицы (n −1) го порядка,										получающейся

из данной матрицы вычеркиванием i -ой строки и k -ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Определение. Алгебраическим дополнением Aik элемента

a матрицы n -го порядка называется число,		равное произведению
ik
минора D этого элемента на (−1)i+k , то есть
ik	= (−1)i+k D .
A		(1.21)
ik	ik

Определение. Определителем матрицы n -го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения и обозначаемоесимволом

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
...	... ... ...
an1	an2	...	ann

Такимобразом, поопределению

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n	=a	A	+a	A	+ +a	A	.	(1.22)
...	... ... ...			11	11	12	12	1n	1n
an1	an2	...	ann

16