Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный институт управления РАНХиГС (СЗАГС)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы линейной алгебры.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

567.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

3.	1 A = A 1 = A.	(2.8)
4.	λ Omn =Omnλ =Omn ,	(2.9)
где Omn − нулевая матрица любого размера
5.	0A = A0 =Omn ,	(2.10)
	Для матриц одинакового размера можно определить разность
A − Bс помощью равенства
	A − B = A +(−1)B.	(2.11)

2.2. Умножение матриц

Операция умножения двух матриц определена только для тех случаев, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк у второго.

Определение. Произведением матрицы A размера m ×n на матрицу B размера n × p называется матрица C размера m × p , каж-

дый элемент которой cik , равен сумме произведений элементов i -ойстро-

ки матрицы A на соответствующие элементы k -го столбца матрицы B , то есть

cik = ai1b1k +ai2b2k + +aimbmk

(i =1, 2,..., m;

k =1, 2,..., p).

(2.12)

Для произведения матриц A и B используется обозначение

C = A B

Это правило условно отражено на схеме.

k B(n × p)

g b1k

A(m ×n)

b2k

c(m × p)

m i

g b

cik

ai1

ai2

ain

Пример 1. Умножить матрицу

	A =		−2	3	0
	A =		−2	3	0
			3	−1	1
на матрицу
B =	−1		2	−2	3	.
	−1		2	−2	3
	0		1	−1	2
	1	−3		0	1

Решение. Так как матрица A имеет три столбца, а матрица B - три строки, то умножение матрицы A на матрицу B возможно, при этом произведением матрицы A на матрицу B будет матрица C , состоящая из двух строк и четырех столбцов.

Вычислим элементы матрицы C

c11 = (−2)(−1) +3 0 +0 1 = 2, c12 = (−2)2 +3 1+0(−3) = −1, c13 = (−2)(−2) +3(−1) +0 0 =1, c14 = (−2)3 +3 2 +0 1 = 0,

c21 =3(−1) +(−1)0 +1 1 = −2, c22 =3 2 +(−1)1+1(−3) = 2,

c23 =3(−2) +(−1)(−1) +1 0 = −5,

c24 =3 3 +(−1)2 +1 1 =8.

Таким образом,

A B =	2	−1	1	0	.

	−2	2	−5	8

Заметим, что в данном примере может идти речь только о произведении AB матрицы A на матрицу B . Произведением матрицы B на матрицу A не имеет смысла, так как число столбцов матрицы B не равно числу строк матрицы A.

Пример 2. Вычислить произведения AB и BA, если

A =	2	−1	и	B =	1	3	.
A =	2	−1	и	B =	1	3	.
	0	1			−1	2

Решение.


A B =			2	−1		1 3		=			2 +1	6 −2	=			3		4		;
A B =			2	−1		1 3		=			2 +1	6 −2	=			3		4		;
			0	1		−1 2					0 −1	0 +2			−1			2
B A =		1 3			2	−1	=			2 +0 −1+3				=			2		2		.
B A =		1 3			2	−1	=			2 +0 −1+3				=			2		2		.
	−1 2				0	1			−2 +0 1+2								−2		3

Итак, в данном примере оба произведения AB и BA имеют смысл,

но AB ≠ BA.

Из рассмотренных примеров следует, что умножение матриц не обладает переместительным свойством или некоммутативно.

В связи с этим принято говорить об умножении данной матрицы A на матрицу B слева или справа. Произведение AB называется произведением матрицы A на матрицу B справа, а произведение BA - произведением матрицы A на матрицу B слева.

Исключение составляют так называемые перестановочные матрицы, для которых AB = BA. Например, матрицы

A =

B =

1 −5

−1 2

перестановочны, так как

−2

−5

AB = BA =

−1

Основные свойства операции умножения матриц

1. Сочетательное свойство относительно числового и матричного множителей:

λ(AB) = (λA)B = A(λB) = ( Aλ)B = A(Bλ).	(2.13)
(AB)C=A(BC).	(2.14)
2. Распределительное свойство относительно сложения:
( A + B)C = AC + BC.	(2.15)

3. Транспонирование произведения двух матриц равносильно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, то есть

( AB)Т = BT AT .

(2.16)

4. Определитель произведения квадратных матриц A и Bравен произведению определителей этих матриц:

D(AB) = D( A) D(B).

(2.17)

5 .Произведение произвольной матрицы A размера m ×n на еди-

ничную матрицу En справа и на единичную матрицу	Em слева равно
матрице A, то есть
AEn = A; Em A = A.	(2.18)
В частности, для любой квадратной матрицы A n -го порядка
AEn = En A = A.	(2.19)

2.3. Обратная матрица

Как известно, для каждого числа a ≠ 0 существует такое число b, что a b =1. Число b называется обратным для числа a . Распространяя эту идею на квадратные матрицы, поставим вопрос о существовании обратной матрицы, то есть такой матрицы, которая в произведении с данной матрицей дает единичную матрицу E .

Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует квадратная матрица X , удовлетворяющая соотношениям

AX = XA = E.

(2.20)

Всякая матрица X , удовлетворяющая равенствам (2.20), называет-

ся обратной по отношению к матрице A и обозначается A−1 . Покажем, что у каждой обратимой матрицы A существует лишь

единственная обратная матрица.	X существует
Действительно, допустим, что наряду с матрицей	X существует
еще матрица Y , также удовлетворяющая условию (2.20), тогда должно
выполняться равенство
AY = E.	(2.21)

Умножив обе части равенства (2.21) слева на X , получим

X AY = XE.

Используя затем соотношение (2.20), будем иметь

EY = XE,

откуда следует, что Y = X .

В условия (2.20) матрицы A и X входят симметрично. Следовательно, если матрица A - обратная для X , то матрица X -обратная для A, то есть

( A−1)−1 = A.

(2.22)

Выясним, при каких условиях квадратная матрица обратима. Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу,

необходимо и достаточно, чтобы ее определитель не равнялся нулю. Доказательство. 1.Необходимость. Пусть квадратная матрица A

имеет обратную матрицу X . Так как по определению

AX = E,

то, используятеоремуобопределителепроизведенияквадратныхматриц (2.2, свойство 4) и учитывая, что D(E) =1, получаем

D( A) D( X ) =1.

Откуда следует, что D( A) ≠ 0.

2. Достаточность. Для сокращения записи докажем теорему для случая n =3. Пусть

			a11	a12		a13
		A =	a21	a22		a23
			a31	a32		a33
и D( A) ≠ 0.Рассмотрим матрицу
	A11	A21	A31
	A11	A21	A31
C =	A12	A22	A32		,	(2.23)
	A13	A23	A33

составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов

матрицы A, и вычислим произведение	AC . Составим выражение для
элемента матрицы AC , находящегося в	i -той строке и k -ом столбце. По
правилу умножения матриц это будет
ai1Ak1 +ai2 Ak 2 +ai3 Ak3.		(2.24)

Для любого элемента, лежащего на главной диагонали матрицы, i = k . Выражение (2.24) в этом случае представляет собой сумму произведений элементов i -ой строки матрицы A на их алгебраические дополнения, то есть определитель D( A) матрицы A.

Для любого элемента матрицы AC, не лежащего на главной диагонали, i ≠ k, и выражение (2.24) обращается в нуль, как сумма произведений i -ой строки матрицы A на алгебраические дополнения другой - k -ой строки этой матрицы(1.4, свойство 6).

Следовательно, матрица AC - диагональная матрица:

D( A) 0

AC =

D( A)

Вынося множитель D(A), получим

AC = D( A)E.

(2.25)

Аналогично, можнопоказать, что

CA = D( A)E.

(2.26)

Разделив равенства (2.25) и (2.26) на

D( A) ≠ 0 , сможем соответственно

написать

C = E,

C A = E.

D( A)

D(A)

Отсюда следует,

что матрица

C является обратной для

D( A)

матрицы A. Обозначив ее A−1 и учитывая, (2.23), получим

A11

A21

A31

A11

A21

A31

D( A)

D(A)

D( A)

A−1 =

C =

A12

A22

A32

(2.27).

D( A)

D( A) D(A)

D( A)

A A A

A13

A23

A33

D( A)

D(A)

D( A)

Теорема доказана.

A, определитель которой D( A) отличен от

Квадратную матрицу

нуля, называют невырожденной или неособенной. Если

D( A) = 0 , то

матрица называется вырожденной или особенной.

Таким образом, у всякой неособенной матрицы A порядка n существует одна и только одна обратная матрица, которая может быть найденапоформуле:

A11

A21

An1

D( A)

D(A)

D( A)

A−1 = 1

D( A)

D(A)

D( A)

(2.28).

A12

A22

An2

A12

A22

An2

D( A)

A1n

A2n

Ann

A1n

A2n

Ann

D( A) D(A)

D( A)

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы

A =

−2

−1

Решение. Вычислим определитель матрицы

D( A) =

1+1

−3

−4

2 1 −2

−3 −4

=1(−1)

= 2.

−1

Определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, матрица неосо-

бенная и имеет обратную матрицу A−1, вычисляемую по формуле (2.27). Составим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A	1+1	1			−2	=1		−0		=1;
	1+1	1			−2
	= (−1)
11		0			1
		0			1
A	1+2			2	−2		= −(2 −2) = 0;
	1+2			2	−2
	= (−1)
12				−1		1
				−1		1
A	1+3		2		1	= 0			+1	=1;
	1+3		2		1
	= (−1)
13				−1	0
				−1	0

A21 = (−1)2+1 20 11 = −(2 −0) = −2;

A	= (−1)2+2	1	1	=1+1 = 2;
22		−1	1
		−1	1

A	= (−1)2+3				1 2			= −(0 +2) = −2;
23					−1	0
					−1	0
A	= (−1)3+1	2				1		= −4 −1 = −5;
A	= (−1)3+1	2				1		= −4 −1 = −5;
31				1		−2
				1		−2
A	= (−1)3+2				1	1		= −(−2 −2) = 4;
A	= (−1)3+2				1	1		= −(−2 −2) = 4;
32					2	−2
					2	−2
A	= (−1)3+3		1 2				=1−4 = −3;
A	= (−1)3+3		1 2				=1−4 = −3;
33				2		1
				2		1

По формуле (2.27) найдем обратную матрицу

		1	−2	−5		1	−1	−	5


A−1 =	1				=	2			2	.

		0	2	4		0	1		2
	2
		1	−2	−3		1	−1	−	3
						2			2

Проверим правильность результата, используя определение обратной матрицы (2.20). Для этого перемножим матрицы A и A−1 :

					1	2	1	1	−1	−	5


A A−1 =				2 1 −2				2	1		2	=
A A−1 =				2 1 −2				0	1		2	=
				−1		0	1	1	−1	−	3
								2			2
								2			2
		1	+0	+	1		−1+2 −1		− 5	+4	−	3		1	0	0


=		2			2	−2 +1+2			2			2	=	0	1	0	= E.
=		1+0 −1				−2 +1+2			−5 +2 +3				=	0	1	0	= E.
	−	1	+0	+	1		1+0 −1		5	+0	−	3		0	0	1
		2			2				2			2
		2			2				2			2

Таки образом, матрица A−1вычислена верно.

Пример 2. Даны матрицы A, B,C . Найти матрицу

P = BC −2A−1

B =	−1 3 −2	, C =	2	3	, A =	2	−3
			2	3
			1	0				.
	0 2 1		−2	−1		1	−2
			−2	−1

Решение. Найдем произведение матриц B и C BC = K.

Это произведение определено, так как число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы C . Матрица K = BC должна иметь две строки и два столбца, то есть должна быть квадратной матрицей второго порядка. Найдем ее элементы по правилу умножения матриц

(2.12):

k11 = (−1) 2 +3 1+(−2)(−2) =5; k12 = (−1) 3 +3 0 +(−2)(−1) = −1; k21 = 0 2 +2 1+1(−2) = 0;