Этот результат представляет собой теорему Крамера, а формулы (1.42) - формулы Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное xk (k =1,2,..., n) равно дроби, знаменателем которой является определи-

тель системы, а числителем - определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой k -гостолбцастолбцомизсвободныхчленов.

2. D = 0.

Вэтом случае возможен один из двух вариантов.

1)Если хотя бы один из определителей D1, D2 ,..., Dn отличен от

нуля, то система уравнений (1.37) несовместна, так как соответствующее уравнение системы (1.39), в правой части которого стоит этот определитель, не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного.

2)Если все определители D1, D2 ,..., Dn равны нулю, то система

уравнений (1.37), как доказывается в полных курсах высшей алгебры, либо совместна, но имеет бесконечное множество решений (система неопределенна), либо она несовместна. В случае совместности исходная система эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений.

1.7 Системы линейных однородных уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член в этом уравнении равен нулю.

Системы однородных уравнений являются важным частным случаем систем линейных уравнений.

Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет вид

a11x1 +a12 x2						+... +a1n xn = 0,
		+a22 x2				+... +a2n xn				= 0,
a21x1											(1.43)
			................
a	x	+a	n2	x	2	+... +a	nn	x	n	= 0.
	n1 1

32

Такая система всегда совместна, так как при любых коэффициентах aik имеет очевидное решение: x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0. Это реше-

ние называется нулевым (тривиальным) решением. Если среди чисел, составляющих решение системы (1.43), имеется хотя бы одно, отличное от нуля, то такое решение называется ненулевым. Важно выяснить, при каком условии система линейных однородных уравнений (1.43) является

неопределенной, а значит - что особенно важно - имеет и ненулевые решения.

Используя положения общей теории систем линейных уравнений, рассмотренные в предыдущем разделе, выделяем два случая, в зависимости от определителя системы D .

1. D ≠ 0.

Если определитель системы линейных однородных уравнений не равен нулю, то, согласно теореме Крамера, система имеет единственное решение, которым, очевидно, является нулевое решение.

2. D = 0.

Если определитель системы линейных однородных уравнений равен нулю, то такая система, кроме нулевого решения, имеет еще бесконечное множество других, ненулевых решений. В этом случае исходная система эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений, которая может быть выделена и решена с помощью понятия о ранге матрицы.

Сформулируем основные положения процедуры нахождения ненулевых решений системы n линейных однородных уравнений с n неизвестными.

Теорема 1. (Необходимые и достаточные условия наличия ненулевых решений однородной системы).

Для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. При этом система эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Рангом квадратной матрицы n -го порядка назы-

вается число r такое, что среди миноров r -го порядка данной матрицы имеется, по крайней мере, один, отличный от нуля, а все миноры (r +1)-

го порядка равны нулю.

33

Из определения следует, что наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Теорема 2. Система п линейных однородных уравнений с п неизвестными эквивалентна системе из r ее уравнений, где r -ранг матрицы системы.

Используя указанные положения, проведем исследование и решение системытрех линейных однородных уравненийс тремя неизвестными:

a11x1 +a12 x2 +a13x3a21x1 +a22 x2 +a23x3

a31x1 +a32 x2 +a33x3

Определитель этой системы

= 0, = 0, (1.44) = 0.

	a11	a12	a13
D =	a21	a22	a23		.	(1.45)
	a31	a32	a33

Возможны два случая: 1. D ≠ 0.

Система имеет только одно решение - нулевое: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.

2. D = 0.

Покажем, что в соответствии с теоремами 1 и 2 система (1.44) имеет, кроме нулевого, еще и бесконечное множество ненулевых решений, и найдем эти решения, исходя из теоремы 2.

Так как определитель системы D = 0 , то ранг матрицы системы может быть равен либо двум, либо единице. Рассмотрим оба случая.

1) r = 2.

Это означает, что среди миноров второго порядка матрицы системы

есть хотя бы один, отличный от нуля.
Пусть, например, не равен нулю минор D23 элемента a23
			D	=			a11	a12		≠ 0.	(1.46)
			23				a31	a32
Докажем, что в этом случае система (1.44) эквивалентна системе из
двух ее уравнений - первого и третьего:
a11x1 +a12 x2 +a13x3 = 0
a		x	+a	x	2		+a	x = 0 .			(1.47)
	31	1	32			33		3

34

Системы эквивалентны, если их решения совпадают. То, что любое решение системы (1.44) является решением системы (1.47) - очевидно. Докажем обратное, что любое решение системы (1.47) является решением системы (1.44). Для этого достаточно убедиться, что любое решение системы (1.47), будет удовлетворять и исключенному второму уравнению системы(1.44).

Найдем все решения системы (1.47), рассматривая ее как систему двух уравнений относительно неизвестных x1 и x2 с определителем, рав-

ным D23 :

a11x1 +a12 x2 = −a13x3								(1.48)
a		x	+a	x	2	= −a	x
	31	1	32			33	3

Определитель этой системы D23 ≠ 0, следовательно, по теореме Крамера при каждом произвольно взятом значении неизвестного x3 ("свободного"

неизвестного, перенесенного в столбец свободных членов), она имеет единственное решение:

−a13x3

a12

a11 −a13x3

x

=

−a33x3

a32

;

x

2

=

a31 −a33x3

.

1

D23

D23

Используясвойства определителей, упростимполученные выражения.

−a13 x3		a12		= −x					a13	a12					= x		a12			a13		= x D ;
−a x a					3				a	a					3		a			a		3 21
33	3	32							33	32								32		33
	a11 −a13x3								= −x			a11			a13				= −x D .
	a	−a			x				3			a			a					3	22
	31		33		3							31			33

Переходя к алгебраическим дополнениям

A21 = (−1)2+1 D21 = −D21; A22 = (−1)2+2 D22 = D22;

A23 = (−1)2+3 D23 = −D23

придадим полученным решениям системы (1.48) более удобный вид:

x	=	A21	x ; x	2	=	A22	x .	(1.49)
1		A23	3			A23	3

Формулы (1.49) определяют бесконечноемножестворешенийсистемы (1.47), выраженное через «свободное» неизвестное. x3 . При каждом кон-

кретном произвольно взятом значении неизвестного x3 могут быть

35

вычислены по формулам (1.49) соответствующие значения неизвестных x1 и x2 . Полученные таким образом три числа составят одно

конкретное решение системы (1.47) из бесконечного множества возможных, определяемого формулами (1.49).

Убедимся теперь в том, что все эти решения являются одновременно и решениями исходной системы (1.44), подставив выражения для x1 и x2 по формулам (1.49) в левую часть второго уравнения ис-

ходной системы (1.44), и учитывая, что D = 0 , получим:

	a	x +a			x		+a		x = a				A21	x +a				A22		x +a		x =
				22		2						21 A					22 A
		21 1							23 3						3					3		23 3
												23					23
		=	x3		(a		21	A +a		22	A +a				23	A ) =			x3		D = 0.
			A23						21			22				23			A23

при любых значениях x3 .

Итак, мы доказали, что система (1.44) и (1.47) эквивалентны и нашли все решения исходной системы (1.44), определяемые в рассматриваемом случае формулами (1.49), при произвольных значениях x3.

Замечание. Проведенное исследование одновременно демонстрирует способ решения системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

2) r =1.

Ранг матрицы системы (1.44) равен единице, когда миноры всех элементов этой матрицы равны нулю, а хотя бы один из элементов матрицы - один из коэффициентов при неизвестных в системе (1.44) - не равен нулю (ведь все коэффициенты не могут быть равны нулю). Пусть, например, a11 ≠ 0 . Докажем, что в этом случае система (1.44) эквива-

лентна ее первому уравнению

a11x1 +a12 x2 +a13x33 = 0.	(1.50)
При этом достаточно убедиться, что любое решение уравнения
(1.50) является также решением второго и третьего уравнений

системы (1.44).

Рассматривая уравнение (1.50) как уравнение с одним неиз-

вестным x1,	находим,	что при произвольно взятых значениях неиз-
вестных x2	и x3 , оно	имеет единственное решение:

36

x = −	a12	x	2	−	a13	x .	(1.51)
1	a11				a11	3

Формула (1.51) дает бесконечное множество решений уравнения (1.50). Три числа: произвольно взятые x2 и x3 и вычисленное по

формуле(1.51) соответствующее им значение неизвестного x1, состав-

ляют одно из решений уравнения (1.50) из бесконечного множества возможных, определяемого формулой (1.51).

Убедимся теперь в том, что все эти решения являются одновременно и решениями исходной системы (1.44). Это можно сделать непосредственной подстановкой выражения (1.51) для x1 в левые час-

ти второго и третьего уравнений системы (1.44). Например, для второго уравнения системы (1.44), учитывая, что все миноры равны нулю, получим:

a

21

x +a

22

x

2

+a

23

x = a

21

(−

a12

x

2

−

a13

x ) +a

22

.x

2

+a

23

x =

1

3

a11

a11

3

3

=

a11a22

−a21a12

x

+

a11a23 −a21a13

x =

D33

x

+

D32

x

≡ 0,

a11

2

a11

3

2

a11

3

a11

при любых значениях x2 и x3 .

Таким образом, действительно, в рассматриваемом случае система уравнений (1.44) эквивалентна ее первому уравнению. Все решения системы определяются формулой (1.51) при произвольных значениях x2 и x3 .

Замечание. Проведенное исследование демонстрирует одновременноспособрешенияодноголинейногоуравнениястремянеизвестными.

Пример 1. Найти все решения системы

3x1 − x2 +2x3 = 02x1 +3x2 −4x3 = 05x1 −2x2 + x3 = 0

Решение. Данная система является системой линейных однородных уравнений. Вычислим определитель этой системы

D =		3	−1	2
		2	3	−4	= −31.
		5	−2	1

37

Так как D ≠ 0 , то система имеет единственное нулевое решение:

x1 = 0;

x2 = 0;

x3 = 0;

Пример 2. Исследовать систему линейных однородных уравнений и найти все ее решения.

x1 +3x2 +2x3 = 02x1 −2x2 + x3 = 0x1 −5x2 − x3 = 0

Решение. Вычислим определитель системы

D =	1	3	2
	2	−2	1	= 0.
	1	−5	−1

Так как D = 0 , то система, кроме нулевого решения, имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем все решения системы. Определяем ранг матрицы системы, вычислим один из миноров, например, D11:

D	=		−2	1		= 7.
11			−5	−1

Так как D11 ≠ 0 , то ранг матрицы системы r = 2 и, следовательно,

система эквивалентна системе из двух ее уравнений второго и третьего. Решаем систему, состоящую из второго и третьего уравнений относительно неизвестных x2 и x3 :

−2x2 + x3 = −2x1 .−5x2 − x3 = −x1

Определитель этой системы D11 ≠ 0 , следовательно, по теореме Крамера при каждом произвольном x1 система имеет единственноерешение:

−2x1

1

−2

−2x1

x =

−x1

−1

=

3x1

;

x =

−5

−x1

= −8x1 .

2

D11

7

3

D11

7

Таким образом, множество решений исходной системы можно записать в виде

38