x |
2 |
= |
3 |
x |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
1 |
, |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
= −7 x1 |
|
|||||
x3 |
|
||||||
где x1- любоевещественноечисло.
Множество решений системы часто бывает удобно записывать в параметрической форме, выражая все искомые неизвестные через произ-
вольный параметр t . Если в нашем случае принять x71 = t , то решение системы можно записать в виде
|
x |
|
= 7t |
|
|
1 |
|
где t R. |
|
|
x2 =3t |
|||
x |
= −8t, |
|
||
|
3 |
|
|
|
В этой главе мы исследовали системы линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Мы рассмотрели методы, позволяющие выяснить, совместна ли данная система или нет. В случае совместности мы получили возможность установить число решений и указать способ нахождения всех этих решений. В основе рассмотренных методов лежит теорема Крамера и формулы Крамера. Главным достоинством этих формул является явное выражение для решения линейной системы через коэффициенты этой системы. Однако, практическое использование правила Крамера связано с весьма громоздкими вычислениями. В этом отношении более удобным является метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных (см. .6), изучение которого отнесено к курсу вычислительной математики.
Самый общий случай систем произвольного числа линейных уравнений с произвольным числом неизвестных - система m линейных уравнений с n неизвестными, требующий более полных сведений о матрицах, будет рассмотрен в конце второй главы.
Глава 2. МАТРИЦЫ
2.1Линейные операции с матрицами
Впервой главе мы использовали понятие о матрице, обращаясь к важнейшей числовой характеристике квадратной матрицы - определите-
39
лю матрицы. Теперь нам предстоит познакомиться с основными действиями над матрицами, имеющими широчайшие приложения, особенно в условияхприменениякомпьютернойтехники.
Становление теории матриц относят к середине XIX-го века, и до сих пор она остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным к запросам практики. Здесь мы рассмотрим простейшие вопросы матричного исчисления.
Прямоугольная таблица чисел aik (i =1, 2,..., m; k =1, 2,..., n), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей с размерами m ×n обозначается символом:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|||||
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
(2.1) |
... |
... ... ... |
|
|
|||
|
|
|
||||
am1 |
am2 |
... |
amm |
|
|
|
или 
aik 
(i =1,2,..., m; k =1,2,..., n).
Часто матрицу обозначают одной заглавной буквой, например, матрица A, B и т.д. Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Каждый элементaik имеет два индекса; первый индекс i обозначает номер
строки, второй индекс k - номер столбца. Матрица (2.1) - матрица общего вида.
Рассмотрим отдельные частные случаи матриц.
1) n =1. Если матрица A имеет размер m ×1, то она называется од-
ностолбцовой матрицей:
a11 a21
.
am1
2) m =1. Если матрица A имеет размер 1×n , то она называется
однострочной матрицей:
40
A = 
a11 . a12 . . a1n 
.
3) m = n. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк, равное числу столбцов, называется порядком квадратной матрицы. В частности, квадратная матрица первого порядка - это просто число. У квадратной матрицы n -го порядка совокупность элементов a11, a22 ,..., ann , расположенных на диаго-
нали, соединяющей левую верхнюю вершину матрицы с правой нижней вершиной, называется главной диагональю матрицы. Совокупность элементов, расположенных на второй диагонали, называется побочной диагональю. Для определителя квадратной матрицы A используются обозна-
чения: det A или A, или D( A) .
Квадратную матрицу, все элементы которой расположенные вне главной диагонали, равны нулю, то есть
a11 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
a22 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
a33 |
|
0 |
|
|
, |
... ... |
... ... ... |
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
|
ann |
|
|
|
называются диагональной.
Диагональная матрица n -го порядка, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается En или
просто E :
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
E = |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
4) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается O :
41
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
O = |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Если необходимо указать число строк и столбцов нулевой матрицы, то пишут Omn .
Особое значение имеют единичная матрица E , играющая в матричном исчислении ту же роль, что и число 1 в элементарной алгебре, и нулевая матрица O , роль которой аналогична роли числа нуль в элементарной алгебре.
Данное выше определение матрицы предполагает, чтоопределены:
1.Понятие равенства матриц,
2.Сложение матриц,
3.Умножениематрицыначисло,
4.Умножениематриц.
Указанный комплекс понятий и операций лежит в основе матричного исчисления. Его становление относят к середине XIX века, но полноту и изящество оно приобрело позднее, вместе с развитием линейной алгебры.
Перейдемкопределениям.
I.Равенство матриц.
Определение. Две матрицы A и B называются равными, если имеют одинаковый размер и если равны соответствующие элементы матриц
aik =bik (i =1,2,..., m; k =1,2,..., n).
При этом пишут |
A = B. |
(2.2) |
|
||
Заметим, что матричное равенство (2.2) равносильно m n число- |
||
вым равенствам: |
a11 =b11, a12 |
=b12 ,..., amn =bmn. |
|
||
2.Сложение матриц
Операция сложения матриц определяется только для матриц, имеющиходинаковоечислострокиодинаковоечислостолбцов.
42
Определение. Суммой A + B матриц A и B , имеющих одинаковый размер, называется матрица C , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B , то есть
c |
= a |
+b |
i =1,2,..., m |
(2.3) |
|
|
|
||||
ik |
ik |
ik |
|
|
|
|
|
|
k =1,2,...n |
|
|
Для суммы матриц A и B используется обозначения |
|
|
|||
C = A + B.
Таким образом, если
|
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
b11 |
b12 ... |
b1n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A = |
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
; |
|
B = |
|
b21 |
b22 ... |
b2n |
|
|
, |
|||
|
|
... |
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
||||||
|
|
am1 |
am2 ... |
amm |
|
|
|
|
|
bm1 |
bm2 ... |
bmn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a11 |
+b11 |
a12 |
+b12 ... |
a1n +b1n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C = A +B = |
|
a21 |
+b21 |
a22 |
+b22 ... |
a2n +b2n |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
am1 |
+bm1 |
am2 |
+bm2 ... |
amn +bmn |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример.
|
3 |
−2 |
4 |
|
+ |
|
|
|
1 |
−3 |
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
−5 |
6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
7 |
|
|
|
|
Свойства операции сложения (аналогичны свойствам сложения чисел). 1. Переместительное свойство
A + B = B + A.
2. Сочетательное свойство
( A + B) +C = A +(B +C).
3. Сумма любой матрицы A и нулевой матрицы O того же размера равна матрице A :
A +O = A.
Таким образом, нулевая матрица в матричном исчислении играет роль нуля в алгебре чисел.
3. Умножение матрицы на число
Определение. Произведением матрицы A на число λ называется матрица B , каждый элемент которой равен произведению этого числа на соответствующий элемент матрицы A, то есть
43
bik = λaik (i =1,2,..., m; k =1,2,..., n).
Для произведения матрицы A на число λ используются обозначе-
B = λA = Aλ.
ния
Такимобразом, если
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A = |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
то |
|
|
am1 |
am2 |
... |
amm |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
λa11 |
λa12 |
... λa1n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
B = λA = Aλ = |
|
λa21 |
λa22 |
... |
λa2n |
|
|
(2.4) |
||||||||||||||
|
|
... |
... ... ... |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
λam1 λam2 |
... |
λamm |
|
|
|
|||||||||||||||
Пример. Найти произведение матрицы |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на число λ = −3.
Решение. В соответствии с определением, имеем
B = −3A = −3 |
|
|
|
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
−9 |
−3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
Свойства операции умножения матрицы на число
1. Распределительное свойство относительно числового и мат-
ричного множителей: |
(λ + μ) A = λA + μA. |
(2.5) |
где λ, μ- любые числа. |
λ(A + B)= (A + B)λ = λA +λB, |
(2.6) |
|
|
|
1. Сочетательное свойство относительно числового множителя: |
|
|
|
λ(μA)= (μA)λ = (λμ)A = A(λμ) |
(2.7) |
44