P = BC −2A−1 =		5	−1				+2		−2	3				=		1 5				.
		0	−1						−1	2						−2 3

2.4 Решение системы линейных уравнений при помощи матриц

Пустьданасистема n линейныхуравненийс n неизвестными x1, x2 ,..., xn :

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1

+ a22 x2

+ + a2n xn = b2

a21x1

(2.29)

........................

a

n1

x

+a

n2

x

2

+ + a

nn

x

n

= b .

1

n

Эта система может рассматриваться как равенство двух одностолбцовых матриц:

a11x1 +a12 x2	+ +a1n xn
a21x1 +a22 x2	+ +a2n xn			=
..............................
an1x1 +an2 x2 + +ann xn

Введем в рассмотрение три матрицы: матрицу ратную матрицу порядка n (размера n ×n )

		a11	a12		a1n
A =		a21	a22		a2n
		an1	an2		ann

b1

b2 . (2.30)

bn

A системы (2.29) – квад-

(2.31)

и две одностолбцовые матрицы: матрицу X из неизвестных и матрицу B из свободных членов.

	x1		b1
X =	x2	B =	b2 .	(2.32)

xn bn

Тогда по правилу умножения матриц левая часть матричного равенства (2.30) может быть представлена как произведение матриц AX , а

54

правая часть - матрица B . Таким образом, матричное равенство (2.30), а, следовательно, и система n линейных уравнений (2.29) с n неизвестными может быть записана в виде одного матричного уравнения

AX = B . (2.33)

Матричное уравнение (2.33) равносильно системе (2.29) и содержит неизвестную матрицу X . Решая это уравнение, то есть определяя матрицу X , находим сразу значения всех неизвестных x1, x2 ,..., xn.

Допустим, что определитель матрицы А системы (2.29) отличен от нуля, в этом случае по теореме Крамера система (2.29) совместна и имеет единственное решение. Тогда, умножив обе части матричного уравнения

(2.33) на A−1 слева, получим

A−1AX = A−1B,
откуда, учитывая, что A−1A = E, а EX = X , будем иметь
X = A−1B.	(2.34)

Мы получили решение системы (2.29) в матричном виде. Соотношение (2.34) эквивалентно формулам Крамера, что легко установить, если заменить обратную матрицу ее выражением и произвести умножение матриц. Матричная запись решения (2.34) компактна и красива, но не из-

бавляет нас от вычислений, поскольку матрица A−1 нам заранее не дана. Пример. Решить систему уравнений

7x1 +2x2 +3x3 =13

9x1 +3x2 +4x3 =155x1 + x2 +3x3 =14

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем данную систему в виде одного матричногоурав-

нения

где											AX = B,
															x1
				7	2	3																		13
A =				9	3	4				;	X =				x2				;	B =				15				.
				5	1	3									x3									14

Для решения матричного уравнения с помощью обратной матрицы вычислим определитель матрицы A

55

7 2 3

D(A) = 9 3 4 =3. 5 1 3

Так как D(A) ≠ 0, то матрица A имеет обратную A−1, для вычисления которой найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A11 = (−1)1+1 3

1

A12 = (−1)1+2 9

5

A13 = (−1)1+3 9

5

A21 = (−1)2+1 2

1

A22 = (−1)2+2 7

5

A23 = (−1)2+3 7

5

A31 = (−1)3+1 2

3

A32 = (−1)3+2 7

9

A33 = (−1)3+3 7

9

Тогда

A−1 = 13

4				=9 −4 =5;
3
4					= −(27 −20) = −7;
3
3					=9 −15 = −6;
1
3					= −(6 −3) = −3;
3
3					= 21−15 = 6;
3
2					= −(7 −10) =3;
1
3					=8 −9 = −1;
4
3					= −(28 −27) = −1;
4
2					= 21−18 =3;
3

5 −3 −1

−7 6 −1 .

−6 3 3

Найдем решения системы по формуле (2.34):

56

X = A−1B =	1					5	−3	−1								13					1			6								2
						−7	6 −1									15				=				−15				=				−5				.
	3																				3
						−6	3	3								14								9								3

Таким образом, мы нашли решение данной системы: x1 = 2; x2 = −5; x3 =3.

2.5.Произвольные системы линейных уравнений

Впредыдущих разделах мы рассматривали системы уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Теперь мы рассмотрим самый общий случай - произвольную систему m линейных уравнений с n неизвестными, где число уравнений не предполагается равным числу неизвестных:

a11x1 +a12 x2 + +a1n xn =b1

a21x1 +a22 x2 + +a2n xn

=b2

(2.35)

........................

a

x

+a

m2

x

2

+ +a

mn

x

n

=b .

m1 1

m

Введем в рассмотрение две матрицы: A - матрица системы (2.35), то есть матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных системы и B - расширенная матрица системы (2.35),

то есть матрица, которая получается из матрицы системы добавлением столбца свободных членов:

a11

a12

a1n

A =

a21

a22

a2n

;

am1

am2

amn

a11

a12

a1n

b1

B =

a21

a22

a2n

b2

(2.36)

am1

am2

amn

bm

57

С понятием минора и ранга матрицы мы уже встречались в первой главе, но там мы рассматривали лишь случай квадратной матрицы. Введем эти понятия для произвольных прямоугольных матриц.

Пусть k - какое-нибудь натуральное число, не превосходящее m иn(k ≤ min{m, n}). Выберем в матрице A произвольным способом k

строк и k столбцов. Элементы матрицы A, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k -го порядка, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы A. При k =1 под минором первого порядка мы понимаем элемент матрицы

A.

Из m строк матрицы можно выбрать k строк Cmk различными

способами. Аналогично, из n столбцов можно выбрать k столбцов Cnk различными способами. Следовательно, матрица размера m ×n имеет Cmk Cnk различным образом составленных миноров k -го порядка. Легко

показать по теореме о разложении определителя, что если в матрице A все миноры k -го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высокого порядка (если таковые существуют).

Определение. Рангом матрицы A называется число r такое, что среди миноров r -го порядка данной матрицы имеется по крайней мере один, отличный от нуля, а все миноры (r +1)-го порядка (если только их

можно составить) равны нулю.

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы считается равным нулю (здесь равны нулю миноры всех порядков). Если ранг матрицы равен r , то у этой матрицы равны нулю все миноры, порядка выше, чем r . Следовательно, ранг матрицы может быть определен как наивысший из порядков не равных нулю миноров этой матрицы.

Пример. Для матрицы

2 0 1 1 A = 3 2 4 2 0 4 5 1

можно составить C31 C41 =3 4 =12 миноров первого порядка (это сами элементы матрицы A) и C32 C42 =3 6 =18 миноров второго порядка:

58

2	0	,	2	1	,	2	1	,	3	2	,...,	4	2	,
3	2		3	4		3	2		0	4		5	1

а также C33 C43 =1 4 = 4 минора третьего порядка

2	0	1		2	0	1		2	1	1		0	1	1
3	2	4	,	3	2	2	,	3	4	2	,	2	4	2	.
0	4	5		0	4	1		0	5	1		4	5	1

Нетрудно проверить, что все миноры третьего порядка матрицы A равны нулю, а среди миноров второго порядка есть отличные от нуля, поэтому ранг матрицы A равен 2.

Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Сформулируем эти понятия для строк матрицы, для столбцов они формулируются аналогично .

Суммой нескольких строк матрицы называется строка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных строк.

Произведением строки матрицы на число называется строка, ка-

ждый элемент которой получается из соответствующего элемента данной строки умножением его на указанное число.

Линейной комбинацией нескольких строк матрицы называется строка, равная сумме произведений данных строк на некоторые числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Несколько строк матрицы называются линейно зависимыми, если хотя бы одна из строк является линейной комбинацией остальных и линейно независимыми, если ни одна из строк не выражается линейно через остальные.

Можно показать, что максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы равно рангу матрицы.

Базисным минором матрицы называется любой отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Вернемся теперь к рассмотрению матриц (2.36) - матрицы A системы (2.35) и ее расширенной матрицы B . Ясно, что ранги этих матриц связаны неравенством rB ≥ rA , причем ранг матрицы B может быть

лишь на единицу больше ранга матрицы A. Это легко показать, если взять максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы A. Она будет линейно независимой и в матрице B . Если столбец сво-

59

бодных членов линейно выражается через эту систему, то ранги матриц A и B равны; в противоположном случае ранг матрицы B будет на единицу больше, чем ранг матрицы A.

Вопрос о совместности системы (2,35) полностью решается следующей теоремой (ее доказательство мы опустим).

Теорема (критерий Кронекера-Капелли)*. Для того, чтобы систе-

ма линейных уравнений (2.35) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был ранен рангу ее расширенной матрицы, то есть чтобы rA = rB.

*Примечание. Понятие ранга матрицы и теорема КронекераКапелли были открыты независимо несколькими разными исследователями. Первое напечатанное доказательство принадлежит английскому математику Ч.Л.Доджсону (1832-1898), автору сказок «Алиса в стране чудес» и «Алиса в зазеркалье».

Подведем итоги изложенного. Итак, в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли возможны два случая:

1) если rB ≠ rA (rB > rA ) , то система (2 35) несовместна;

2) если rB = rA = r, , то система (2,35) совместна (определенная

или неопределенная).

В этом случае встает вопрос о числе решений, ответ на который состоит в следующем:

а) Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных (r = n)

то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера,

б) Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (r < n) то система имеет бесконечное множество решений, для отыска-

ния которых необходимо:

- выделить в матрице системы A ранга rA = r отличный от нуля

базисный минор r -го порядка;

- отбросить m −r уравнений, соответствующих строчкам матрицы

Aне входящим в базисный минор;

-члены с. коэффициентами, не вводящими в базисный ми-

нор(«свободные"» неизвестные) , перевести в правую часть. Придавая n −r «свободным» неизвестным произвольные значения, можно определить по формулам Крамера оставшиеся r базисных неизвестных из

60

системы r уравнений с отличным от нуля определителем, равным базисному минору.

Замечания.

1) Если ранг матрицы линейных уравнений равен числу уравнений (rA = m), то система совместна при любых свободных членах. Это

очевидно, так как в этом случае ранг расширенной матрицы rB не может быть больше числа ее строк, и потому rB = rA = m.

2) Изложенное в этом разделе применимо, разумеется, и к случаю, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных.

Пусть D определитель системы линейных уравнений с n неизвестными. Если D ≠ 0, то ранг матрицы системы равен числу неизвестных и числу уравнений (r = n) , и поэтому система совместна при любых

свободных членах (см.замеч.1) и имеет единственное решение. Этот факт совпадает с теоремой Крамера, которая только к этому случаю и применима. Если D = 0, то r < n и тогда возможны два случая: либо система несовместна (если rB ≠ r ), либо она имеет бесконечно много решений (если rB = r ).

Рассмотрим примеры исследования и решения произвольных систем линейных уравнений.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

x − x					2	+ x +			2x	4			=		4
1								3
x1 +5x2 +5x3 −4x4 = −3
x +8x						2	+7x		−7x					4	= 6
1								3
Решение. Запишем матрицу системы A и определим ее ранг
A =				1	−1			1	2
				1		5		5	−4				.
				1		8		7	−7

Так как матрица системы A имеет размер 3×4, то ее ранг rA ≤3. Для определения ранга найдем миноры третьего порядка:

61

	1	−1		1									1							0	0					1+1					6 4
	1	5	5			=							1 6 4										=1(−1)								9 6					= 0;
	1	8		7									1							9	6
	1	−1		2													1			0	0						1+1								6	−6
	1	5	−4						=								1 6 −6										=1(−1)								9	−9				= 0;
	1	8		−7													1			9		−9
	1	1		2											1					0	0					1+1							4			−6
	1	5 −4					=								1 4 −6										=1(−1)								6			−9			= 0;
	1	7		−7											1					6	−9
	−1	1		2															−1		0					0				1+1								10			6
	5	5		−4							=									5	10						6		= (−1)(−1)									15			9	= 0;
	8	7		−7																8	15					9

Все миноры третьего порядка равны нулю, в то время как среди миноров второго порядка есть отличные от нуля. Например, минор

	1	−1		= 5 + 2 = 7 ≠ 0.
	1	5

Следовательно, paнr матрицы системы rA = 2. Найдем ранг rB расширенной матрицы системы

B =				1	−1	1	2	4
				1	5	5	−4	−3				.
				1	8	7	−7	6

Матрица B имеет размер 3×5 , поэтому ее ранг rB ≤3. Поскольку суще-

ствует отличный от нуля минор третьего порядка матрицы B . Например.

62

	1	−1	4		= 75 ≠ 0,
	1	5	−3
	1	8	6

то ранг расширенной матрицы системы rB =3.

Таким образом, rB ≠ rA (см. случай 1), следовательно, система не-

совместна.

Пример 2. Решить систему

x1 −5x 2 +x3 =123x1 − x 2 +x3 = 62x1 +4x 2 = −62x1 + x 2 +3x3 =3

5x1 +4x3 =9.

Решение. Дана система пяти линейных уравнений с тремя неизвестными. Выпишем матрицу системы A :

				1	−5	1
				3	−1	1
A =				2	4	0				.
				2	1	3
				5	0	4

Так как матрица A имеет размер 5×3, то ее ранг rA ≤3.Вычислим один из миноров третьего порядка

3	−1	1		=36 ≠ 0.
2	4	0
2	1	3

Следовательно, rA = 3.

Выпишем расширенную матрицу системы и определим ее ранг.

63

				1	−5	1	12
				3	−1	1	6
B =				2	4	0	−6				.
				2	1	3	3
				5	0	4	9

Матрица B получена из матрицы A присоединением столбца свободных членов. Этот столбец линейно выражается через систему первых трех столбцов, то есть является их линейной комбинацией, а именно: он равен сумме первого и третьего столбцов и второго столбца, умноженного на (-2). Следовательно, ранг матрицы B равен рангу матрицы A : rB = rA =3 (совпадает с максимальным числом линейно независимых

столбцов).

Итак, rA = rB =3, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли

система совместна. Теперь нужно выяснить вопрос о числе решений. Так как ранг матрицы системы равен числу неизвестных r = n =3, то

система имеет единственное решение, которое можно найти по фор-

мулам Крамера.

Для этого в матрице системы A выделим базисный минор третьего порядка, отличный от нуля, например, минор, вычисленныйнамивыше,

3 −1 1

2 4 0 = 36.

2 1 3

Отбросим первое и пятое уравнения исходной системы, соответствующие строчкам матрицы A, не входящим в базисный минор. (Легко заметить, что первая и пятая строки являются линейными комбинациями базисных строк: второй, третьей и четвертой. Например, пятая строка равна сумме второй и четвертой, а первая - сумме второй строки и третьей, умноженной на (-1). Это означает, что первое и пятое уравнения системы являются следствиями трех оставшихся уравнений, то есть система на самом деле состоит лишь из трех независимых уравнений, их решения автоматически будут удовлетворять и отброшенным уравнениям. Важно отметить, что этот факт рассмотренной теорией устанавливается чисто формально по рангу системы и не требует интуиции и манипуляции с

64

уравнениями, что для "больших" , трудно обозримых систем было бы весьма непросто. Мы позволили себе отступление, разъясняющее смысл формальных преобразований).

Таким образом, данная система эквивалентна системе:

	3x − x		+ x	= 6
	1	2	3
	2x1 +4x2 = −6
2x + x			+3x	= 3.
	1	2	3

и имеет единственное решение. Определитель этой системы равен базисному минору, отличен от нуля и равен 36. Найдем по формулам Крамера это единственное решение:

			6	−1	1															3	6	1
			−6	4	0															2	−6	0
x =			3	1 3				=	36	=1;				x =						2	3 3				= −72 = −2;
1				36					36					2								36
												3	−1	6
												2	4	−6
								x		=		2	1	3		=	36				=1.
					3								36	36

Пример 3. Решить систему

		x		+2x +3x			− x = 0
			1		2	3	4
			x1 − x2 + x3 +2x4 = 4
x			+5x		+5x	−4x = −4
	1			2	3		4

Решение. Выпишем матрицу системы и определим ее ранг.

A =				1	2	3	−1
				1	−1	1	2				.
				1	5	5	−4

Все четыре минора третьего порядка матрицы A равны нулю (здесь третья строка матрицы является линейной комбинацией первых двух. Убедитесь в этом самостоятельно). Среди миноров второго порядка есть отличные от нуля, например, минор

65

1	2	= −1−2 = −3 ≠ 0.
1	−1

Следовательно, ранг матрицысистемы rA = 2. Найдем ранг раширенной матрицы системы

B =				1	2	3	−1	0
				1	−1	1	2	4				.
				1	5	5	−4	−4

Ранг матрицы B равен рангу матрицы A, rB = rA = 2 − совпадает

с максимальным числом линейно-независимых строк матрицы - два. Третья строка является суммой первой строки, умноженной на 2 и второй, умноженной на (-1), то есть линейной комбинацией первых двух строк.

Итак, rB = rA = 2 , следовательно, по теореме Кронекера-Капелли сис-

тема совместна.

Поскольку ранг матрицы r = 2 меньше числа неизвестных n =4, то система имеет бесконечное множество решений. Найдем эти решения. Выделим в матрице A базисный минор второго порядка, отличный от нуля, например, минор

1	2	= −3.
1	−1

Отбросим третье уравнение и перенесем в правую часть "свободные" неизвестные x3 и x4 . Получим систему двух уравнений, эквивалентную

исходнойсистеме

x1 +2x2 = −3x3 + x4x1 − x2 = 4 − x3 −2x4

Определитель этой системы равен базисному минору −3 (отличен от нуля). Следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера

				−3x3 + x4	2
x	=		4	− x3 −2x4	−1		=	8		−	5	x	− x	,
				−3				3			3
1												3	4

66