1	−3x3 + x4
x =		1	4 − x3	−2x4		= −	4	−	2	x	+ x .
			−3				3		3
2										3	4

Тогда исходная система имеет бесконечное множество решений:

x1 = 83 − 53 x3 − x4 ,

x2 = − 43 − 23 x3 + x4 ,

где x3 и x4 -любые числа.

2.6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Как отмечалось в конце первой главы, весьма удобным на практике и для осуществления на ЭВМ способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса - метод последовательных исключений неизвестных, впервые описанный немецкимматематиком Карлом Гауссом

(1777-1855) в 1849 г.

Суть этого метода заключается в приведении данной системы путем элементарных преобразований к равносильной ей системе более простого вида, которая легко решается.

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции:

1. Умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля. 2.. Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умно-

женного на число, отличное от нуля.

3. Перемена местами двух уравнений в системе.

Очевидно, что получающаяся в результате выполнения каждого элементарного преобразования новая система будет эквивалентна исходной.

Проследим, как реализуется метод Гаусса для произвольной системы mлинейных уравнений с n неизвестными:

67

a	x +a		x	+ +a		x =b
11	1	12 2			1n	n	1
a21x1 +a22 x2				+ +a2n xn =b2				(2.37)
................................................
a	x	+ a	x		+ + a	x	=b .
m1 1			m2 2		mn n		m

Среди коэффициентов ai1 имеется хотя бы один, отличный от нуля, иначе не было бы смысла упоминать о неизвестном x1 . Не ограничивая общности, можно считать, что a11 ≠ 0, так как всегда, используя преоб-

разование 3, можно принять за первое уравнение системы в котором коэффициент при x1 отличен от нуля.

Рассмотрим первый шаг преобразования системы. Исключим при помощи первого уравнения неизвестное x1 из всех остальных уравнений, если эти

уравнения содержат x1 т. е если ai1 ≠ 0 . В этом случае к i -ому (i = 2,3,..., m) уравнению системы прибавим первое уравнение, обе части

которого умножены на,	−	ai1	, чтобы после сложения коэффициент при
		a11

x1 обратился в 0. Тогда после первого шага преобразования мы получим системувида

a11x1 + +a1n xn =b1
	a(1) x	+ +a(1) x	=b(1)
	22 2	2n n	2	(2.38)
........................................
	a(1) x	+ +a(1) x	=b(1) .
	S 2 2	Sn n	S

Здесь не изменилось только первое уравнение, во всех остальных уравнениях коэффициенты и свободные члены в общем случае претерпели изменения. Число уравнений в системе (2.38) S ≤ m , так как из нее, возможно, пришлось удалить уравнения вида 0 = 0 , которые могли получиться в результате выполненных преобразований.

При анализе системы (2.38) возможны три случая:

1. Среди уравнений системы (2.38) имеется хотя бы одно такое, у которого все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Очевидно, что никакие значения неизвестных не могут удовлетворить подобному уравнению, и значит, система (2.38), а, следовательно, и (2.37) несовместны.

68

2.Все коэффициенты aik(1) и свободные члены bi(1) равны нулю.

Тогда система (2.38) состоит из одного первого уравнения. Если в этом уравнении все коэффициенты, кроме a11 , равны нулю, то система имеет

единственное решение. В противном случаесистеманеопределенна.

3. Средикоэффициентов aik(1) найдетсяхотябыодин, отличный от нуля, тогда переходим ковторому шагу преобразования системы.

Не ограничивая общности, можем считать, что a22(1) ≠ 0. Исключим неизвестное x2 из всех уравнений системы (2.38), начиная с третьего. Получим систему вида:

	+a12 x2 +a13 x3 + +a1n xn =b1
a11x1
	a(1) x	+a(1) x			+ +a(1) x		=b(1)
	22 2	23		3	2n n		2
		a33(2) x3 + +a3(2)n xn =b3(2)						(2.39)
		.........................................
		a(2) x		+ +a(2) x		=b(2) ,
			3
		t3			tn n		t

эквивалентную исходной системе (2.37).

Число уравнений в системе (2.39) t ≤ s в связи с возможным исключением из нее уравнений вида 0 = 0.

При выполнении третьего, четвертого и т. д. шагов рассмотренного процесса последовательного исключения неизвестных возможны два случая:

1.На одном из шагов преобразования в системе появится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Это свидетельствует о несовместности исходной системы(2.37).

2.Придем к системе вида

	+a12 x2 +a13 x3 + +a1r xr				+ +a1n xn =b1
a11x1
	a22* x2 +a23*	x3 + +a2*r xr			+ +a2*n xn =b2*
	a33*	x3 + +a3*r xr			+ +a3*n xn =b3*					(2.40)
		..........................................
		a*	x		+ +a*	x		=b*;
				r
		rr			rn	n			r
Здесь все "диагональные" коэффициенты a							, a*		,..., a*	отличны от
					11			22	rr

нуля, а число уравнений r ≤ m - числа уравнений в исходной системе

69

(2.37) ввиду возможного исключения в процессе преобразований уравнений вида 0 = 0 . Заметим, что здесь число уравнений r равно рангу матрицы исходной системы. Система (2.40) совместна, и при ее решении следует рассмотреть два случая.

а) r = n . В этом случае система (2.40) приобретает "треугольный" вид

	+a12 x2 +a13 x3 + +a1n xn =b1
a11x1
	a22* x2 +a23*	x3 + +a2*n xn =b2*
	a33*	x3 + +a3*n xn =b3*			(2.41)
	................................
		a*	x	=b*.
		nn	n	n

Система (2.41) имеет единственное решение, и значения всех неизвестных легко находятся так называемым обратным ходом метода Гаусса, т.е поднимаясь по системе (2.41) снизу вверх.

Следовательно, при r = n исходная система совместна и опреде-

ленна.

б) r < n . В этом случае система (2.40) приобретает "трапецеидальный" вид, и, поскольку число уравнений г меньше числа неизвестных n , имеет бесконечное множество решений, т.е неопределенна. В ней выделяют r главных неизвестных: x1, x2 ,..., xr , а остальные неиз-

вестные: xr +1, xr +2 ,..., xn являются свободными. В этом случае, посту-

пая аналогично предыдущему, из последнего уравнения системы (2.40) находим единственное выражение для неизвестногоxr через

свободные неизвестные. Затем, поднимаясь вверх по системе, найдем выражения для остальных главных неизвестных через свободные неизвестные.

Придавая свободным неизвестным всевозможные значения, получим бесконечное множество решений исходной неопределенной системы.

Таким образом, метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность данной системы линейных уравнений, а в случае совместности выявить ее определенность или неопределенность и найти все решения.

70

Рассмотрим использование метода Гаусса на трех конкретных примерах.

Пример 1. Решить систему

x1 −2x2 + x 3 =52x1 −3x2 − x3 = 63x1 + x2 −2x3 =3.

Решение. Исключим при помощи первого уравнения неизвестное x1 из второго и третьего уравнений. Для этого прибавим ко

второму уравнению первое, умноженное на (-2), а к третьему - первое, умноженное на (-3). Получим

x1 −2x2 + x 3 =5x2 −3x3 = −47x2 −5x3 = −12.

Теперь с помощью второго уравнения исключим x2 из третьего

уравнения. Для этого прибавим к третьему уравнению второе, умноженное на (-7). Получим систему "треугольного" вда

x1 −2x2 + x 3 =5x2 −3x3 = −4

16x3 =16.

Прямой ход завершен.

В соответствии с условиями 1 и 2 система совместна и определенна, т. е имеет единственное решение. Это решение находим обратным ходом, поднимаясь по "треугольной" системе снизу вверх. Из третьего уравнения находим

x3 =1,

затем из второго

x2 = −4 +3x3 = −1

и, наконец, из первого

x1 =5 +2x2 − x3 = 2.

Таким образом, решение данной системы:

x1 = 2;

x2 = −1;

x3 =1.

Замечание: На практике при решение системы уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу системы B , получающуюся

71

присоединением к матрице системы A, составленной из коэффициентов при неизвестных, столбца из свободных членов. Этот столбец для удобства отделяют вертикальной чертой.

Каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы, и наоборот, - каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы соответствует аналогичноепреобразованиесистемы.

В следующих далее примерах мы используем этот прием записи метода Гаусса.

Пример 2. Решить систему

x		− x	+ x	−9x		= −3
	1	2	3	4
2x1 + x2 + x3 −3x4 = 2
x		+ x		+2x			= 2
	1	2				4
−2x + x + x +					5x		= 6.
		1	2	3		4

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее по методу Гаусса, обозначая каждый шаг преобразования стрелкой. На первом шаге преобразования должно быть исключено неизвестное x1

из всех уравнений кроме первого. Следовательно, при этом остается неизменной лишь первая строка расширенной матрицы системы, а остальные строки преобразуются так, чтобы элементы первого столбца в них обратились в нули. С этой целью к элементам второй строки расширенной матрицы системы прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-2). К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-1), а к элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2. Рассмотренный первый шаг преобразования расширенной матрицы системы записывается в виде

1	−1	1	−9	| −3						1 −1		1	−9	| −3
2	1	1	−3	|	2			→		0	3 −1		15	|	8
1	1	0	2	|	2					0	2 −1		11 |		5
−2	1	1	5	|	6					0	−1	3 −13		|	0

Здесь мы прервем запись цепочки, чтобы пояснить дальнейшие шаги. На втором шаге преобразования сохраняются первая и вторая строки матрицы. Используя вторую строку, преобразуем третью и четвертую стро-

72

ки так, чтобы элементы второго столбца в них обратились в нули. С этой целью к элементам третьей строки, умноженным на (-3), прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на 2. В свою очередь к элементам четвертой строки, умноженным на 3, прибавим соответствующие элементы второй строки. Затем выполняем третий заключительный шаг преобразования, сохраняя первые три строки и изменяя четвертую так, чтобы элемент третьего столбца в ней обратился в нуль. С этой целью к элементам четвертой строки прибавим соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-8).

Продолжим запись непрерывной цепочки преобразований расширенной матрицы системы, отразив результаты второго и третьего шага преобразований

1 −1		1	−9	| −3						1 −1		1	−9	| −3
0	3 −1		15	|	8			→		0	3 −1		15	|	8
0	0	1	−3	|	1					0	0	1	−3	|	1
0	0	8 −24		|	8					0	0	0	0	|	0

В полученной матрице четвертая строка соответствует уравнению вида 0 = 0 , которое может быть исключено, первые три строки соответствуют системе «трапецеидального» вида

x1 − x2 + x3 −9x4 = −3
	3x2 − x3 +15x4 =8
	x3 −3x4 =1.

Для этой системы r =3; n = 4; r < n , следовательно, заданная система совместна и неопределенна с одним свободным неизвестным. Принимая x4 за свободное неизвестное и реализуя обратный ход, из третьего

уравнения находим

x3 =1+3x4 ,

затем из второго

x2 =3 −4x4 ,

и, наконец, из первого

x1 = −1+2x4.

Так как последняя система равносильна заданной, то множество решений исходной системы можно записать в виде

73