В соответствии с формулой (1.22) определитель матрицы n -го порядка определяется через n определителей (n −1) -го порядка, каждый из кото-

рых определяется через n -1 определитель (n −2) -го порядка и т.д. Доводя

это разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получим, что определитель n-го порядка представляет собой алгебраическую сумму n(n −1) 2 1 = n! слагаемых. Каждое слагаемое, взятое с определенным

знаком, является произведением n элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Именно такую структуру имело выражение (1.19) для определителя третьего порядка. Обычно это представление и принима ется в курсах высшей алгебры за определение определителя n -го порядка.

1.4 Основные свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка. Эти свойства широко используются при вычислении определителей высших порядков с целью упрощения расчетов.

Прежде чем сформулировать свойства определителей, введем новое понятие.

Определение. Транспонированием матрицы называется операция,

состоящая в получении из данной матрицы A другой матрицы AT перестановкой каждой строки на место столбца с тем же номером, то есть операция перехода от матрицы

a11

a12

...

a1n

A =

a21

a22

...

a2n

...

... ... ...

к матрице

an1

an2

...

ann

a11

a12

...

a1n

AT

=

a12

a22

...

a2n

.

(1.23)

... ...

...

...

a1n

a2n

...

ann

17

Матрица, полученная транспонированием матрицы A, обозначается символом AТ .

Очевидно, что ( AТ )T = A.

Рассмотрим теперь свойства определителей, опуская ряд доказательств, требующих (в общем случае определителей n -го порядка) дополнительных сведений, не предусмотренных программой нашего курса.

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть

D( AТ ) = D(A).

Это свойство примем без доказательства.

Из свойства 1 следует, что всякое свойство определителя относительнострок матрицысправедливо и в отношении столбцов.

Свойство 2. (Теорема разложения). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство для общего случая определителя n -го порядка опустим. Для определителя третьего порядка

a11 a12 a13 D = a21 a22 a23

	имеют место шесть равенств	a31 a32 a33
	D = a11 A11 +a12 A12 +a13 A13 ,
	D = a21 A21 +a22 A22 +a23 A23 ,
	D = a31 A31	+a32 A32 +a33 A33 ,	(1.24)
	D = a11 A11 +a21 A21 +a31 A31,
	D = a12 A12	+a22 A22 +a32 A32 ,
	D = a13 A13	+a23 A23 +a33 A33

Первое равенство соответствует определению определителя третьего порядка (1.18). Любое из пяти остальных может быть легко доказано, если воспользоваться формулой (1.19). Докажем, например, второе равенство. Группируя в формуле (1.19) члены, содержащие a21, a22 и a23, полу-

чим

18

D = a21(a32a13 −a12a33 ) +a22 (a11a33 −a13a31) +a23 (a12a31 −a11a32 ) =

		a	a	32					a		a						a		a
		12							11		13						11		12
= a21	−	a	a	33			+a22		a	31	a	33		+a23	−		a	31	a	32			=
		13

= a21A21 +a22 A22 +a23 A23.

Следствие (теорема замещения). Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольные числа равна определителю матрицы, получающейся из данной заменой рассматриваемой строки (столбца) на строку (столбец) из этих чисел.

Доказательство. Рассмотрим, например, выражение

q1A21 +q2 A22 + +qn A2n ,

являющееся суммой произведений произвольных чисел q1, q2 ,..., qn на алгебраические дополнения A21, A22 ,..., A2n элементов

второй строки матрицы

	a11	a12	...	a1n
A =	a21	a22	...	a2n		,
	...	... ... ...
	an1	an2	...	ann
и матрицу	a11	a12	...	a1n
B =	q1	q2	...	qn		,
	... ... ... ...
	an1	an2	...	ann

получающуюся из матрицы A заменой второй строки на строку из чисел q1, q2 ,..., qn. Очевидно, алгебраические дополнения соответствующих эле-

ментов вторых строк матриц Aи B совпадают. Поэтому по теореме разложения (свойство 2) имеем

q1 A21 +q2 A22 +... +qn A2n = D(B).

Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель такой матрицы будет равен произведению этого числа и определителя исходной матрицы.

19

Доказательство. Умножим, например, все элементы первой строки матрицы третьего порядка на число k , тогда, разложив определитель по элементам первой строки, получим

	ka11	ka12	ka13
	a21	a22	a23	= ka11A11 +ka12 A12 +ka13 A13 =
	a31	a32	a33
= k(a11A11 +a12 A12 +a13 A13 ) = k						a11	a12	a13
						a21	a22	a23		.
						a31	a32	a33

Свойство 3 иногда короче формулируют так: постоянный множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Следствие. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель такой матрицы равен нулю.

Свойство 4. Если в матрице переставить любые две строки (два столбца), то определитель такой матрицы будет равен определителю исходной матрицы с противоположным знаком.

Доказательство. Пусть, например, в матрице третьего порядка переставлены первая и третья строки. Покажем, что

a31	a32	a33				a11	a12	a13
a21	a22	a23		=−		a21	a22	a23		.	(1.25)
a11	a12	a13				a31	a32	a33

Разлагая определитель, стоящий в правой части равенства, по элементам первой строки, получим

a11 A11 +a12 A12 +a13 A13

(1.26)

Теперь разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по элементам третьей строки:

a31	a32	a33
a21	a22	a23	=a11(a32a23 −a22a33 ) −a12 (a31a23 −a21a33 ) +
a11	a12	a13
+a13 (a31a22 −a21a32 ) = a11(−A11) −a12 A12 +a13 (−A13 ) =
			= −(a11A11 +a12 A12 +a13 A13 ).	(1.27)

20

Из сравнения (1.26) и (1.27) следует справедливость (1.25).

Следствие. Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть D - определитель матрицы, имеющей

.две одинаковые строки. Если эти строки переставить, то очевидно, что матрица не изменится и, следовательно, ее определитель будет равен D . В то же время по свойству 4 он должен равняться − D, то есть должно вы-

полняться равенство

D = −D,

откуда

2D = 0,

следовательно,

D = 0.

Свойство 5. Если у матрицы две строки (столбца) имеют пропорциональные элементы, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть, например, в матрице n -го порядка пропорциональны элементы первой и второй строки: a21 = ka11, a22 = ka12 ,..., a2n = ka1n , где k ; - произвольное число. Тогда, используя свойство 3 и следствие из свойства 4, получим

a11	a12	...	a1n		a11	a12	...	a1n
ka11	ka12	...	ka1n	= k	a11	a12	...	a1n	=0.
...	... ... ...				...	... ... ...
an1	an2	...	ann		an1	an2	...	ann

Свойство 6. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим, например, сумму произведений элементов второй строки матрицы n -го порядка

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n
... ... ... ...
an1	an2	...	ann

на алгебраические дополнения элементов первой строки этой же матрицы

a21A11 +a22 A12 + +a2n A1n.

21

По теореме замещения (следствие из свойства 2) эта сумма равна определителю матрицы, получаемой из данной матрицы заменой первой строки строкой из чисел a21, a22 ,..., a2n , то есть определителю, у которого

первая и вторая строки одинаковы. По следствию из свойства 4

	a21	a22	...	a2n
	a21	a22	...	a2n	=0.
	...	... ... ...
	an1	an2	...	ann

Свойство 7. Определитель матрицы, у которой все элементы ка- кой-либо строки (столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей матриц, получаемых из данной матрицы заменой рассматриваемой строки (столбца) на строки (столбцы), состоящие, соответственно, из первых и вторых слагаемых.

Доказательство. Пусть, например, все элементы первой строки матрицы n-го порядка представляют собой сумму двух слагаемых. Тогда, разлагая определитель этой матрицы по элементам первой строки и используя теорему замещения (следствие из свойства 2), будем иметь

	a'11+a"11	a'12 +a"12	...	a'1n +a"1n
	a21	a22	...	a23	=
	...	...	...	...
	an1	an2	...	ann

=(a'11+a"11 ) A11 +(a'12 +a"12 ) A12 + +(a'1n +a"1n ) A1n =

=a'11A11 +a'12 A12 + +a'1n A1n +a"11 A11 +a"12 A12 + +a"1n A1n =

		a'11	a'12	... a'1n			a"11	a"12	... a"1n
	=	a21	a22	...	a2n	+	a21	a22	...	a2n	.
		...	... ... ...				...	... ... ...
		an1	an2	...	ann		an1	an2	...	ann

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число.

22

Доказательство. Прибавим, например, к элементам первого столбца матрицы n -го порядка элементы второго столбца, умноженные на произвольное число k. Тогда, используя свойство 7, а затем свойство 5, будем иметь

a11

+ka12

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

a21

+ka22

a22

...

a2n

=

a21

a22

...

a2n

+

...

... ... ...

...

... ... ...

an1 +kan2

an2

...

ann

an1

an2

...

ann

ka12

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

+

ka22

a22

...

a2n

=

a21

a22

...

a2n

.

...

... ... ...

...

... ... ...

kan2

an2

...

ann

an1

an2

...

ann

Рассмотренные свойства используются при вычислении определителей высших порядков. В основе метода вычисления лежит теорема разложения (свойство 2), представляющая каждый определитель в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

В результате вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению n определителей (n −1) -го порядка. Очевидно, объем вычис-

лений сокращается, если некоторые элементы строки или столбца равны нулю. Используя свойство 8, можно добиться того, чтобы все элементы, кроме одного, в выбранной строке или столбце обратились в нули. Тогда вычисление определителя n -го порядка можно свести к вычислению толькоодногоопределителя (n −1) -го порядка.

Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

2 −1 3

D = −4 3 −2 . 6 2 1

Решение. Используем свойства определителей. Заметив, что все элементы первого столбца имеют общий множитель 2, вынесем его за знак определителя, используя свойство 3. Получим

23

1 −1 3 D = 2 −2 3 −2 .

3 2 1

Используя свойство 8, добьемся того, чтобы в первой строке все элементы, кроме первого, обратились в нуль. Для этого выполним следующее преобразование: 1) к элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы первого столбца; 2) к элементам третьего столбца прибавим элементы первого, умноженные на (-3), тогда получим

D =	1	0	0	.
	−2	1	4
	3	5	−8

Замечая, что в получившемся определителе все элементы третьего столбца имеют общий множитель 4, вынесем его за знак определителя.

1 0 0 D = 2 4 −2 1 1 .

3 5 −2

Ясно, что этот определитель целесообразно разложить по элементам первой строки, где всего один элемент отличен от нуля. Получим

D =8 1	1	1	=8(−7) = −56.
	5	−2

Пример 2. Вычислить определитель четвертого порядка

	−2	−1	1	2
D =	−1	5	−2	3		.
	3	2	5	−4
	1	−1	3	−2

Решение. Используя свойство 8, преобразуем определитель так, чтобы все элементы первого столбца, кроме четвертого, обратились в нули. С этой целью: 1) к элементам первой строки прибавим удвоенные элементы четвертой строки; 2) к элементам второй строки прибавим элементы четвертой строки; 3) к элементам третьей строки прибавим элементы четвертой строки, умноженные на (-3). Получим

24