0	−3	7	−2
D =	0	4	1	1		.
	0	5	−4	2
	1	−1	3	−2

Разложим этот определитель по элементам первого столбца

−3 7 −2 D =1(−1)4+1 4 1 1 .

5 −4 2

Используя свойство 8, добьемся того, чтобы в последнем определителе все элементы третьего столбца кроме второго, обратились в нули. С этой целью к элементам первой строки прибавим удвоенные элементы второй строки, а к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на (-2). Затем разложим полученный определитель по элементам третьего столбца:

D = −	5	9	0	= (−1)1(−1)2+3		5	9		= −3.
	4	1	1
	−3	−6	0			−3	−6

1.5 Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвест-

ными:

a x			+a x			2	+a x		=b ,
	11	1	12				13	3	1
a21x1 +a22 x2 +a23x3 =b2 ,														(1.28)
a x			+a x			2	+a x		=b .
	31	1	32				33	3	3
Матрица системы - квадратная матрица A третьего порядка
	A=				a11		a12	a13
					a21		a22	a23					.	(1.29)
					a31		a32	a33

25

Будем искать решение этой системы. Для исключения неизвестных x2 и x3 умножим обе части первого, второго и третьего уравнений систе-

мы (1.28) соответственно на алгебраические дополнения A11, A21 и A31 элементов a11, a21и a31 матрицы (1.29), а затем сложим почленно левые и правые части получившихся равенств. В результате будем иметь

(a11A11 +a21A21 +a31A31)x1 +(a12 A11 +a22 A21 +a32 A31)x2 +
(a13 A11 +a23 A21 +a33 A31)x3 + =b1A11 +b2 A21 +b3 A31 .	(1.30)

В равенстве (1.30) коэффициент при неизвестном x1, равный сумме про-

изведений элементов первого столбца матрицы (1.29) на их алгебраические дополнения, по теореме разложения (свойство 2) определителей равен определителю D матрицы системы A - определителю системы:

	a11	a12	a13
D =	a21	a22	a23	.	(1.31)
	a31	a32	a33

Коэффициенты при неизвестных x2 и x3 равны нулю по свойству 6 опре-

делителей, как суммы произведений соответственно элементов второго и третьего столбцов на алгебраические дополнения элементов первого столбца. Свободный член, стоящий в правой части равенства (1.30), равен сумме произведений свободных членов системы b1,b2 и b3 на алгебраиче-

ские дополнения элементов первого столбца матрицы A. Следовательно, по теореме замещения правая часть равенства (1.30) совпадает с определителем матрицы, получаемой из матрицы системы заменой первого столбца, состоящего из коэффициентов при неизвестномx1, столбцом из

свободныхчленовсистемы. Обозначивэтотопределитель через D1

b1 a12 a13 D1 = b2 a22 a23 ,

b3 a32 a33

запишем равенство (1.30) в виде

Dx1 = D1.

Аналогично получим еще два уравнения, содержащие только x2 и только x3, вводя в качество множителей для системы (1.28) соответственно, ал-

26

гебраические дополнения второго и третьего столбцов матрицы системы (1.29). В результате будем иметь систему

Dx		= D
	1	1	(1.33)
Dx2 = D2
Dx		= D ,
	3	3

где D2 и D3 - определителиматриц, полученныеаналогично определителю D1, заменой соответственно второго и третьего столбцов столбцом из свободных членов:

		a11	b1	a13
D2	=	a21	b2	a23				,	(1.34)
		a31	b3	a33
		a11	a12	b1
D3	=	a21	a22	b2					(1.35)
		a31	a32	b3

Исследуем систему (1.28), используя полученную из нее систему (1.33), аналогично выполненному в 1.2 исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим два возможных случая: либо определитель D системы отличен от нуля, либо равен нулю.

1.D ≠ 0

В этом случае система уравнений (1.33) имеет единственное реше-

ние

x	= D1 ,	x	2	=	D2	,	x	=	D3	.	(1.36)
1	D				D		3		D

Так же как и в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, можно показать, что при D ≠ 0 системы (1.33) и (1.28) эквивалентны. Формулы (1.36) дают решение системы (1.28) и это решение единственно (система (1.28) определенна). Этот результат является частным случаем теоремы Крамера, а формулы (1.36) называются формулами Крамера применительно к системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

2.D = 0.

27

Если определитель системы (1.28) равен нулю, то в зависимости от определителей D1, D2 , D3 система либо несовместна, либо неопределенна,

аименно:

1)Если хотя бы один из определителей D1, D2 , D3 отличен от нуля,

то система (1.28) несовместна, так как соответствующее уравнение системы (1.33), в которое входит этот определитель, не может быть удовлетворено никакимзначением неизвестного.

2)Если все определители D1, D2 , D3 равны нулю, то, как показано в

курсах высшей алгебры, система (1.28) либо совместна и имеет при этом бесчисленное множество решений (система неопределенна), либо она несовместна. В случае неопределенности системы, она эквивалентна либо двум, либоодному изее уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

2x1 −3x2 + x3 =11x1 +5x2 −4x3 = −10

4x1 + x2 −3x3 =5.

D =		2	−3	1
		1	5	−4		= −2
		4	1	−3

Решение. Вычислим определитель системы Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система

совместна и имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. Вычисляем определители D1, D2 , D3 .

D1 =		11	−3	1						D2 =			2	11	1
		−10	5	−4				= −6;					1 −10		−4		= 2;
		5	1	−3									4	5	−3
				D3 =				2	−3	11
								1	5	−10	= −4.
								4	1	5

Тогда по формулам Крамера

28

x

=

D1

= −6 =3;

x

2

=

D2

=

2

= −1;

x =

D3

=

−4

= 2.

1

D

−2

D

−2

3

D

−2

Пример 2. Исследовать систему уравнений

x

−2x

2

+ x

= −1

1

3

3x1 + x2 + 4x3 = −3

x

+5x

2

+ 2x

= 2.

1

3

Решение. Вычисляем определитель системы

1

−2

1

D = 3

1

4 = 0.

1 5 2

Так как D = 0, то система либо неопределенна, либо несовместна. Найдем D1.

D1 =		−1	−2	1
		−3	1	4	≠ 0.
		2	5	2

Остальные определители можно уже не вычислять, так как из того, что D1 отличен от нуля, следует, что система несовместна.

Пример 3. Рассмотрим систему

	x	+ x	2	−2x =1
	1			3
2x1 +2x2 −4x3 = 2
		+3x2		−6x3 =5.
3x1

Здесь D = 0, D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0. Система несовместна, в чем

легко убедиться, умножив обе части первого уравнения на 3. Получим уравнение 3x1 +3x2 −6x3 =3, что противоречит третьему уравнению сис-

темы, следовательно, система не имеет решений. Пример 4. Рассмотрим систему

	x	− x		2	+		3x	= −1
	1						3
2x1 −2x2 +6x3 = −2
	3x		+4x			2	− x		= 4.
	1						3

29

Здесь D = 0, D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0. Так как второе уравнение полу-

чается умножением обеих частей первого уравнения на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений и имеет бесконечное множество решений, то есть неопределенна. Способ нахождения этих решений будет показан в 1.7.

1.6 Система п линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Крамера

Используем метод, примененный при исследовании системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными к общему случаю системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a x

+a

x

2

+ +a

x

n

=b

11 1

12

1n

1

a21x1

+a22 x2

+ +a2n xn =b2

(1.37)

.............

a

x

+a

n2

x

2

+ +a

nn

x

n

=b .

n1 1

n

Матрица системы – квадратная матрица порядка n :

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n			.	(1.38)
...	... ... ...
an1	an2	...	ann

Пользуясь методом исключения неизвестных, преобразуем систему (1.37) в новую систему уравнений, каждое из которых содержит только одно из неизвестных x1, x2 ,..., xn. Для получения уравнения, содержащего только

одно неизвестное xk (k =1,2,..., n), следует обе части первого, второго,..., n-го уравнения системы (1.37) умножить соответственно на алгебраические дополнения A1k , A2k ,..., Ank элементов k -го столбца матрицы

(1.38) и сложить почленно левые и правые части полученных равенств. В результате получим систему уравнений

30

	Dx		= D
		1	1
Dx2			= D2	(1.39)
.........
Dx		n	= D ,
			n

где D - определительсистемыуравнений(1.37)

		a11	a12	...	a1n
	D =	a21	a22	...	a2n	,	(1.40)
		... ... ... ...
		an1	an2	...	ann
	a D1, D2 ,...., Dn - определители		матриц,		получающихся		из матрицы

системы (1.38) заменой соответственно первого, второго,…,n -го столбца столбцом свободных членов системы уравнений (1.37)

b1

a12 ...

a1n

a11

b1 ...

a1n

D

=

b2

a22 ...

a2n

,

D

=

a21

b2 ...

a2n

,…

1

... ... ... ...

2

... ... ... ...

bn

an2 ...

ann

an1

bn ...

ann

a11

a12 ...

a1n−1

b1

…, D

=

a21

a22 ...

a2n−1

b2

(1.41)

n

...

... ...

... ...

an1

an2 ...

ann−1

bn

Далее, исследуя систему (1.37) и полученную из нее систему (1.39) аналогично тому, как это делалось в 1.5, выделяют два случая:

1. D ≠ 0.

В этом случае система уравнений (1.39) имеет единственное реше-

ние

x

=

D1

, x

2

=

D2

,..., x

n

=

Dn

,

(1.42)

1

D

D

D

являющееся единственным решением эквивалентной ей исходной системы

(1.37).

31