- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Решение неоднородного уравнения.
(1)
(2)
- общее решение (2)
Метод вариации произвольных постоянных.
- решение (1) ищем в этом виде.
Пусть =0 ->
=f(x)
(3) -> единственное решение.
= 0
y1y2
=W(y1,y2)0
В общем виде:
Пусть - общее решение,
Тогда - общее решение,
где
(3)
Пример 1.
Решение.
1) = 0;
2) y =C1(x)cos x + C2(x) sin x
y = cos x + sin x + (cos x + tg x sin x).
Ответ. y = cos x + sin x + (cos x + tg x sin x).
Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
(1)
(2)
(3)
I.не корень характеристического уравнения.
ищем в виде:
тогда
(*)
II.или,k1k2
ищем в виде:
(**)
Ш. =k2=-p/2
ищем в виде:
(***)
2) f(x)=(Pn(x)cosx+Qn(x)sinx)n- старшая из степеней.
I. +i
= (Un(x) cosx + Vn(x)sinx)
II. +i
=x* (Un(x) cosx + Vn(x)sinx)
Пример 2.
Решение.
1)
2)
Ответ. .
Пример 3.
Решение.
1)
2)
Ответ.
Пример 4.
Решение.
1)
2)
Ответ. .
Пример 5.
1)
2)
=A cos x+ B sin x
=-A sin x+ B cos x
=-Acos x – B sin x
-Acos x – Bsin x – 2Asin x + 2Bcos x+5Acos x +5Bsin x = 2cos x
cos x(-A+2B+5A)=2cos x +sin x (B+2A-5B)
-A+2B+5A=2
4A+2B=2
2A+2B=1
B=1/5, A=2/5;
y = 2/5 cos x +1/5 sin x
y =
Ответ. y=.
Пример 6.
1)
2)
=x (Acos 2x + Bsin 2x)
=(-2Asin 2x+2Bcos 2x)x + Acos 2x+ Bsin 2x
= - 2Asin 2x + 2Bcos 2x + x(-4Acos 2x – 4Bsin 2x) + Acos 2x +Bsin 2x.
-2Asin 2x+ 2B cos 2x + Acos 2x + Bsin 2x = 0
(-2A+B)sin 2x + (2B+A)cos 2x=0.
A=0, B=1/4;
=x(1/4 sin 2x).
Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.
Ответ. Y=C1cos 2x + C2 sin 2x+ ¼*x*sin 2x.
Теорема 8.
решение
решение
решение уравнения+
Доказательство.
Проверим:
ч.т.д.
Пример 7.
Решение.
1)
2)
f1(x) = x , =Ax+B
f2(x) = 3
(A+ C)` + 4 (Ax+B+C) = x + 3
C+4Ax+4B+4C=x +3
C=3/5, A=1/4, B=0;
y=C1cos 2x + C2sin 2x + 1/4x+ 3/5
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРОВНЕНИЙ.
(1)
(2)
Т.1
Если система разрешена относительно старших производных, то можно свести к нормальному виду.
Док.
пусть y=y1, y|=y2,…, y(n-1)=yn
Сведение дифференциальных систем уравнений к линейным
;
Аналогично
()
решение относительно y2,…,yn
Подставим в ()
y| = x+y+z
z| = 2x-4y-3z
y(0)=0
z(0)=0
y|| = 1+y| +z|
y|| = 1+x+y+z+2x-4y-3z
z=y| -x-y
K=-1
y0 =e-x(c1+c2x)
2)
y* Ax+B
2A+Ax+B = 5x+1
A=5
B=-9
1=c1-9 c1=10
0=-2c1+c2+14 c2=6
Линейные системы
(1)
X=(x1,…,xn)
…
A(t)= …
…………………………
…
(1) (2)
Общее решение однородной системы
x1,…,xn – частные лин. Независимые решения (2)
С1,…,Сn – произвольные постоянные
О.р. (1):
X=X0+X*
X0- общее решение однородной системы
X*- частные решения (1)
y|,…,yn – лин. Независимы =>
x|,…,xn – решение (2)
x|,…,xn лин. независимыW(x|,…,xn)
Линейные системы с постоянными коэффициентами
(1)
(2)
ищем решение (2) в виде
Если и выполняется (3), тоназывается собственным числом А
-собственным вектором
(4)
1) (4) имеет n корней
=> , j=1,…,n.
лин. независимые решения (2)
2) (4) имеет кратные корни.
Пусть - корень кратности
ему соответствуют собственные векторы
2.1) k=m
лин. независимые решения (2)
2.2) k<m
=> частное решение ищется в виде
3 4 -2
A= 1 0 1
6 -6 5
-1- 4 -2
1 - 1
6 -6 5-
(-3-) ( -5 +6) -4(5--6) -2(-6+6)=0
-(+3)( 2 -5 +6) +8 +16
(+3)( -2)( -3) +8(-2)=0
=2 2 -9 +8=0 =1