Периодичность.

cos z=cos(x+iy)=cos x cos iy – sin x sin iy=cos x ch y – isin x sh y

cos(z+2π)=cos z cos 2π – sin z sin 2π=cos z

cos z и sin z - 2π-периодичные (а также неограничены)

t

z

g z=sin z/cos z – π-периодичная

e

z+2πi

z

z

2πi

z

,sh z,ch z - 2πi- периодичные

e =e ∙e =e (cos 2π+isin 2π)= e

iφ

w=Ln z z=x+iy

z

w

iφ

u+iv

iφ

u

iv

=r∙e w=u+iv

z

u

=e r∙e =e r∙e =e ∙e

r

iφ

iv

= e u=ln r

e =e v=φ+2πk, kЄZ

L

Iπ/2

n z=ln r+i(φ+2πk), z≠0=>найдётся значение Ln z

i=1∙e

Ln i=ln 1+i(π/2+2πk)=i(π/2+2πk)

C

α

тепенная функция.

w

Ln z^α

αLn z

=z , αЄC

w=e (z в степени α) =e

П zоказательная функция.

w

Ln a^z

z∙Ln a

=a , aЄC, a≠0

w=e =e

Логарифмическая функция.

w

a

=Log z=Ln z/Ln a, aЄC, a≠0

О

iw

-iw

братные тригонометрические функции.

w

iw

-iw

=Arcsin z 2iz=e -e

z

iw

iw

2iw

=sin w=(e -e )/2i

2iz∙e =e -1 e =τ

τ²-2izτ-1=0

Arctg z=-i/2 Ln (i-z)/(i+z)

О

z

z

2z

2z

-z

-z

братные гиперболические функции.

th z=sh z/ch z=(e -e )/ ( e +e )= (e -1)/ (e +1)

w

2w

2w

2w

=Arth z

z= th w= (e -1)/ (e +1)=>e (z-1)=-(z+1)=>2w=Ln(1+z)/(1-z)

Arth z=1/2 Ln (1+z)/(1-z)

Предел функции комплексной переменной.

w=f(z) z=x+iy

w=u(x,y)+iv(x,y) lim f(z)=b

z→a

ε

f(z)ЄU (b), z≠a, δ> ׀a-z׀

׀f(z)-b׀<ε

Уравнение окружности на комплексной плоскости.

׀z-a׀=r z=x+i

a=α+iβ ׀(x-α)+i(y-β)׀=r

(x-α)²+(y-β)²=r²

lim f(z)=b

z→a

пусть z=t ЄR=>

lim (u(t)+iv(t))=b=c+id lim u(t)=c

t→a t→a

lim v(t)=d

t→a

Непрерывность.

w

0

0

=f(z)непрерывна в z , если lim ∆w=0, lim f(z)=f(z );

0

∆z→0 z→z

z

0

0

0

= z +∆z ∆w=f(z +∆z)-f(z )

Производная.

w ́=lim ∆w/∆z

∆z→0

Необx. условия дифференцируемости.

∆z=∆x+i∆y w=f(z)

∆z→o ∆x→o

∆y→0

z→z+∆z ∆z=∆x+i∆y

∆w=∆u+i∆v w=u(x,y)+iv(x,y)

Cуществует w ́

1)

0 ∆z

∆y=0, ∆z= ∆x

w

x

x

́=lim (∆u+iv)/∆x=lim ∆u/∆x+i∙lim ∆v/∆x=u ́ +iv ́́ (1)

∆x→0 ∆x→0 ∆x→0

w ́=lim ∆w/∆z

∆z→0

2)

∆z ∆x=0, ∆z=i∆y

y

y

0 w ́=lim (∆u+i∆v)/i∆y=-i∙lim ∆u/∆y+lim ∆v/∆y=-iu ́+v ́ (2)

∆y→0 ∆y→0

x

y

u ́ =v ́

(3) – формула Коши-Римана

x

y

v ́ =-u ́

Дост. Условия дифференцируемости.

w=u(x,y)+iv(x,y)

u,v – диф. и удовл. усл. (3)=> найдётся

w ́ =lim ∆w/∆z=lim (∆u+i∆v)/(x+i∆y)

∆z→0 ∆z→0

Arcsin 1=-i∙Ln i=-i∙i(π/2+2πk)= π/2+2πk

∆

y

x

u= u ́∆x+ u ́∆y+α(∆ρ)∆x+β(∆ρ)∆y (α и β – б/м)

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Пусть имеют непрерывные частные производные и удовлетворяют усл.:

u

x

y

́ =v ́

(1)

v

x

y

́ =-u ́

∆z=∆x+i∆y; ∆w=∆u+i∆v

∆ρ=׀∆z׀

w

x

y

́ =lim ∆w/ ∆z=lim (∆u+i∆v)/(∆x+i∆y)= lim (u ́ ∆x+u ́ ∆y+α(׀∆z׀ ) ׀∆z׀

y

∆z→0 ∆z→0 ∆z→0

+

x

x

x

x

x

i( v ́ ∆ x+ v ́ ∆ y+β(׀∆z׀)׀∆z׀))/(∆x+i∆y)=lim ((u ́ +iv ́)∆x+(iu ́-v ́) ∆y+(α+iβ)∙

∆z→0

׀

x

x

x

x

∆z׀)/(∆x+i∆y)=u ́+iv ́+lim (α+iβ)∙ ׀∆z׀/∆z=u ́+iv ́

z

x

iy

x

x

x

w

x

x

=e =e∙e =e ( cos y+isin y )=e cos y+ie sin y

u

x

x

́=e cos y v ́=e sin y

u ́=- e sin y v ́=e cos y

x

x

x+iy

z

w

z

z

́=e cos y+ie sin y=e =e

(e ) ́=e

w=f(τ(z))

z→z+∆z=> τ→ τ+ ∆τ=>w→w+ ∆w

∆w/ ∆z=( ∆w/∆τ)(∆τ/∆z)

w

z

z

τ

́=w ́∙τ ́ w ́=f ́(τ())∙τ ́(z)