- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Метод вариации произвольных постоянных.
(1)
(2)
Пусть
- однородное решение (2), будем искать однородное решение (1) в виде .
(3)
Определитель (3) – определитель Вронского для системы т.к.в 0 не обращаются, то (3) имеет единственное решение.
(4)
Примеры:
1) ,,,
, ,.
а)
б)
, ,
,
, ;
, ;
О:,,
(1)
, где 1-кратность собственного числа .
2)
, ,,
a)
б)
, ,
, ,
, ,
Дифференциальные уравнения
Критерий Рауса-Гурвица
(*)
Составим матрицу:
- матрица Гурвица
Теорема.
Для того чтобы все корни (*) имели необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гурвица были положительными.
Уравнение колебаний.
Рассмотрим пружину:
- свободные колебания
, -сила сопротивления
резонанс
Краевые (граничные) задачи.
Колебание струны.
(1)
Пусть , тогда
Значение при котором (1) имеет ненулевые решения называется собственным числом уравнения.
Соответствующие решения называются собственными функциями.
- собственные числа (1)
- собственные функции (1)
Некоторые сведения о приближённых решениях.
(1)
(2)
(1)(2)
Метод последовательных приближений.
- нулевое приближение
ТФКП
W=f(t)- функция аналитична в круге
z
a
c
Ряд Тейлора
сумма ряда (1) аналитична внутри круга сходимости.
R
a
r
r
a
R
Если
r>R=> ряд не сходится нигде
если r= 0 => область сходимости будет в круге с выколотым центром
Сумма ряда внутри кольца (граница не входит) является аналитичной функцией.
ar
R
Функция f(z)- аналитична внутри кольца толькоz лежит между двумя окружностями
a r
z
c2
c2
Функция аналитическая внутри кольца
Ряд Лоранаn-коэффициенты Лорана, функция аналитическая, внутри кольца разлагается в ряд Лорана.
Изолированные особые точки
Если ф-ия f(z)аналитична в некоторой области, за исключением внутренней точки, т.е жту точку можно окружить окресностью, в которой эта точка будет изолирована.
(.)a–изолтрованная слабая точка, есть окрестность такая, что функция аналитичка внутри выколотого круга.
Если функция аналитична в кольце, значит она разлогаетмя в ряд Лорана
Коэффициент А -1- называется вычетомf(z)в а