- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Повторный интеграл
Обл. Dназывается правильной в направлении осиy, если любая прямая || оси у, проходящая через внутреннею точку областиDпересекает границу области ровно в 2х точках.
Пустьнепр. вD
- непр. вD,и- непр.- тоже непр.
Свойства двукратного интеграла:
Если провести область вертикальными или горизонтальными прямыми разбить на части, то полученные части тоже будут правильными областями, причем S=S+S
(т.о среднем)
- непр. вD
- промежуточное значение
Теорема (о равенстве двойного и двукратного интеграла)
непр. вDправ. в напр.Oy.
Доказательство:
Следствия:
Если обл. D-прав, то справедливо равенство
- формула переменного пор-ка интегрирования.
Замена переменных в двойном интеграле
(1)
Пусть формула (1) непр. диф-ны иосуществл. отошения обл. Dна обл
непр. вD(2)
Формула перехода к полярным координатам
Пример:
Приложение двойного интеграла.
Площадь области.
Объём тела
Площадь поверхности
Пример:
Интегралы по-мере
- Универсальное множество
- подмножество
(mesA)
1.
2.
3. ,
наоборот не верно если , то не значит что множество.
масса тела-мера.
-интегр. суммана.
так, чтоmax.diam
Свойства:
Линейность.
Аддетивность.
Тройные интегралы
- правильная двумерная обл.
D-прав (2-мер.)
Если прямая проходящая через внутреннию точку, то пересекает граници области в 2х точках.
Приложения:
Vтела
Масса тела
-плотность
- плотность
Центр массы.
Пример:
Найти центр масс однородного тела, ограниченного поверхностью
Если
, еслиx=0,y=0,тоz=h
1.
2.
Криволинейный интеграл 1го рода
интегрируем на
Пример:
Найти масс однородной прово. имеющей форму полуокружности.
длина
Криволинейный интеграл 2го рода
непр.наAB
- на плоскости
-крив. инт. по кривой
- положит. Направление
- отр. Направление
Если мы задаём кривую
Физический смысл:
Работа на прямолинейном участке пути.
Формула Гриля
-непр. В областипоHи за его пределами
Рассмотрим:
- площадь области
Пример:
Исследование ряда Дирихле
Пример:
Знакопеременные ряды
Теорема(об абсолютной сходимости): Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) тоже сходится.
Доказательство:
Рассмотрим частичную сумму:
Ряд (2) сходится, то есть существует
Примечание – обратное неверно. Например:
Теорема(Лейбница):
Доказательство:
Теорема доказана.
Вывод: погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда не превосходит первого отброшенного члена.
Свойство №1:
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов и сумма при этом не меняется.
Свойство№2:
Если ряд сходится условно, то при перестановке членов его может стать равной любому числу, а также можно сделать его расходящимся.
Примеры:
Функциональные ряды
Определение: Множество значений х, при которых ряд (1) – сходится, называется областью сходимости ряда.
Примеры:
Ряд (1) называется мажорируемым на , если существует числовой положительный сходящийся ряд, при этом (2) называют мажорантой (1).
Мажорируемый ряд сходится абсолютно.
Теорема(о почленном интегрировании функционального ряда):
Пусть ряд (1) мажорируем на , тогда его можно почленно интегрировать на любомвложенном в.
Теорема№1(о непрерывности функционального ряда)
Теорема№2(о почленном интегрировании функционального ряда):
Доказательство:
Требуется доказать
Теорема№3(о почленном дифференцировании функционального ряда):
Доказательство:
Степенные ряды(это обобщение многочлена)
Теорема(Абеля):
1)Пусть ряд (1) сходится при
2)Пусть ряд (1) расходится или сходится условно при
Доказательство:
Теорема доказана.
Пусть А – множество точек сходимости ряда
Supremum – точная верхняя грань; infinum – точная нижняя грань.
Если К>0 и ряд сходится абсолютно на (-К,К); если x<-K и x>K, то ряд расходится.
Если К=бесконечности, то ряд сходится абсолютно на всем числовой оси.
Если Л=0, то ряд сходится только при x=0.
Интервал сходимости степенного ряда
Исследуем абсолютную сходимость
(конец первой темы)
Обобщенный степенной ряд.
(1) (-R,R)
R=
(2)
x-a=t
R=
- |x-a| <R- > сходится абсолютно
- R<x-a<R- // -
a-R<x<a+R-> сходится абсолютно
x<a-R,x>a+R-> расходится
a-R a a+R
1) 2(x-1) -
R= lim || =
|x-1| <
- интервал сходимости.
- > сходится
область сходимости
2)
R=lim1 = 1 (-1,1) – интервал сходимости.
x=1 1+1+….. -> расходится
x= -1 1-1+….. ->сходится
(-1,1) – область сходимости
3) - > интервал сходимости и область сходимости
R= =n+1 =
4)
R=== = 0
x=3 – область сходимости.