- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Решение дифференциальных уравнений.
Примеры:
1.
Ответ:
2.
Ответ:
3.
,
,
,
,
Ответ:
Свертка функций.
-оригиналы.
Свойство:
Доказательство:
Теорема (о свертке):
-оригиналы.
Доказать:
Доказательство:
Теорема (об интегрировании оригинала):
Доказать:
Доказательство:
Теорема (об интегрировании изображения):
Доказать:
Доказательство:
Пример (решение интегрального уравнения):
Ответ: .
Гамма функция
Г
Свойства Г(s):
Г
- оригинал с показателем роста
- преобразование Лапласа
- кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая
- преобразование Фурье
- обратное преобразование Фурье
Теорема.
Пусть -оригинал с показателем роста
- преобразование Лапласа
является преобразованием Фурье ,
Доказательство.
(*) – формула обращения
Теорема.
Пусть - аналитична в полуплоскости,
при
,
является изображением,
вычисляется по формуле (*).
Лемма Жордана.
Пусть - изображение
при , при
при , при
, при
Пусть - изображение, прианалитичное повсюду, прианалитичное повсюду кроме конечного числа особых точек.
i
2способ
Решаем (2)
Подставим в (1)и найдём .