- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Геометрические приложения определенного интеграла
IПлощадь области
1.Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции)
y=f(x) – непр на [a,b],f(x)0
a b
n
Sn=f(ci)xi;
i→
b
S=∫f(x)dx – площадь криволинейной трапеции, если функция не «–»
y=f(x)(<0)
b
S=∫(–f(x))dx
a
c
Sкр
трап=S1+S2+S3=∫f(x)dx+
a
например
y=x2
y=√x
1 1
S=∫(√x – x2)dx=(2/3x3/2 – 1/3x3) =1/3
0
2. Площадь кривой трапеции (параметрическое задание функции).
t1<t t2
b b2
S=f(x)dx= (t) φ´(t)dt; x= φ(t); φ:[t1,t2][a,b]; R= φ(t1); b= φ(t2)
a b1
t2 t2
S=(t) φ´(t)dt; x= φ(t); S= ydx
t1 t1
Площадью криволинейной трапеции называют предел [a,b] к которому стремится площадь ступенчатой фигуры, . . . из прямоугольников, гдеn.
Если предел существует, то область наз-ся квадрируемой.
Например:
t2
S= yx´dt
t1
найти площадь ограниченной кривой
0xa π/2 t0
0 0 π/2 π/2
S=4 bsint(acost)´dt=-4absin2 tdt=2ab(1-cos2t)dt=2ab(t-(sin2t/2)) = 2abπ/2= πab
π/2 π/2 0 0
3. Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах).
n β
Sn=1/2r2(i)i;Sкр сект =1/2r2()d;α=0<1<...<n= β;
i=1 α
i-1ii, i=1,...,n; i=i - i-1;
Sсектора=1/2r2 α
Например. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=a(1-cos)
Кардиоида
π π π π π
S=2*1/2a2(-cos)2d=a2(1 – 2cos+ cos2)d= a2(– 2sin+1/2(1+cos2)d=
0 0 0 0 0
π π π
=a2(+1/2+(sin2 /4) )=a3–3π/2
0 0 0
Длина дуги кривой.
1. Кривая задана явно.
n
ℓ=Ai-1Ai
i=1
Длинна кривой – это предел длины вписанной ломанной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если этот предел существует, то кривая называется спрямляемой.
Теорема.
y=(x)- непр. Деф-ма на [a,b], т.е. производная тоже не прерывна.
=> AB спрямляема (A(a,f(a), B(f(b))
b
L=∫√1+(f′(x)²dx
a
Док-во:
Ai-1 Ai=√∆xi²-∆yi²=√1+(∆yi/∆xi)² ∆xi=√1+(f(xi)-f(xi-1))/(xi-xi-1) ∆xi =f(xi)-f(xi-1) =
f′(Ci)(xi-xi-1)= √1+(f′(Ci))² ∆xi
n
ℓ=√1+(f′(C i))² ∆xi - интегральная сумма для этой функции.
i=1
Переходя к пределу получаем формулу
b
L=∫√1+(f′(x)²dx
a
например найти длину окружности.
x²+y²=r² →y=√r²-x²,y′= –x/(√r²-x²)
r r r
L=4∫√(1+(x²/(r²-x²))dx=4r∫dx/(√(r²-x²))=4rarcsin(x/r) =4rπ/2=2πr
0 0 0
2. Кривая задана параметрически.
x=x(t) непр. Диф-мы на [t1,t2] x=x(t)→t=t(x)
y=y(t) y=y(t) = y(t(x))=f(x)
t1≤ t ≤ t2 a=x(t1) b=x(t2)
b t2 t2
L=∫√1+(f′(x)²dx=∫ √(1+(y′(t)/x′(t))² x′(t)dt=∫ √( x′(t))²+ (y′(t))²dt;
a t1 t1
x=x(t); dv=x′(t)dt ; f′(x)=y′x =y′(t)/x′(t);
t2
L=∫√( x′(t))²+ (y′(t))²dt;
t1
t2
L=∫√( x′(t))²+ (y′(t))²dt;
t1
L=∫√( x′)²+ (y′)²dt=√(dx²+dy²)=ds – диф-ал дуги – длина элементарных участков дуги
Например
Найти длину дуги x=acos³t
y=a sin³t
π/2
L=4∫√((a cos³t)′)²+((a sin³t)′)²dt=
0
π/2 π/2
= –4∫√(3a cos²t sint)²+(3asin²t cost)²)dt=12a∫√(cos4t sin²t+sin4 cos²t)dt=
0
π/2 π/2 π/2
=12a∫ cost sint dt=6a∫sin2t dt= –3a cos2t | =6a
0 0 0
3. Кривая задана в полярных координатах.
x=rcosφr=r(φ)x=r(φ)cosφ
y=rsinφy=r(φ)sinφα≤φ≤β
β
L=∫ √( x′)²- (y′)²dφ
a
x′=r′ cosφ – r sinφ
y′= r′ sinφ+r cosφ
( x′)²+(y′)²=(r′ cosφ – r sinφ)²+(r′ sinφ+r cosφ)²=(r′)²+r²
β
L=∫ √(r′(φ))²+(r(φ))²dφ
a
r=a(1-cosφ)
например
π π π
L=2∫√a² sin²φ+a²(1-cos²φ)²dφ=2a∫√ (sin²φ+1-2cosφ+cos²φ) dφ=2a∫√(2(1-cosφ))dφ=
0 0 0
π π
=4a∫ sin(φ/2)dφ= -8a cos(φ/2) = 8a
0
ОБЪЁМ ТЕЛА
1. Объём тела при известной площади поперечного сечения
Vступ =
За объем тела принимается предел, к которому стремится объём ступенчатого тела.
V =
2. Объём тела вращения (вокруг Оx)
y y y y
3. Объём тела вращения (вокруг Оy)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Несобственные интегралы 1 ряда (с бесконечными пределами)
Несобственные интегралы 2 ряда (от разрывных функций)
1)
f(x) определена на [a, ]
2. f(x) определена на [a, b],
, p>0
p>1
0<p<1 …………………………………………….=
P=1
0<p<1 сх.
p>1…………………………………………….=(расх.)
p=1
Теоремы сравнения
Т.1
F(x), g(x)- непр. на [0, ]
сх.
=> сх. причём,
Т.1|
F(x), g(x)- непр. на [a, b]
сх. => сх. причём,
Теорема об абсолютной сходимости
Т.2
F(x)- непр. на [a, ]
сх.
=> сх. причём
Т.2|
F(x)- непр. на [a, b]
сх.
=> сх., причём
сх. => сх. => сх.
сх.
расх.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
f(x, y) определена в D
Mi(xi, yi) Di
Di=
D=S
так, чтобы max diam Di0
Предел не зависит от разбиения.
Т. F(x, y) непрерывна в D => f(x, y) интегрируема в D.
Свойства ч-ного интеграла:
1. (Линейность)
2. (Аддитивность)
D=D1D2
3. f(x, y)g(x, y) =>
3.1 mf(x, y)M
3.2 f(x, y)0 =>
4. f(x, y)>0 => (S>0)
5.
6. (Теорема о среднем)
F(x, y) непрерывна в D.
=> P(x0, y0) D
Доказательство
m- наим. f(x, y) в D
M- наиб. f(x, y) в D
m f(x, y) M =>
mS
m
p D | f(p)=
F(p)=