- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Изоморфизм линейных пространств
Говорят, что между элементами двух множеств и установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , при чем каждый элемент оказывается сопоставленным одному и только одному элементу . Взаимно однозначное соответствие будем обозначать , а соответствующие элементы: .
Два линейных пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:
1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства
2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства
Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.
Замечания 8.6
1. При изоморфизме линейных пространств и
– их нулевые элементы соответствуют друг другу ;
– противоположные элементы соответствуют друг другу.
Это следует из определения, если в условии 2 положить или .
2. Линейной комбинации векторов пространства соответствует линейная комбинация соответствующих векторов пространства .
3. Линейно независимой (линейно зависимой) системе векторов пространства соответствует линейно независимая (линейно зависимая) система векторов пространства . Действительно, из пунктов 1,2 следует, что равенства и равносильны. Если не все коэффициенты равны нулю, то обе системы и линейно зависимы, в противном случае, обе системы линейно независимы.
4. Любое n-мерное линейное вещественное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству , а л -мерное комплексное пространство изоморфно .
Это следует из пункта 4 замечаний 8.5, где установлено взаимно однозначное соответствие между векторами и координатными столбцами. Линейные операции с векторами в координатной форме показывают, что это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом.
5. Если пространство изоморфно пространству , а изоморфно пространству , то пространства и также изоморфны.
В самом деле, имея взаимно однозначные соответствия и , поставим в соответствие вектору такой вектор , что . Такое "сквозное" соответствие будет взаимно однозначным, сохраняющим линейные операции.
Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.
Действительно, если пространства изоморфны , то базису пространства соответствует линейно независимая система векторов пространства (см. пункт 3 замечаний 8.6), которую в случае необходимости можно дополнить до базиса пространства (см. теорему 8.2). Следовательно, . Аналогично получаем противоположное неравенство . Таким образом, (необходимость доказана). Достаточность следует из пунктов 4,5 замечаний 8.6. Действительно, пусть пространства и определены над полем и . Тогда, выбрав любые базисы в пространствах и , установим изоморфизмы и , если и — вещественные пространства. Если пространства и определены над полем комплексных чисел, то и . В обоих случаях, согласно пункту 5 замечаний 8.6, пространства и изоморфны. Теорема доказана.
Следствие. Изучение конечномерных линейных пространств сводится к изучению арифметических пространств той же размерности.
Матриця переходу від старого базису до нового базису. Координатні стовпці вектора в двох базисах.
Пусть векторы , ... , образуют базис пространства V, а векторы , , ... , - другой базис этого пространства. Каждый вектор разлагается по базису , ... , . Запишем эти разложения в виде системы равенств
= + + ... + ,
= + + ... + ,
............................................
= + + ... + (2)
или, кратко,
=
(суммирование по первому индексу коэффициентов ).
Коэффициенты разложений (2) образуют матрицу T перехода от базиса , ... , к базису , , ... , .
Столбец с номером k матрицы Т состоит из координат базисного вектора в базисе e.
Рассмотрим матрицы e = (, ... , ) и f = ( , , ... , ) размерности 1×n, матричными элементами которых являются старые или новые базисные векторы. Тогда соотношения (2) можно записать с помощью произведения матрицe и T в виде
f = e T (3)
Матрица Т невырождена, и обратная к ней матрица является матрицей перехода от нового базиса f к старому базису e:
e = f
Рассмотрим произвольный вектор v и его разложения по старому и новому базисам
v = , v = (4)
Подставляя в правую часть второго из соотношений (4) выражения (2), а в левую часть первое из разложений (4) и приравнивая коэффициенты при базисных векторах , приходим к следующему выражению координат α через координаты β:
= (5)
Введем матрицу α размерности n×1, матричными элементами которой являются координаты вектора v в старом базисе
и аналогичную матрицу координат β. Тогда формула (5) может быть записана в виде произведения матриц:
α = T β
Підпростори, сума та перетин підпросторів. Теорема Грасмана.