- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Формулы для многочленов и операции над многочленами
Напомним какое выражение называется многочленом.
Одночленом степени (здесь ) называется следующее выражение
где -- коэффициент, - переменная.
Многочленом - ой степени (здесь ) с вещественными коэффициентами называется следующее выражение:
здесь - переменная. Можно сказать, что многочлен - это линейная комбинация одночленнов разных степеней.
Операции над многочленами:
Пусть два многочлена степени и соответственно, т.е.
предположим, что .
Сумма и разность многочленов: .
Суммой и разностью многочленов и называется следующий многочлен:
Степень полученного многочлена не превосходит максимальной степени многочленов и .
Умножение на одночлен: .
Умножим одночлен на многочлен :
т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.
Умножение многочленов: .
Умножим многочлен на :
В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени и получается многочлен степени . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Деление многочленов: .
Разделим многочлен на , т.е. представим выражение в следующем виде:
где -- частное от деления, -- делимое, -- делитель, -- остаток.
При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство
Существует много способов поиска таких многочленов. В основном используются школьные способы, а именно, деление "уголком" ("столбиком") и метод неопределенных коэффициентов (будут рассмотрены ниже).
2. Деление с остатком. Теорема Безу
Деление с остатком
Определение.Пустьи—многочлены,. Будем говорить, чтоподелен нас остатком, еслипредставлен в виде, гдеи— многочлены, причем.
Полином называется остатком от деленияна,— неполным частным.
Пример..
.
Теорема.(о делении с остатком). Пустьи— полиномы над полем,. Тогда существуют единственные многочленыинад полемтакие, чтои.
Доказательство.Существование.
Пусть .Положим.
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома (фиксируем). Среди всех многочленов, для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его:
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочленеравен. Следовательно,. Значит, для многочленатеорема верна. Существуют такиеи, что. Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит,,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.
Теорема Безу
Теорема.Остаток от деления многочленана многочленравен.
Доказательство.Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть— остаток.
Это равенство верно при любых значениях .Положим:
Задачи.
1. Проверьте, выполняются ли условия:
1) делится на;
2)делится на.
2.Докажите, что
делится на .
3.Найдите значения параметрови, при которых
делится на .
4.Найдите все значения параметрови, такие, что остаток от деления
на равен.
5.Найдите все натуральные, такие, что
делится на .
6.Известно, что остаток от деления полиноманаравен 2, от делениянаравен 1. Найдите остаток от деленияна.
7.Найдите остаток от деления многочленана.
8.Полиномс целыми коэффициентами принимает значение 5 в пяти различных целых точках. Может ли он иметь целый корень?
Комментарии(RSS) |Трекбек
Відношення подільності. Схема Горнера.
Схема Горнера.
Схема Горнера– это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для
частного случая, если частное равно двучлену .
Построим этот алгоритм:
Предположим, что - делимое
- частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше),
r- остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен1-ойстепени, то степень остатка будет на
единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).
По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x–a) + r. После подстановки выражений многочленов
получаем:
Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем
коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:
Удобно вычисления сводить в такую таблицу:
В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.
Схема Горнера примеры:
Пусть надо поделить многочлен на двучленx–2.
Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во
второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь
переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент,
умножаем последний найденный на а=2и складываем с соответствующим коэффициентом
многочлена F(x). Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие – коэффициентами
неполного частного.
Найбільший спільний дільник (НСД). Алгоритм Евкліда.