Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц

Пусть и — квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда

(2.6)

т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Доказательство теоремы проводится в три этапа. Во-первых, теорема справедлива, если один из сомножителей имеет простейший вид (см. рис. 1.6). Пусть, например, матрица квадратная л-го порядка имеет простейший вид: . Если , то в произведении последние строк будут нулевыми. Тогда по свойствам 1,2 определителей: и , т.е. равенство (2.6) верно. Если же , то — единичная матрица. Тогда

т.е. равенство (2.6) справедливо. Аналогично рассматривается случай, когда матрица имеет простейший вид.

Второй этап — доказательство формулы (2.6) для элементарных матриц. Если матрица элементарная вида (1.1), (1.3) или (1.5), то ее определитель равен или 1 соответственно, а произведение есть элементарное преобразование столбцов матрицы . По свойствам 1, 3, 6 или 9 определителей убеждаемся в справедливости (2.6). Аналогично рассматривается случай, когда матрица элементарная вида (1.2), (1.4), (1.6).

Третий этап — доказательство формулы (2.6) для произвольных квадратных матриц n-го порядка. По теореме 1.2 любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения простейшей (она является элементарной) и элементарных преобразующих матриц:

 и .

Тогда, используя результат первых двух этапов, можно записать

что и требовалось доказать.

21. Обернена матриця. Невироджені матриці, критерій невиродженості матриць.

Обратная матрица

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Определение

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка.

Замечание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°    

2°    

3°    

4°    

Критерий невырожденности в 17 вопросе.

22. Матричні рівняння.

Матричные уравнения

Рассмотрим матричное уравнение вида

(4.5)

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.5).

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение .

В самом деле, подставляя в левую часть равенства (4.5), получаем , т.е. правую часть этого равенства.

Заметим, что решением матричного уравнения служит обратная матрица .

Рассмотрим также матричное уравнение вида

(4.6)

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение .

Заметим, что матрица является как бы "левым" частным от "деления" матрицы на матрицу , поскольку матрица в (4.5) умножается на слева, а матрица — "правым" частным, так как матрица в (4.6) умножается на справа.

23. Системи т лінійних рівнянь з п невідомими. Сумісність, визначеність, невизначеність системи лінійних рівнянь. Метод Гауса.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных  x₁ , x₂ , ..., x_n :

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x₁=x'₁ , x₂ =x'₂ , ..., x_n=x'_n ,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрицасистемы:

 .

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а  с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобыопределитель матрицы системы был равен нулю.

 

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

 

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем  r=rg(A)  или r=Rg(A).

Справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

 

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

 

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.  Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровноn-r линейно независимых решений.  Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0  меньше числа неизвестных n и векторы e₁ , e₂ , ..., e_n-r  образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ +  ... + c_n-r e_n-r ,

где c₁ , c₂ , ..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему   — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

Пусть

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

.

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения для переменных x₁ , x₂ , ..., x_r через x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n . Переменные  x₁ , x₂ , ..., x_r  называют базисными переменными, а переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n — свободными переменными.

Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы

которые определяют общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

 

ПРИМЕР 3.  Исследование однородной системы на совместность методом Гаусса.

24. Теорема Кронекера-Капелі.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~~

~.

Таким образом, матрица  содержит две ненулевые строки, значит ее ранг  равен двум. В матрице  три ненулевых строки, ее ранг  равен трем. А т.к. , система несовместна.

25. Система лінійних однорідних рівнянь. Теорема про підпростір розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь, його розмір. Фундаментальні розв’язки.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестныминазывается система вида

м п п н п п о	a11x1+a12x2+ … +a1nxn= 0 a21x1+a22x2+ … +a2nxn= 0 … … … … … … … … … … … am1x1+am2x2+ … +amnxn= 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A·X=O

и операторного уравнения

^Ax= θ

(2)

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x₁⁰=x₂⁰=   …   =x_n⁰= 0 , которое называетсянулевым, илитривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

3. θ О Img ^A, так как Img ^A— линейное пространство.

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A ).

Это определение можно сформулировать несколько иначе:

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется n − r линейно независимых решений этой системы.

Будем обозначать координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A    X₁,  X₂,   … ,  X_n − r .

26. Теорема про структуру загального розв’язку неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X=C1·X1+C2·X2+ … +Cn − r·Xn − r,

(3)

где X₁,  X₂,   … ,  X_n − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C₁,  C₂,   … ,  C_n − r — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C₁,  C₂,   … ,  C_n − r    X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X₀ , существуют числа C₁⁰,   … ,  C_n − r⁰ такие, что

X₀=C₁⁰·X₁+C₂⁰·X₂+ … +C_n − r⁰·X_n − r.

Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.

27. Визначення комплексного числа. Алгебраїчна форма комплексних чисел, дії над ними.