- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i= )
или j- го столбца
d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + an j An j (j = ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Формула вычисления определителя третьего порядка.
Для облегчения запоминания этой формулы:
Мінори та алгебраїчні доповнення.Минором Mi j элемента ai j определителя d n-гопорядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
Визначник діагонального, трикутного та ступінчатого виду. Обчислення визначників спеціального виду.
Треугольные матрицы
Определение
Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.
Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.
Приведение определителя к треугольному виду.
Некоторые определители удобно вычислять, используя метод приведения к треугольному виду. А, как известно, определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.
.
Решение.Легко увидеть, что в этом определителе сумма элементов каждой строки (столбца) одна и та же. Следовательно, прибавляя все строки определителя к первой, получим
.
Вынесем общий множитель элементов первой строки за знак определителя. Имеем:
.
Из каждой строки, начиная со второй, вычтем первую. Мы получили определитель треугольного вида: