Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

 

Расстояние от точки до прямой

 

Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

 (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

 

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k ₁ = -3; k ₂ = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k ₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение. Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0; 

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

54. Криві та поверхні другого порядку. Канонічні рівняння кривих другого порядку (еліпс, коло, гіпербола, парабола). Їх властивості.

Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.

 

Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты

которых удовлетворяют уравнению вида:

 

 

в котором, по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ не равен нулю.

 

 

Инварианты кривых второго порядка.

 

Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:

 

- инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

 

 

- инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

 

 

Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.

 

Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:

 

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

 

- Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое

уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого

эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);

 

- Если А*С < 0, то уравнение принимает вид уравнения гиперболического типа. Любое гиперболическое

уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);

 

- Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют

уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных

(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;

 

- Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;

 

Таким образом, виды кривых второго порядка:

 

- Эллипс;

- Окружность;

- Гипербола;

- Парабола.

 

Канонический вид уравнений второго порядка.

 

 Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному

каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты

Δ, D, I и корни характеристического уравнения .

 

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые (Δ ≠ 0)
Эллипс
Гипербола
Парабола
Вырожденные кривые (Δ = 0)
Точка
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Одна прямая

 

 

Для центральной кривой в каноническом виде её центр (x₀, y₀) находится в начале координат.

Типові практичні завдання.

1. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь за методом Гауса

2. Обчислити комплексні корені: .

3. Знайти ГМТ: .

4. З’ясувати, чи є вектор лінійною комбінацією векторів?

.

5. Знайти ранг системи векторів, базу та подати решту векторів у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї бази ,.

6. Обчислити визначник: .

7. Обчислити значення многочлена від матриці.

Просто заменить Х на матрицу со всеми вытекающими

8. Знайти обернену матрицю до матриці .

9. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь та фундаментальну систему розв’язків відповідної однорідної СЛР.

.

10. Знайти ранг матриці в залежності від значення параметру .

.

11. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.

12. Визначити кратність кореня многочлена .

13. Відділити кратні корені многочлена

14. Побудувати многочлен найменшого степеня, який має корінь (-1) кратності 2; корені 3, 2-i,I- прості, якщо коефіцієнти цього многочлена – дійсні, комплексні.

15. Найти базисы суммы и пересечения подпространств та.

16. Доказать, что многочлены создают базис простору, если.

17. Доказать, что каждая из двух систем векторов создает базис, и построить матрицу перехода к базису Е к Е´, где

Е: ,,; Е´:,,.

18. Рассмотрим плоскость .

- Найти расстояние от к плоскости;

- Составить уравнение плоскости, которая проходит через А параллельно плоскости.

19. Известны координаты вершин тетраэдра . - Вычислить объем тетраэдра - Составить общее уравнениеодной грани и каноническое уравнение одного ребра тетраэдра. - Вычислить площадь АВС.