1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

С каждым комплексным числом на плоскости связывается точка с координатами. Положение этой точки однозначно определяется расстоянием от начала координати угломмежду положительным направлением вещественной оси и лучем, проведенным из начала координат в эту точку. Если угол отсчитывается в положительном направлении, то ему приписывается знак «+», а в противном случае знак «-». Комплексное число 0=0+0iоднозначно определяется расстоянием (равным 0) от начала координат, а потому ему значение угла не приписывается. Числоназываетсямодулем комплексного числа, а указанный выше уголназываетсяаргументом и обозначается. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного.

Из рисунка видно, что . Так что мы имеем следующий вид тригонометрической формы комплексного числа

.

А число, комплексно сопряженное к z,имеет такую тригонометрическую форму. Теперь, используя формулы для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов, получаем

При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем можно воспользоваться следующей формулой, которая называется формулой Муавра.

.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме очень полезно изобразить соответствующую этому числу точку (это избавит вас от ошибки в определении аргумента числа).  

При решении задач часто используется следующий результат.

где .

Приведем примеры решения некоторых задач.

30. Формула Муавра.

еорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа  имеет место следующее равенство:

             .                     (1)

   Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть  – натуральное число. Так как комплексное число  имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть , где  – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и вполе комплексных чисел, имеем:

.

   Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть . Тогда 

               .

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

             .                (2)

   Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

 

, ч.т.д.

Пример 1. Запишите комплексные числа  и  в тригонометрической форме и найдите их произведение  и частное .

Решение. 1) Комплексное число  на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому

, .

2) Комплексное число  на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

, .

3) 

.

Ответ: , .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Комплексное число  на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому , 

Применим формулу Муавра:

.

31. Корені п-ого степеня з комплексного числа, корні з одиниці.

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть  и . Корнем n-й степени из комплексногочисла z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степенииз комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                 ,                (3)

где ,  – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

   Доказательство. Обозначим

                                                       (4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что всеэлементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексногочисла z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексногочисла z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра 

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где  и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрическойформе записи следует, что равны их аргументы.

   Но, аргумент числа  может отличаться от числа  на числократное числу  (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что  и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к.  и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней вмножестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число  является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства  и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .

   Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда

 и

. Таким образом,корень  является корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Запишем число  в тригонометрической форме записи: . Тогда

, где

, .

Ответ: , где

,

,

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где ,.

Заметим, что

                    .                        (5)

   Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

   Так как модульу всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от началакоординатна одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими наокружностирадиусас центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, чтоуголмеждутакимидвумясоседнимиточкамиодинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются наокружностиравномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.

                                       рис.1.

При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется кореньпроставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

Пример. Изобразить все корни на комплексной плоскости.

Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса с центром в началекоординати отмечаем на ней точки полярныйуголкоторых равен:

              , ,.

   Соединим построенные точки отрезками прямыхи получаем правильный треугольник.

прямоугольная выноска: " height="64" width="83">               

                                        рис.2.

п.5. Корни из единицы.

   Пусть – натуральное число. По формуле корней изкомплексногочисла, существует ровно n корней изкомплексногочисла. Для вычисления этих корней запишем единицу втригонометрическойформе:

, т.е. ,.

   Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:

                   ,                               (6)

              ,  .            (7)

В частности,  ,

                          .                                  (8)

Заметим, что верна формула:

                                     .                                          (9)

Действительно, равенство(9) сразу же получается по формуле Муавра:

.

Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так:

                               (10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

   Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество замкнуто относительно умножения. Пусть– два произвольных корня из 1, т.е.. Найдем их произведение:

                                        .

Замечаем, что

           .         (11)

Отсюда следует, что , если. В противном случае,. Обозначим черези. Тогда

             , ч.т.д.

   Таким образом, на множествеопределена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна вполекомплексныхчисел, то она ассоциативна и коммутативна и намножестве. Далее,. Покажем, что любой элемент изимеет обратный элемент также принадлежащий множеству:

                         .

Действительно, по условию . Тогда

, т.е. .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы .

Решение. Обозначим  для простоты

. Тогда, где.

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

                      

Изобразим все корни третьей степенииз 1 на комплексной плоскости. Т.к. ихмодульравен 1, то все они лежат натригонометрической(т.е. единичной) окружности:

                

                                  рис.3.

   Здесь, ,.

32. Многочлени. Дії над многочленами, теорема про ділення з остачею.