Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

15.8. Обобщения БРСТ симметрии

53

∏Àδ(fA)) *. Постоянная Ω есть объем калибровочной группы, а по-

стоянная С определяется, как и в (15.5.19), интегралом

C ≡ z [df]B[ f] .

(15.8.3)

Как мы видели, значение равенства (15.8.3) в калибровочных теориях заключается в утверждении, что интеграл в правой части не зависит от выбора фиксирующих калибровку функционалов fA, а зависимость от B[f] содержится только в константе C. Если удается придать какой-то смысл обычно бесконечному групповому объему Ω, как в калибровочных теориях на конечной пространственно-

временной решетке, равенство (15.8.2) может иметь ценность как формула, определяющая интеграл в левой части.

Для определения нильпотентного БРСТ-преобразования мы должны сначала представить функционал B[f] в виде фурье-интег- рала

B[f] = z [dh] exp(ihA fA )B[h],

(15.8.4)

ãäå [dh] = ∏AdhA. Кроме того, детерминант можно записать как интеграл по фермионным с-числовым полям ** ω*A è ωA:

Det(δA fB [ϕ]) z [dω* ][dω] expdiω*BωAδA fB i ,		(15.8.5)
ãäå [dω*] ≡ ∏ dω*A	è [dω] ≡ ∏ dωA и, как обычно, знак означает
A	A

пропорциональность с точностью до независящих от поля множите-

*Мы используем те же буквы А, В, и т. д., для обозначения функций fA

èкалибровочных вариаций δA. Это делается для того, чтобы подчеркнуть,

что должно существовать столько же фиксирующих калибровку функционалов, сколько существует независимых калибровочных преобразований. Однако в некоторых случаях, например, в теории струн, естественно использовать фиксирующие калибровку функционалы fa, индекс a которых

пробегает «столько же» значений, что и индекс А в калибровочной вариа-

öèè δA, но сами значения этих индексов совершенно различны. Излагае-

мый формализм не требует никаких изменений до тех пор, пока мы можем

определить fA = cAafa, где матрица сÀà не зависит от поля и несингулярна. ** В теориях струн и ряде других принято обозначать поля гостов ω*A è

ωA êàê bA (èëè bA) è ñA, соответственно.

54	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

лей. Подставляя эти выражения в (15.8.2), получаем общую формулу для функционального интеграла в фиксированной калибровке:

z [dϕ]expbiI[ϕ]gB f[ϕ]Det(δA fB [ϕ])V[ϕ]

µ z [dj][dh][dw* ][dw] exp diINEW [j, h, w, w* ]iB[h]V[j], (15.8.6)

ãäå INEW — новое полное действие

I	NEW	[ϕ, h, ω, ω* ] = I[ϕ] + hA f [ϕ] + ω*Bω Aδ	f [ϕ] .	(15.8.7)
		A	A B

Как отмечалось в разделе 15.6, введение полей гостов можно представлять как компенсацию за то, что мы интегрируем по всем jr, включая те, которые отличаются только калибровочными пре-

образованиями (15.8.1). Поскольку госты являются фермионами, петли, образованные линиями гостов, вносят дополнительный знак «минус», что позволяет таким петлям компенсировать вклады от интегрирования по калибровочно эквивалентным полям j. Однако, для того, чтобы такой механизм работал, число духовых полей wA

должно совпадать с числом независимых калибровочных преобразований. Иными словами, поскольку wA независимы, все калибро-

вочные преобразования (15.8.1) также должны быть независимы. Именно так обстоит дело для калибровочных преобразований в теории Янга–Миллса и преобразований координат в общей теории относительности, но может быть и иначе. Классическим примером теории с зависимыми калибровочными преобразованиями является описанная в разделе 8.8 теория калибровочных полей, представляющих собой р-формы. Такая р-форма А (антисимметричный тензор ранга р) подвергается калибровочному преобразованию A ® A + dj, ãäå j есть (р-1)-форма, а dj — ее внешняя (антисимметризованная)

производная. Так как d — нильпотентный оператор, то для р ³ 2 можно сдвинуть j на величину dj без изменения калибровоч-

ного преобразования, так что имеется определенного вида инвариантность самих калибровочных преобразований относительно калибровочных преобразований, у которых параметрами преобразования являются (р-2)-формы y. В таких случаях, чтобы компен-

сировать введение слишком большого количества гостов, нужно также вводить «госты для гостов» 15. Ïðè ð ³ 3 требуется дальнейшая

компенсация путем введения «гостов для гостов для гостов» и т. д.

15.8. Обобщения БРСТ симметрии

55

Ниже мы предположим, что все калибровочные преобразования (15.8.1) независимы, так что достаточно иметь только поля гостов ωA (и антигостов ω*A).

Хотя первоначальная симметрия устранилась за счет включе- ния калибровочно неинвариантного функционала B[f], новое полное действие обладает точной симметрией относительно инфинитезимальных БРСТ преобразований

χ → χ + θsχ ,

(15.8.8)

ãäå χ — любое из полей ϕr, ωA, ωÀ* èëè hA, θ — инфинитезимальное

антикоммутирующее с-число, а s — оператор Славнова:

s = ω

A

δAϕ

r δL

−

1

ω

B

ω

C

f

A

δL

− h

A δL

.

(15.8.9)

δϕr

2

BC

δωA

*

δω

A

Нижний индекс L в (15.8.9) означает левое дифференцирование, определенное так, что если δF = δχG, òî δLF/δχ = G, à fABC —

структурные константы *, возникающие в коммутационном соотношении

[δ	B	, δ	C	] =	fABCδ	A	.	(15.8.10)

В неабелевых калибровочных теориях и в теориях струн константы fABC не зависят от поля, однако формализм БРСТ не ограничивается этим случаем. Прямое вычисление показывает, что

	1			L			δL (δBϕ	r	)
s2 =		ω Aω B Mδ				ϕs
					A		δϕs
2				N
			1			L
	−			ω BωCω D MfEBC fADE
		2				N

	δ	L	(δ	A	ϕr )		O	δ	L
− δBϕs						− fCABδC	ϕr P
			δϕs					δϕr
							Q

+ δDϕr	δ	L	fABC O		δ	L		(15.8.11)
				P			.
		δϕr		Q	δωA

Отсюда, условие нильпотентности БРСТ преобразования эквивалентно коммутационному соотношению (15.8.10) и условию совместности

* Например, для калибровочного преобразования, действующего на поле

материи ψ(x), имеем: δβγψ(x) = itβψ(x)δ4(x – y) è δβγδγzψ(x) = –tγtβψ(x)δ4(x –y) δ4(x – z). Отсюда в данном случае получаем fαxβyγz = Cαβγ δ4(x – y)δ4(x – z).

56	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	fE[BCfAD]E + δ[Dϕr dδL fABC] / δϕr i = 0,	(15.8.12)

где скобки в нижних индексах обозначают антисимметризацию по отношению к взятым в скобки индексам B, C и D. Формула (15.8.12) может быть выведена из коммутационного соотношения (15.8.10) тем же способом, что и обычное тождество Якоби, и заменяет это тождество в случае симметрий с зависящими от поля структурными константами.

Чтобы показать, что преобразование (15.8.8) является симметрией INEW, заметим (вспоминая, что θ антикоммутирует с ω*A), ÷òî

(15.8.7) можно переписать в виде

INEW [ϕ, h, ω, ω* ] = I[ϕ] − sdω*A fA i .

(15.8.13)

Слагаемое I[ϕ] БРСТ-инвариантно, так как на полях ϕr ÁÐÑÒ ïðå-

образование является простым калибровочным преобразованием (15.8.1), в котором произведена замена εA íà θωA, и которое коммутирует со всеми ϕr. Слагаемое s(ω*AfA) БРСТ инвариантно, так как

БРСТ преобразования нильпотентны.

По ряду причин нам потребуется рассмотрение более широкого класса действий, чем те, которые могут быть построены методом Фаддеева−Попова−де Витта. Этот класс определяется требовани-

ем, что действие инвариантно относительно БРСТ преобразования (15.8.8). В качестве шага к тому, чтобы продемонстрировать, что такое действие приводит к физически значимым результатам, докажем сейчас общее утверждение (уже использовавшееся в предыдущем разделе), что наиболее общий БРСТ-инвариантный функционал с гостовским числом нуль есть сумма функционалов от одного поля ϕ и дополнительного слагаемого, получающегося действием БРСТ оператора s на произвольный функционал Ψ ñ ãîñ-

товским числом –1:

I	NEW	[ϕ, h, ω, ω* ] = I	[ϕ] + sΨ[ϕ, h, ω, ω* ] .	(16.8.14)
		0

Например, таким является действие Фаддеева−Попова−де Витта

(15.8.13). Коротко говоря, БРСТ когомология состоит из калибровоч- но инвариантных функционалов I[ϕ] только от полей ϕr.

Чтобы доказать формулу (15.8.14), заметим, что БРСТ преобразование (15.8.8)–(15.8.9) не изменяет полного числа полей hA è ω*A.

15.8. Обобщения БРСТ симметрии

57

Поэтому, если разложить I в ряд слагаемых IN, содержащих суммарное число N полей hA è ω*A, то в sI не может быть никаких

сокращений между слагаемыми с разными N, следовательно, каждое слагаемое должно быть по-отдельности БРСТ инвариантно:

sIN = 0 .

(15.8.15)

Введем теперь так называемый оператор Ходжа:

t ≡ ω*A	δ		(15.8.16)
		,
	δhA

Можно непосредственно проверить справедливость антикоммутационного соотношения

{s, t} = −ω*A	δL	− hA	δ	.	(15.8.17)
	δω*A
			δhA

Применяя к IN оператор {s,t} и используя (15.8.15), находим:

stIN = −NIN ,

(15.8.18)

так что каждое IN, за исключением I0, является БРСТ точным в том смысле, что может быть записано как оператор s, действующий на другой функционал. Полный функционал I можно поэтому записать в виде I0 + sΨ, ãäå

∞
Ψ = − å	tIN	.	(15.8.19)
N =1 N

Слагаемое I0, по определению, не зависит от ω*A è hA, à òàê êàê

мы предположили, что у него нулевое гостовское число, это слагаемое должно быть независимым и от ωA, что и требовалось дока-

çàòü.

Чтобы показать инвариантность физических матричных элементов относительно изменений в определении фиксирующего калибровку функционала Y, определим фермионный «заряд» Q так, что изменение любого оператора F относительно БРСТ преобразования равно

58	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	dθF = i		qQ, F		= iq		Q, F		m ,	(15.8.20)
										= xy m yx ñîîò-
где верхний или нижний знак в выражении [x, y]m

ветствует бозонному или фермионному оператору. Как и в предыдущем разделе, из нильпотентности БРСТ преобразования вытекает, что Q2 = 0. Матричные элементы калибровочно инвариантных операторов между физическими состояниями не зависят от выбора Y, если и только если физические состояния |añ è áb| удовлет-

воряют условиям

| añ = áb|		= 0 ,	(15.8.21)
Q	Q

так что физически различимые физические состояния вновь находятся в одно-однозначном соответствии с элементами когомологии заряда Q. Поэтому общее БРСТ-инвариантное действие (15.8.3) будет приводить к физически значимым результатам для любого фиксирующего калибровку функционала Y, если мы можем найти ка- кой-нибудь функционал Y, вроде аксиальной калибровки в теориях

Янга–Миллса, приводящий к калибровке, в которой госты не взаимодействуют с другими полями. Если свободный от гостов выбор Y

неудобен для реальных вычислений, как, скажем, неудобна аксиальная калибровка из-за того, что она нарушает лоренц-инвариан- тность, можно выбрать любой нравящийся нам фиксирующий калибровку функционал Y и при этом быть уверенным, что унитарная

S-матрица не будет содержать гостов в начальном или конечном состояниях.

Описанный подход хорошо работает в теориях струн, где так называемое квантование на световом конусе заменяет аксиальную калибровку. Однако в других теориях, вроде общей теории относительности, не существует способа выбора координатной системы, в которой госты отщепляются. В таких теориях можно действовать с помощью метода квантования БРСТ, описанного в конце предыдущего раздела, используя БРСТ-инвариантность для доказательства того, что в физическом свободном от гостов гильбертовом пространстве S-матрица унитарна.

Открытие 17 инвариантности относительно антиБРСТ симметрии 18 показало, что несмотря на внешние различия, существует аналогия между ролями wA è w*A, остающаяся пока что несколько

загадочной.

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

59

15.9.Формализм Баталина–Вилковыского*

Âэтом разделе будет описан мощный формализм, широко известный под названием метода Баталина–Вилковыского 19. Этот метод был развит в рамках лагранжевого подхода, но уходит корнями

âболее ранний формализм Баталина–Фрадкина–Вилковыского 20, развитого в рамках гамильтонового подхода. (Было доказано, что обе схемы эквивалентны в рамках теории возмущений 21.) Как мы увидим в разделе 17.1, та же формальная технология рассматривалась еще раньше Зинн-Жюстеном 22 для того, чтобы разобраться с перенормировкой калибровочных теорий. Существуют по меньшей мере три области, где формализм доказал свою ценность.‡‡†‡

1.До сих пор мы рассматривали только неприводимые симметрии, алгебра которых замкнута в смысле формулы (15.8.10). В ряде теорий, например, в супергравитации (без вспомогательных полей)23, алгебра открыта. Она замыкается только в случае, когда

удовлетворяются уравнения поля, так что в (15.8.10) возникают слагаемые, пропорциональные δI/δχn. Аналогичные слагаемые появля-

ются тогда и в условиях совместности (15.8.12). Тогда из формулы (15.8.11) следует, что s2 в таких теориях не обращается в нуль, а равно линейной комбинации производных δI/δχn. Как мы увидим в

данном разделе, метод Баталина–Вилковыского позволяет рассматривать очень общие калибровочные теории, включая теории с открытыми или приводимыми алгебрами калибровочной симметрии.

2.Как упоминалось выше, существенные черты формализма Баталина–Вилковыского первоначально были использованы ЗиннЖюстеном для доказательства перенормируемости калибровочных теорий. Критический пункт, который поясняется в разделе 17.1, заключается в том, что хотя сумма всех одночастично неприводимых диаграмм в фоновом поле не удовлетворяет БРСТ симметриям исходного действия, она сохраняет одно из ключевых свойств действия, известное под названием мастер-уравнения.

3.Метод Баталина–Вилковыского является удобным для анализа возможных нарушений симметрий действия за счет квантовых эффектов. Он использован для этой цели в разделе 22.6.

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

60	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Исходным пунктом формализма Баталина–Вилковицкого является введение так называемых «антиполей» для каждого поля в теории. Пусть χn включает все поля ϕr, ωA, ω*A è ηA. Для каждого χn введем внешнее антиполе * χ‡n с той же бозеили ферми-статисти-

кой и противоположным гостовским числом, что‡ и у БРСТ-преоб- разованного поля sχn. Иначе говоря, статистика χ n противоположна χn, а гостовское число равно –gh(χn) – 1, ãäå gh(χn) — гостовское число поля χn. В простейших случаях, включающих теории Янга–

Миллса и квантовую гравитацию**, исходное калибровочно инвариантное‡ действие I[ϕ] дополняется слагаемым, связывающим антиполя χ n ñ sχn, так что действие принимает вид

S[χ, χ‡] ≡ I[ϕ] + (sχn )χ‡n .							(15.9.1)
Оно удовлетворяет так называемому мастер-уравнению
0 =	δRS δLS
						,	(15.9.2)
	‡			δχ	n
	δχ	n

где R и L обозначают правое и левое дифференцирование. Чтобы убедиться в этом, заметим, что слагаемые в (15.9.2) нулевого порядка по антиполям удовлетворяют условию калибровочной инва-

риантности
0 = (sϕr )	δ	I	= ω AδAI[ϕ] ,
		L		(15.9.3)
		r
	δϕ

а слагаемые, линейные по антиполям , обеспечивают выполнение условия нильпотентности

0	= (sχm)	δL (sχn )	= s2χn .	(15.9.4)
		δχm

* Символ ‡ используется здесь вместо более привычного * для того, чтобы подчеркнуть, что он не имеет никакого отношения к символу комплексного или зарядового сопряжения. В частности, антигостовское поле ω*A не то же самое, что антиполе ω‡A ê ïîëþ ωA.

** Имеются в виду так называемые неприводимые теории с замкнутой алгеброй. — Прим. ред.

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

61

Поля являются внешними, и им следует придать подходящие зна- чения, прежде чем использовать S[χ,χ‡] для вычисления S-матри-

цы. Для этой цели введем произвольный фермионный функционал Ψ[χ] с духовым числом –1 и положим *

	‡	δΨ[χ]
	χ =		.	(15.9.5)
		δχn
	n

Тогда формула (15.9.1) примет вид

Sϕ, δΨδχ = I[ϕ] + (sχn ) δΨ[χ]δχn = I[ϕ] + sΨ[χ] . (15.9.6)

Сравнение с (15.8.14) показывает, что это то же самое, что и действие INEW[χ] с фиксированной калибровкой. Отсюда, используя те

же аргументы, что и в предыдущем разделе, мы видим, что физи- ческие матричные элементы не изменяются в результате малых изменений Ψ. Действие (15.8.7), построенное методом Фаддеева−

Попова−де Витта, соответствует выбору Ψ = –ω*AfA, для которого ϕ‡r = ω*AδfA/δϕr, ω‡C = 0 è ω*‡A = –fA.

До сих пор не возникло ничего нового. Первый новый момент заключается в том, что мастер-уравнение (15.9.2)‡ можно использовать в более общих теориях, считая, что S[χ,χ ] — нелинейный функционал антиполей χ‡n. (Как обсуждалось в предыдущем разде-

ле, для приводимых теорий следует также включить в число полей χn госты для‡ гостов, а также их антиполя.) Как и выше, выберем статистику χ n противоположной статистике χn, а гостовское число этих полей равным –gh(χn) – 1, и потребуем, чтобы S[χ,χ‡] был бозонным оператором с духовым числом нуль. Так как поля ω*A è hA

имеют линейные БРСТ преобразования, они не подвержены тем усложнениям, которые возникают у других полей χn (ñì. â ýòîé

связи раздел 16.4). Поэтому как эти поля, так и их антиполя входят в действие S[χ,χ‡] так же, как и в (15.9.1). Иными словами,

S = S	[ϕ, ω, ϕ‡, ω‡] − hAω*‡,	(15.9.7)
min	A

* Здесь нет нужды различать левое и правое дифференцирование, так как и χn, è δΨ/δχn должны быть бозонными величинами.

62 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

ãäå ϕ‡r, ω‡A è ω*‡A — антиполя к ϕr, ωA è ω*A с духовыми числами – 1, –2 и 0, соответственно, а Smin[ϕ, ω, ϕ‡, ω‡] – некоторый бозон-

ный функционал с духовым числом нуль. Последнее слагаемое в (15.9.7) не влияет на мастер-уравнение, так что само Smin удовлетворяет этому уравнению *.

Так как действие Smin имеет гостовское число нуль, его разложение по степеням антиполей должно иметь вид:

S	= I[ϕ] + ω A fr		[ϕ]ϕ‡ +	1	ω Aω B fCAB[ϕ]ω‡
min		A	r	2			C
	+ 1	ω Aω B frsAB[ϕ]ϕ‡rϕ‡s + ω Aω BωC frDABC [ϕ]ϕ‡rω‡D
	2							(15.9.8)
	+ 1	ω Aω BωCω DfEFABCD[ϕ]ω‡				ω‡	+ L.
	2				E	F

Первое слагаемое в правой части мастер-уравнения (15.9.2) — нулевого порядка по антиполям (следовательно, первого порядка по ωA),

è îíî äàåò

0 = f r	[ϕ]	δI[ϕ]	,	(15.9.9)
A		δϕr

Но это означает, что I[ϕ] инвариантно относительно преобразования

ϕ r → ϕr + εA f r	[ϕ]	(15.9.10)
A

с произвольными инфинитезимальными εA.‡Рассматривая слагаемое в мастер-уравнении, пропорциональное ϕ s справа и ωAωB слева,

находим:

0 = fr

[ϕ]

δfs

[ϕ]

− fr

[ϕ]

δfs

[ϕ]

+ fCAB[ϕ]fs

[ϕ] +

δI[ϕ]

[ϕ] ,

B

A

frs

(15.9.11)

A

δϕr

B

δϕr

C

δϕr

AB

После того, как выполнены уравнения поля δI/δϕ = 0, это выраже-

ние становится коммутационным соотношением для преобразования (15.9.10) (со структурными константами fCAB[ϕ]). Åùå îäíî ëè-

*Ïîëÿ ϕr, ωA, ϕ‡r, ω‡A иногда называют минимальными переменными,

àïîëÿ òèïà ω*A è hA, которые вместе со своими антиполями входят били-

нейно, как в формуле (15.9.7), называют тривиальными парами.