Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

63

нейное по антиполям слагаемое в мастер-уравнении пропорционально
ωAωBωC слева и ω‡D справа. Оно дает
0 = fr [ϕ]	δfDBC] [ϕ]	− fE[AB[ϕ]fDC]E [ϕ] + frD	[ϕ]	δI[ϕ]	,	(15.9.12)
[A	δϕr	ABC		δϕr

где квадратные скобки в нижних индексах указывают на антисимметризацию по отношению к заключенным в скобки индексам А, В и С. На уравнениях движения это выражение становится обобщенным тождеством Якоби (15.8.12). Уравнение (15.9.11) — необходимое условие для совместности условия симметрии (15.9.9) (в предположении, что frA доставляют полный набор калибровочных симметрий *), а уравнение (15.9.12) есть необходимое условие для совместности коммутационных соотношений (15.9.11). Заметим, что те слагаемые в (15.9.11) и (15.9.12), которые возникают из квадратич- ных по антиполям слагаемых в Smin, пропорциональны δI[ϕ]/δχ, òàê

что они обращаются в нуль, если удовлетворяются уравнения поля. В этом смысле, они характерны для открытых алгебр симметрии. Слагаемые в мастер-уравнении второго или более высокого порядка по антиполям возникают от слагаемых третьего и/или более высоких порядков по антиполям в Smin. Они обеспечивают условия совместности для соотношений (15.9.11) и (15.9.12), условия совместности для этих условий совместности, и т. д. Достоинством формализма Баталина−Вилковыского является то, что все эти ус-

ловия совместности содержатся в одном мастер-уравнении.

Это уравнение можно иначе интерпретировать как утверждение об инвариантности S относительно обобщенного преобразования БРСТ. Чтобы увидеть это, а также для дальнейших применений, полезно ввести формальный объект, известный как антискобка. Возвращаясь к прежним обозначениям, определим антискобку двух произвольных функционалов F[χ,χ‡] è G[χ,χ‡] следующим образом:

(F, G) ≡

δ

F δ

G

−

δ

F δ

G

R

L

R

L

.

(15.9.13)

n

‡

‡

n

δχ

δχ

n

δχ

n

δχ

* Это предположение называют условием полноты для генераторов калибровочной симметрии. — Прим. ред.

64	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Заметим, что правые и левые функциональные производные бозонного функционала типа S по бозонным или фермионным полевым переменным либо просто равны друг другу, либо равны друг другу с противоположным знаком, соответственно. Так как или χ‡n èëè χn

всегда фермионное поле, а другое – бозонное, отсюда вытекает, что в антискобке (S,S) второе слагаемое в правой части (15.9.13) изменяет знак, если поменять порядок левого и правого дифференцирования:

δRS

δLS

= −

δLS

δRS

= −

δRS

δLS

.

δχ

δχ

δχ

n

δχ

n

δχ

n

δχ

‡

‡

‡

n

n

n

(Последний шаг разрешен, поскольку один из множителей бозонный, и их порядок несуществен.) Мы видим, что второе слагаемое справа в формуле (15.9.13) для (S,S) равно первому с обратным знаком. Поэтому мастер-уравнение (15.9.2) можно записать как требование, чтобы антискобка действия S с самим собой обращалась в нуль:

(S, S) = 0 .

(15.9.14)

Это требование нетривиально, так как антискобка обладает общим свойством симметрии

(F, G) = ±(G, F) ,

(15.9.15)

где знак +1 берется, когда F и G — оба бозонные функционала, а знак –1 — во всех остальных случаях. В частности, антискобка (F,F) автоматически равна нулю, если F — фермионный (но не бозонный) функционал.

Обобщенное БРСТ преобразование определяется формулами:

	$		n		δRS			n
	δθχ			= θ			= −θ(S, χ		) ,	(15.9.16)
					‡
					δχ	n
	$	‡			δRS		‡
	δθχn			= θ			= −θ(S, χn ) ,			(15.9.17)
					δχn

ãäå θ — фермионная инфинитезимальная константа. (Когда S имеет

вид (15.9.1), преобразование c совпадает с исходным БРСТ преобразованием = θsχn.) Чтобы вычислить результат действия этого пре-

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

65

образования на произвольные функционалы, заметим, что антискобка действует как производная в том смысле, что

(F, GH) = (F, G)H ± G(F, H) ,

(15.9.18)

где берется знак –, если G — фермионный, а F — бозонный функционалы, и знак + в остальных случаях. Следовательно, если G и H — произвольные функционалы от χ è χ‡, причем δ$ θG = −θ(S, G) è

δ$ θH = −θ(S, H) , òî

δ$ θ (GH) = −θ(S, G)H − Gθ(S, H) = θ[(S, G)H ± G(S, H)] ,

где берутся знаки + или –, если G — бозонный или фермионный функционал, соответственно. Выбирая F в (15.9.18) равным бозонному функционалу S, видим, что

δ$ θ (GH) = −θ(S, GH) .

Вместе с формулами (15.9.16) и (15.9.17) это показывает, что для любого функционала F, построенного как сумма произведений полей и антиполей,

$	(15.9.19)
δθF = −θ(S, F) .

Мастер-уравнение (15.9.14) можно интерпретировать как утверждение, что эти обобщенные БРСТ преобразования оставляют S инвариантным:

$	(15.9.20)
δθS = −θ(S, S) = 0 .

Как и в случае исходного БРСТ преобразования, это преобразование симметрии нильпотентно. Чтобы увидеть это, используем тождество Якоби для антискобки:

±(F,(G, H)) + цикл. перестановки = 0,

(15.9.21)

где в первом слагаемом берется знак –, если F и H — бозонные функционалы, и знак + во всех остальных случаях (соответствующие знаки берутся и в двух других циклических перестановках F, G и H). Полагая F = G = S, получаем из (15.9.21)

66	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	0 = m(S, (S, H)) m (H, (S, S)) + (S, (H, S)) = m2(S, (S, H)) m (H, (S, S)) ,

где знаки – или + соответствуют бозонному или фермионному функционалу Н. Тогда из мастер-уравнения (15.9.14) вытекает условие нильпотентности

(S, (S, H)) = 0 .

(15.9.22)

Вследствие этой симметрии решение мастер-уравнения не единственно. Например, из (15.9.22) следует, что для любого заданного решения S можно найти другое решение, определяемое инфинитезимальным преобразованием

S′ = S + (δF, S) ,

(15.9.23)

ãäå δF – инфинитезимальный функционал от χ è χ‡, который про-

изволен, за исключением того, что он должен быть фермионным и иметь гостовское число –1, с тем, чтобы S′ был бозонным функционалом с духовым числом нуль. В частности, выбирая δF фермионным функционалом εΨ только от полей χn, имеем

S′[χ, χ‡] = S[χ, χ‡] + ε	δΨ[χ] δRS			L	δΨ O	(15.9.24)
	δχ	n	‡	= SMχ, χ‡ + ε	P .
			δχn	N	δχ Q

Эти инфинитезимальные преобразования можно тривиально проинтегрировать и показать, что мастер-уравнение по-прежнему удов-

летворяется, если совершить сдвиг антиполей к новым переменным

χ′‡ ≡ χ‡ − δΨ δχn . *

n n

Преобразование (15.9.23) есть частный случай преобразований, обычно называемых каноническими. Будем называть их «антикано-

* Оставляя переменные полей неизменными: χ′n = χn. Преобразование функционалов при преобразовании полей и антиполей χn → χ′n, χ‡n → χ′‡n

(замена переменных) понимается здесь, как преобразование «по скалярному представлению»: S′(χ′,χ′‡) = S(χ, χ‡) что на языке функционалов экви-

валентно преобразованию S(χ, χ‡) → S′(χ, χ‡) = S(′χ,′χ‡), ãäå χn → ′χn, χ‡ →

′χ‡ n

n есть обратная замена переменных. Автор использует оба языка. Равно-

правным является преобразование функционалов по «антипредставлению»:

S(χ, χ‡) → S′(χ, χ‡) = S(χ′,χ′‡). — Ïðèì. ðåä.

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

67

ническими», чтобы отличать от канонических преобразований в гл. 7. Антиканоническое преобразование — это любое конечное или инфинитезимальное преобразование полей и антиполей, оставляющее неизменными фундаментальные антискобочные соотношения:

(χn, χ‡m) = δmn , (χn, χm) = (χ‡n, χ‡m) = 0.

(15.9.25)

Например, рассмотрим инфинитезимальное антиканоническое преобразование, порождаемое инфинитезимальным фермионным генератором δF, под действием которого всякий бозонный или фер-

мионный функционал G преобразуется в функционал

G → G′ = G + (δF, G) .

(15.9.26)

Нетрудно показать, что это преобразование не изменяет антискобок (15.9.25). Для этого заметим, что антискобка (G,H) двух функционалов G и H преобразуется в (G′,H′), причем с точностью до перво-

го порядка по бесконечно малым добавкам

(G′, H′) = (G, H) + ((δF, G), H) + (G, (δF, H)).

Используя тождество Якоби (15.9.21), имеем

(G′, H′) = (G, H) + (δF, (G, H)), (15.9.27)

В частности, если (G,H) есть с-число, оно не изменяется антиканоническим преобразованием. (Это другой способ увидеть, что преобразование (15.9.23) не изменяет мастер-уравнения.) У полей и антиполей с-числовые антискобки (15.9.25), поэтому то же самое должно быть верным и для преобразованных полей и антиполей *.

* Конечное антиканоническое преобразование полей и антиполей χn → χ′n, χ‡n → χ′‡n (антиканоническая замена переменных) порождается производящим функционалом F[χ, χ‡] с гостовским числом –1 и определя-

ется неявными формулами χ′n =	δF(χ, χ′‡)		‡	=	δF(χ, χ′‡)		ïðè ýòîì «ñó-
	δχ′	‡	, χn		δχ	n ,
	n

перматрица»	δL δR			F(χ, χ′	‡	) должна быть невырождена. Антиканоническое
	δχn		δχ′‡
			m

68	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Чтобы вычислить S-матрицу, следует придать антиполям определенные значения. Как и в простом случае замкнутых калибровоч- ных алгебр, когда S имеет линейную по антиполям форму (15.9.1), можно сделать это, выбрав антиполя в виде (15.9.5). Иными словами, мы вычисляем S-матрицу, используя действие с «фиксированной калибровкой»

L	δΨ χ	O
IΨ [χ] = SMχ,	[ ] P ,		(15.9.28)
N	δχ	Q

ãäå Ψ[χ] – фермионный функционал с гостовским числом –1. В соот-

ветсвии с замечаниями после формулы (15.9.24), это эквивалентно тому, чтобы выбрать канонически преобразованные антиполя χ‡′

равными нулю *.

Действие с фиксированной калибровкой инвариантно относительно БРСТ преобразования, действующего только на поля χn:

δθχ	n	= θsχ	n		sχ	n	F	δRS[χ, χ‡]I			(15.9.29)
				, ãäå			= G	‡	J	.
							H	δχn	K	‡
										χ =δΨ δχ

Чтобы убедиться в этом, заметим, что

преобразование функционалов сохраняет антискобку в том смысле, что (G′,H′) = (G,H)′, и соответственно переводит решение мастер-уравнения в

решение же. Другими словами, мастер-уравнение инвариантно относительно антиканонических преобразований. Бесконечно малому антиканони- ческому преобразованию отвечает производящий функционал

F(χ, χ‡) = χn χ‡n − δF(χ, χ‡),

		δχn	= −	δF	= −(δF, χn ),	δχ‡n = −	δF	= −(δF, χ‡n )
	òàê ÷òî			δχ‡			δχn
				n

и соответствующее бесконечно малое преобразование функционалов имеет вид δG(χ, χ‡) = (δF, G). — Ïðèì. ðåä.

* На языке преобразования функционалов это означает положить χ‡ = 0.

Заметим, что для вычисления S-матрицы последнее необязательно. Фиксации калибровки отвечает антиканоническое преобразование фиксации калибровки, производящий функционал которого имеет вид

F(χ, χ‡) = χ n χ‡n + Ψ(χ). — Ïðèì. ðåä.

15.9. Формализм Баталина–Вилковыского

69

F	δRS[χ, χ‡] δLS[χ, χ‡]I
sIΨ [χ] = G		‡	δχ		n			J
H		δχn						K ‡
								χ =δΨ δχ
	F	δRS[χ, χ‡] δ2LΨ[χ] δLS[χ,							χ‡]I
+ G		‡						‡	J	.
			δχ	m		δχ	n
	H	δχm						δχn	K	‡
										χ =δΨ δχ

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль как следствие мастер-уравнения, а второе — из-за антисимметрии * выражения в скобках по m и n **.

Для замкнутых алгебр с S вида (15.9.1) преобразование (15.9.29) совпадает с исходным БРСТ преобразованием δθχn =θsχn. Íî äëÿ

произвольных открытых алгебр преобразование (15.9.29) не совпадает с исходным БРСТ преобразованием и в общем случае даже не нильпотентно, если только не удовлетворяются уравнения поля. Вместо этого из слагаемых первого порядка по сдвинутым антиполям χ‡n′ = χ‡n − δΨ[χ] δχn в мастер-уравнении находим:

2

m

F

δL

δR

‡

I

δIΨ [χ]

s

χ

= mG

I[χ, χ

]J

,

(15.9.30)

‡

‡

δχ

n

H

δχm

δχn

K ‡

χ =δΨ δχ

где знаки – или + соответствуют бозонным или фермионным χm.

Мы снова видим, что характерная для открытых калибровочных алгебр зависимость от уравнений поля связана с квадратичными по антиполям слагаемыми в S.

* Åñëè îáà ïîëÿ χn è χm — бозонные, то это следствие антикоммутативности δS/δχn è δS/δχm. Если одно из полей χn è χm — фермионное, а дру-

гое — бозонное, это есть следствие того, что правые и левые производные S по тому из полей, которое фермионное, имеют противоположные знаки. Наконец, слагаемые, в которых оба поля χn è χm — фермионные, анти-

симметричны, так как в этих слагаемых антисимметрична величина

δ2LΨ/δχmδχn.

** Инвариантность действия с фиксированной калибровкой относительно БРСТ преобразования (15.9.29) есть прямое следствие инвариантности мастер-уравнения относительно антиканонического преобразования фиксации калибровки (см. предыдущее прим. ред.). — Прим. ред.

70	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

До сих пор мы рассматривали только формулировку класси- ческой теории поля, основанной на открытой или замкнутой калибровочной алгебре. Теперь следует понять, каким образом в таких теориях проводятся квантово-механические вычисления. Физические матричные элементы можно вычислить с помощью функциональных интегралов с весом exp(iI[χ]), где, как объяснялось выше, IΨ[χ] получается из S[χ,χ‡], если положить χ‡n = δΨ[χ]δχn , или иными словами χ‡n′ = 0. Мы хотим вычислить влияние изменения Ψ[χ] íà

эти матричные элементы. Во-первых, рассмотрим амплитуду ваку- ум-вакуум:

ZΨ = w		∏ dχ		exp(iIΨ [χ]) .	(15.9.31)

В результате сдвига δΨ[χ] â Ψ[χ] эта амплитуда изменяется на ве-

личину

F

δRS[χ, χ‡]I

F

δ(δΨ[χ])I

δZ = iw

∏ dχ

exp(iIΨ [χ])G

‡

J

‡

G

δχ

n

J . (15.9.32)

H

δχn

K

H

K

χ =δΨ δχ

Интегрируя по частям в пространстве полей, получаем

δZ = iw

∏ dχ

exp(iIΨ [χ])

U

R

δ

S

χ χ‡

]

δ

I

[

χ

] − i

δΨ[χ], (15.9.33)

× S

R

[

,

L

Ψ

S[χ, χ‡]V

T

δχ‡n

δχn

Wχ‡=δΨ δχ

ãäå

≡

δR

δL

(15.9.34)

‡

δχ

n .

δχ

n

Мы видим, что условие независимости амплитуды вакуум-вакуум от Ψ в общем случае не совпадает с мастер-уравнением (15.9.2), а

является так называемым квантовым мастер-уравнением

(S, S) − 2i S = 0 ïðè χ‡ = δΨ δχ .

(15.9.35)

В системе единиц СГС множитель 1/$ сопровождает каждый множитель S[χ, χ‡], так что второе слагаемое в (15.9.35) содержит на

самом деле коэффициент –2i$ вместо –2i. Таким образом, всякий

Приложение А

71

раз, когда удовлетворяется квантовое мастер-уравнение (15.9.35), слагаемое в S нулевого порядка по $ удовлетворяет исходному ма- стер-уравнению (15.9.2). Обычно нетрудно построить действие, удовлетворяющее классическому мастер-уравнению, так что первое слагаемое в (15.9.35) обращается в нуль, и вопрос заключается в том, обращается ли в нуль второе слагаемое. Случай, когда квантовое мастер-уравнение (15.9.35) не удовлетворяется локальным действием, рассмотрен в гл. 22 в связи с аномалиями.

Предполагая, что квантовое мастер-уравнение (15.9.35) удовлетворяется, можно записать изменение, происходящее в среднем по вакууму от оператора O [χ] за счет изменения δΨ â Ψ, â âèäå

−i

δRO[χ] F

δRS(χ, χ‡)I

δ O

=

w

∏ dχ

exp(iIΨ [χ])

δχ

n

G

‡

J

δΨ[χ] . (15.9.36)

ZΨ

H

δχn

K

‡

χ =δΨ δχ

Коэффициент при экспоненте под интегралом в (15.9.36) равен sO [χ].

Мы видим, что средние значения операторов, инвариантных * относительно обобщенных БРСТ преобразований (15.9.16)–(15.9.17), не изменяются при изменении фиксирующего калибровку фермиона Ψ. Аналогичные результаты верны и для средних по вакууму от

двух или более операторов.

Приложение А. Теорема об алгебрах Ли

В этом приложении мы рассмотрим произвольную алгебру Ли G с генераторами tα и структурными константами Cαβγ и докажем экви-

валентность трех утверждений.

* Для открытых калибровочных теорий в общем случае не существует операторов, отличных от констант, которые инвариантны относительно преобразований (15.9.16)–(15.9.17). Вместо этого следует рассматривать операторы O (χ,χ‡), инвариантные относительно нильпотентного «квантового БРСТ оператора» σ, определенного равенством σO =(O,S) – i O. Если O зависит только от χ, это условие сводится к (15.9.36). Если σO = 0, тогда среднее от O (Ψ, δΨ/δχ) не изменяется в результате малого изменения фиксирующего калибровку фермиона Ψ.24

72 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

à:	Существует действительная симметричная положительно оп-
	ределенная матрица gαβ, удовлетворяющая условию инвариан-
	тности
	gαβCβγδ = −gγβCβαδ .	(15.À.1)
	(В разделе 15.2 было показано, что именно такое условие (15.2.4)
	необходимо на основании физических соображений.)
b:	~	= Sαβtβ ,
	Существует базис алгебры Ли (т. е. набор генераторов tα

где S — действительная несингулярная матрица), в котором структурные константы C~αβγ антисимметричны не только по паре нижних индексов β è γ, но и по всем трем индексам α, β è γ.

с: Алгебра Ли G есть прямая сумма коммутирующих компактных простых и U(1) подалгебр Hm.

Мы докажем эквивалентность утверждений a, b и c, показав, что а подразумевает b, b подразумевает с и с подразумевает а. Попутно мы покажем также, что если эти условия выполнены, то можно выбрать генераторы алгебры G в виде tma, где m нумерует простую или U(1) подалгебру Hm, к которой принадлежит tma, а индекс а нумерует отдельные генераторы в этой подалгебре, при- чем матрица gma,nb, удовлетворяющая условию (15.А.1), принимает вид

g	ma,nb	= g−2δ	mn	δ	ab	,	(15.À.2)
		m

ãäå gm–2 — произвольная действительная положительная константа. Во-первых, предположим выполнение а, т. е. существование действительной симметричной положительно определенной матрицы gαβ, удовлетворяющей условию инвариантности (15.А.1). Тогда можно

определить новые генераторы

~	≡ (g	−1/2	)αβ tβ ,	(15.À.3)
tα

причем существование действительной обратной матрицы квадратного корня g–1/2 гарантируется положительной определенностью gαβ.

Коммутаторы новых генераторов имеют вид