Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

52 ГЛ II ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

величин — скорости после взаимодействия — должны полностью определяться по заданным величинам.

Таким образом, десять равенств типа (1), о которых выше шла речь, составляют систему из десяти уравнений, содержащую

лишь шесть неизвестных. Эта система	уравнений	должна	иметь
решение (и притом единственное). Ясно	поэтому,	что из десяти
равенств вида (1), о которых выше шла	речь, лишь шесть		неза-

висимы. Именно они дают решение задачи, т. е. позволяют найти v\ и v'i при заданных тх, тг, г>, и г»2. Это ргшение должно удовлетворять остальным четырем равенствам, т. е. обращать их в тождества вида 0 = 0.

Равенство (1) для функции / заведомо входит в число шести независимых, и каковы бы ни были остальныэ пять равенств, входящих в эту шестерку, хотя 6oi одно равенство для второй производной в нее не войдет —ведь среди девяти функций (7) содержатся шесть вторых производных. Наши дальнейшие рассуждения не зависят от того, для какой конкретно второй производной равенство вида (1) является зависимым —пусть, например,

это d2f/dvxdvy.
Учтем теперь, что / зависит			от v2,		f = f(m,	v2). Тогда, счи-
тая т постоянным параметром, получаем
df(m,	t>2) _	df(m, а2)	д (у*) _		df (m, о2) о
dvx	~	d(v2)	dvx	~~	d(v*)	x
		, p«) o	d(v*}	_	d»/(m, о»)
dvxdva

Поэтому равенство вида (1) для производной d2f/dvxdvy имеет вид

Если скорости до взаимодействия v1 и v2 фиксированы и из шести независимых уравнений определены скорости после взаимодействия vl и ©2. то это равенство должно обращаться в тождество вида 0 = 0, каковы бы ни были эти скорости. Это заведомо возможно в том случае, когда1)

d2f(m,	v2)/d (v2)2 = 0.	(9)
Положив v*= x, последнее	равенство можно записать	так:

d2f(m, x)/dx2 = 0.

J ) Мы оставляем в стороне вопрос о том, является ли это решение рассматриваемой функциональной задачи единственным. При некоторых дополнительных не слишком ограничительных предположениях о функции / устанавливается не только существование (как это сделано в тексте), но и единственность найденного решения.

§ 3 МЕРА ДВИЖЕНИЯ

53

Интегрируя это равенство дважды, находим функцию /:

где i/2a (т) и Ь(т) — произвольные функции т, т. е.

f= l/2a(m)v2 + b(m).

(10)

Таким

образом,

из

требований

1° —3°

вытекает,

что

если

существует скалярная мера движения f(m,

у2),

то

она

имеет

вид

(10),

и что тогда существует векторная

мера

движения

q

qx

= a (m) vx,

qy=^a (m) vy, qs

= a (m) ve,

или

в векторной записи

q = a(m)v.

(11)

В

классической

механике

нормируют

меру

движения / так,

чтобы

она обращалась в нуль

при v = 0. Это соображение делает

предпочтительным выбор

b {т)= 0.

Проведенные выше рассуждения

не устанавливают

вид 4УНК-

ции а(т); для этого требуются дополнительные соображения.

Рассмотрим замкнутую систему,

состоящую

из двух

точек А

и В.

Если бы система состояла только

из

точки А,

то в силу

определения инерциальной системы отсчета скорость vA

сохраня-

лась

бы

и,

следовательно,

имело

бы

место

равенство

#д =

=а(т)г>д = const. Благодаря наличию в системе точки В и взаимодействию между точками имеем

da. d\a(m)vA

г. е. возникает ускорение точки Л.

Непосредственные наблюдения показывают, что если изменять количество материи, сконцентрированной в материальном объекте,

который мы рассматриваем			в качестве точки А		(т.	е. изменять
инерционную массу т точки А), и рассматривать					не	зависящие
от т воздействия,	то	при	одном и том же воздействии на нее
п прочих равных	условиях		ускорение wA меняется обратно про-
порционально т.
Это утверждение,		новое	в том	смысле, что оно не вытекает
m всех введенных	выше исходных			определений, и должно быть

добавлено к ним в качестве самостоятельного постулата. Такой

постулат был	введен Ньютоном и называется вторым постулатом
i UIKOHOM) Ньютона
Исходя из	второго постулата	Ньютона, естественно выбрать
функцию а(т)	пропорциональной	т. Принципиально возможен

побои выбор коэффициента пропорциональности. Принято считать и о равным единице, т. е. полагать а(т) —т. Подставив это

54	ГЛ. ТТ ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛ M^CHMFCKOH МЕХАНИКИ
значение		а(т)		в формулы (10) и (11), получим для скалярной
и векторной			мер движения			следующие выражения:
						f*=ll*nv\			(12)
						q = mv.			(13)
	Поэтому		для системы,			состоящей	из N точек, эти скалярная
и векторная			меры		равны
									(14)
									(15)
	Вектор qi = mivi				называется количеством			движения (термин,
принятый в механике) или импульсом (термин, принятый в физике)
точки,		а вектор			Q — количеством		движения	(или импульсом)
системы.
	Скалярная			величина fi~(nitvf)f2			имеет размерность		энергии,
называется			кинетической энергией точки и обозначается						Т{. Соот-
				N
ветственно Т=				^	Tt называется кинетической энергией системы1).

Полученные выражения для мер движения вполне соответствуют интуитивным соображениям, о которых шла речь в начале этого параграфа: тому, что меры должны «расти» с ростом массы т и с ростом скорости v.

§4. Сила. Работа. Силовые поля

1.Понятие о силе. Снова рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух точек А и В. В силу первого закона Нью-

тона,

если

бы в системе

не было точки

В и точка А была сво-

*) В

соответствии с

представлениями

теории

относительности

Вселенная

представляет

собой

четырехмерный

континуум

«пространство-время»,

поэтому

и мера

движения должна быть

четырехмерным

вектором. Классическая меха-

ника, предполагая,

что течение

времени

не связано с пространством,

вводит

в рассмотрение два

раздельных

объекта — трехмерное

пространство

и скаляр-

ное время. Естественно,

что и мера

движения

в

классической механике «рас-

щепляется» на трехмерную векторную меру

и на меру

скалярную.

В этом

смысле

скалярную

меру — кинетическою

энергию —можно

рассматривать как

проекцию

четырехмерной

меры на

временную

координату. О

своеобразной

«связи»

энергии и времени

в классической механике

речь будет

идти

и далее;

см., например, §§ 2 и 7 гл.

VII.

§ 4 СИЛЛ РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

55

Гюдной, то скорость точки А относительно инерциальной системы отсчета не изменялась бы и мы имели бы ЦА = const. Однако из-за взаимодействия точек А и В производная dqAldt отлична от нуля. Как уже указывалось выше, механика не отвечает на вопрос о том, почему наличие точки В оказывает воздействие на движение точки А, а исходит из того факта, что такое воздействие имеет место, и отождествляет результат этого воздействия свектором dqAldt. Воздействие точки В на движение точки А называют силойи говорят, что точка В действует на точку А с силой, изображаемой вектором

							(16)
Именно это равенство		(используя			термин «сила») обычно назы-
вают вторым законом Ньютона.
Пусть, далее, та же точка А взаимодействует							с несколькими
материальными	объектами Въ			В2,	•••, Bk.	Каждый из эгих
объектов, если	бы он был один,				обусловил	бы возникновение
силы Fi, F2, .	., Fk	соответственно. При этом					постулируется
гак называемый	принцип		независимости действия сил: сила,
обусловленная каким-либо			источником, не зависит от наличия

сил, обусловленных иными источниками. Центральным при этом является предположение о том, что силы, приложенные к одной и той же точке, могут складываться по обычрым правилам сложения векторов и что полученная таким образом сила эквивалентна исходным. Благодаря предположению о независимости действия сил множество воздействий, приложенных к материальной точке, можно заменить одним воздействием, представленным <. оответственно одной силой, которая получается геометрическим суммированием векторов всех действующих сил.

Сила —результат взаимодействияматериальных объектов. Это

шачит, что если			FA= dyAldt={=§ из-за наличия точки В, то и,
наоборот, FB = dqB/dt=£0					из-за		наличия точки А. Соотношение
между		силами FA И FB устанавливается третьим								постулатом
(шконом) Ньютона.				Согласно			этому	постулату	при взаимодей-
i шии		между материальными объектами силы FA								и FB	равны
по	величине, действуют				вдоль		одной	прямой,	но направлены
и противоположные				стороны		Эгот закон формулируется					иногда
кратко		так: «любое действие ржно и противоположно противо-
действию».
	Утверждение это — новый постулат. Он не возникает как-либо
us	предыдущих		исходных			предположений, и,			вообще		говоря,
можно		построить	механику			без этого		постулата	или с иной его
формулировкой.

56	ГЛ. П. ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
При		рассмотрении			системы материальных			точек удобно раз-
делить		все силы, действующие на точки рассматриваемой системы,
на два		класса. К первому				классу	относят силы, которые возни-
кают	благодаря взаимодействиям материальных							точек,		входящих
в данную			систему. Силы такого рода называются						внутренними.
Силы,		возникающие		благодаря			воздействию	на	материальные
точки	рассматриваемой				системы других материальных					объектов,
не включенных в эту				систему, называют внешними.
2. Работа силы. Скалярное произведение Fi-dr{,										где drt —
бесконечно			малое приращение радиуса-вектора					о	при смещении
t'-й материальной точки					вдоль ее траектории, называется элемен-
тарной		работой силы F{				и обозначается бЛ;. Сумму элементар-
ных работ			всех сил,	Действующих на точки системы,						называют
элементарной работой сил						системы и обозначают
						ЬА= 2	6/4,.

Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей

на	оси координат, получаем
		ЬА i = Flxdx, + Flydyt + Fltdz{,					(17)
		8А = 2		(Ftxdxt + Flydyt		+ Fltdzt).	(18)
Если проекции			сил Fu,	Fiy	и Fiz и приращения координат dxit
dyt	и dzt	выражены через			один и тот	же скалярный параметр
(например,		через время		/ или —в случае системы, состоящей из
одной точки, —через элементарное перемещение ds),							то величины
в	правых	частях	равенств		(17) и (18)	могут быть	представлены
в виде функций			от этого		параметра,	умноженных	на его диф-

ференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру,

например по t	в пределах от /, до t2.			Результат	интегрирования
обозначается	А1Х 2 и	А{ 2	и называется	полной работой силы Ft
и полной работой		сил	системы за	время (tlt	1г) соответст-
венно.

При подсчете элементарной и полной работы всех сил системы, ЬА и А1ш 2 , должны быть приняты во внимание все силы, как внешние, так и внутренние. Тот факт, что внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, оказывается несущественным, так как при подсчете работы играют роль еще и перемещения точек, и поэтому работа внуфенних сил, вообще говоря, отлична от нуля.

§ {. СИЛА РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

57

Рассмотрим частный случай, когда величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены как полные дифференциалы

8А1 = с1Ф1,	(19)
N
бА = 2] d(t)i = dO.	(20)

В этом случае также естественно принять введенные выше обозначения и определения:

A[.t=	\ « М ^ Ф ^ - Ф , . ! ,	(21)
	Фа
Л 1 > 2 =	$ЛФ = Ф 2 - Ф Х .	(22)

ф,

Из равенств (21) и (22) следует, что в тех случаях, когда элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции Ф, работа на любом конечном интервале зависит лишь от значений Ф в начале и в конце УГОГО интервала и не зависит от промежуточных значений Ф, т. е. от того, каким образом происходило перемещение.

3. Силовое поле. Во многих задачах механики часто приходится иметь дело с силами, зависящими от положения рассматриваемых точек (и, быть может, от времени) и не зависящими от их скоростей. Так, например, сила может зависеть от расстояния между взаимодействующими точками. В технических задачах силы, обусловленные пружинами, зависят от деформации пружин, т. е. также от положения в пространстве рассматриваемой точки или тела.

	Рассмотрим сначала случай, когда изучается движение одной
точки и поэтому рассматривается только одна сила,			зависящая
от	положения точки. В таких случаях	вектор силы	связывают
не	с точкой, на которую осуществляется	воздействие, а с точками

пространства. Предполагается, что с каждой точкой пространства, определяемой в некоторой инерциальной системе отсчета, связан нектор, изображающий ту силу, которая действовала бы на материальную точку, если бы последняя была помещена в эту точку пространства. Таким образом, условно считается, что пространство всюду «заполнено» векторами. Это множество векторов называется силовым полем.

Говорят, что силовое поле стационарно, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным.

Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция координат точки (и, быть может, времени)

58 ГЛ. II ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Ф(х,

у,

г,

t),

что

частные

производные

от

этой

функции

по х,

у и г равны проекциям Fx,

Fy,

F2

силы

F

на оси

х,

у и z

соот-

ветственно:

Г

х

~ д х '

Г

У ~ д у '

г ~ ~ ~ д г -

В связи с тем, что сила

F есть функция точки пространства,

т. е.

координат х,

у

и

г,

и, может быть, времени, ее проекции

Fx,

Fy

и

Fg

также

являются функциями

переменных х,

у,

г, t.

Функция Ф(х, у, z, t),

если она существует, называется сило-

вой

функцией.

Разумеется,

силовая

функция существует

не для

всякого силового поля, и условия ее существования,

т.

е.

усло-

вия

того,

что

поле

потенциально,

выясняются в

курсе

матема-

тики и

определяются

равенствами

ду

дх

'

dz

ду

'

дх

дг

При

исследовании движения

N взаимодействующих

точек

необ-

ходимо

учитывать

наличие

N действующих

на них

сил Flt

F2, ...

. . . .

Fn.

В

этом

случае

вводят

ЗМ-мерное

пространство

коорди-

нат

точек

Xi, г/(, гг

(г =

1,

2, ...,

N).

Задание точки этого

про-

странства

определяет

расположение

всех

N материальных

точек

изучаемой

системы. Далее вводят

в рассмотрение ЗЛ'-мерный век-

тор

с координатами

Fix,

F.iy, Ftz

и условно

считают,

что

ЗЛ^-мер-

ное пространство х{, уи г{

всюду плотно заполнено такими век-

торами. Тогда

задание точки этого ЗЛ^-мерного пространства

опре-

деляет

не только положение всех материальных точек относительно

исходной

системы

отсчета,

но и все силы, действующие

на

мате-

риальные

точки

системы.

Такое ЗЛ^-мерное силовое поле

назы-

вается

потенциальным,

если существует

силовая функция

Ф от

всех

3Af

координат

xt, yt,

Z{ такая, что

„

дФ

с

дФ

г,

дФ

/•

1

о

лг\

Если

силы Ft

могут

быть

представлены

в

виде

суммы

двух

слагаемых

(« = 1,

2,

. . . , ЛО

так,

что

слагаемые

FT

удовлетворяют

соотношениям

(24),

а сла-

гаемые

FT*

им не удовлетворяют,

то FT

называются

потенциаль-

ными, a

F**

непотенциальными

силами.

Система

материальных

точек

называется

консервативной1),

если

существует силовая функция

Ф{хЛ,

ух,

гг,

...,

xN,

yN,

)

*) Далее будет дано более общее определение понятия консервативной системы (см. гл. IV и VII).

§ 4 СИЛА РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ	59

пе зависящая явно от времени (силовое поле стационарно) и такая, что все силы, действующие на точки, удовлетворяют соотношениям (24).

Элементарную работу сил консервативной системы

удобно представить в ином Еиде, Еыразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем

N

бЛ = 1 Ы^ +Ж^ +Ж*

т.е. элементарная работа 6/1 равна полному дифференциалу силовой функции

ЬА = dO). I

(25)

Таким образом, при дгижениях консервативной системы элементарная работа выражается полным дифференциалом некоторой функции, и поэтому

Гиперповерхности			Л1>8 = Ф , - Ф Х .		(26)
	Ф ( * ь	У\,	ги ..., х„,	уп,	г„) = const
называют поверхностями			уровня.
В формуле (26)		символы Ф1		и Ф	2 означают значения Ф
в моменты tx и /2 начала			и конца движения. Поэтому при любом
движении	системы,	началу которого соответствует точка, распо-
ложенная	на поверхности уровня

Ф(х, у, г) = Ф1 (

а концу —точка на поверхности уровня

Ф(х, у, 2) = Ф2 ,

работа подсчитываете я по формуле (26). Следовательно, при движении консервативней системы работа зависит не от пути, а лишь от того, на каких поверхностях уровня началось и закончилось движение. В частности, работа равна нулю, если движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня.

Формулой (25) можно пользоваться иногда для того, чтобы определить силовую функцию Ф. Продемонстрируем это на простых примерах.

60 ГЛ. II. ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

П р и м е р	1.	Рассмотрим		силу	тяжести О, считая,	что эта
сила не зависит		от положения точки. Удобно направить ось г
параллельно	направлению силы. В этом случае
		Fx	= Fy — 0,	Fz =— G= const,
и поэтому
бА = Fx			dx + Fy dy + Fz		dz = — G dz = d<S,
откуда
			Ф = —Сг-|- const.
П р и м е р	2.	Рассмотрим поле упругой силы, действующей
вдоль оси г (в сторону, противоположную возрастанию						г) и про-
порциональной г:

Для этого силового поля 6Л = йФ = — czdz и

Ф= — i i - + const.

Пр и м е р 3. Рассмотрим поле произвольной центральной силы (мы будем называть силу центральной, если она всегда направлена вдоль прямой, проходящей через центр — неподвижную точку О, а величина ее зависит лишь от расстояния до центра). Приняв точку О за начало координат, можно записать общую формулу для любой центральной силы

Элементарная работа центральной силы равна

поэтому

г + const.

Силовое поле, имеющее такую силовую функцию, называется

центральным полем.

П р и м е р 4. В качестве последнего примера рассмотрим поле двух точек, между которыми действует сила взаимного притяжения (или отталкивания), зависящая только от расстояний между точками.

Пусть А*! и г	2	— радиусы-векторы первой и второй точек соот-
ветственно. Если		г = л*1 —г2, то г = \г| = |гх —гг\ — расстояние
между точками.

§ 5 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ

61

Сила, действующая на первую точку, может быть представлена выражением

сила же F2, действующая на вторую точку, равна и противоположна силе Fx (здесь F( \rx —r2 !) — F (г) — некоторая заданная функция расстояния между точками). Тогда

8А = Ft • drx -f F2 • dr2 =

Дословно повторяя рассуждения, проведенные в третьем примере, получаем

<S = \F (г) dr + const.

Таким образом, силовая функция поля тяготения двух точек определяется так же, как и для поля центральной силы, но переменной служит уже не радиус-вектор точки, а расстояние между взаимодействующими точками.

Последний пример иллюстрирует, в частности, то обстоятельство, что функция Ф не аддитивна. Действительно, функцию

нельзя получить как сумму значений, подсчитанных порознь для первой и второй точек, так как она является функцией расстояния г, определяемого положением двух точек одновременно.

§ 5. Основные задачи и методы классической механики

Основная задача, которую решает классическая механика, может быть сформулирована так: в начальный момент t — t0 известны положения и скорости всех точек, образующих некоторую систему; заданы силы, действующие на все материальные точки

этой системы; требуется определить движение точек системы для

всех t>t0.

Говоря, что «силы заданы», иногда имеют в виду, что они заданы как функции времени, т. е. что заранее известно, как меняются во времени производные dq/dt для всех точек; чаще,