Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

112 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ II ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

где /уход и /п р и х обозначают соответственно		пределы
/уход—f — иiimт	А у х о д	А п р и х
	—^д ^ — > /прих—f — limп т	—^ - ^ — .

Непосредственно видно, что этими пределами служат векторы,

имеющие размерность силы. Это следует, впрочем, сразу					и из
формулы	(83).
Удобно		ввести	в рассмотрение вектор /?	д о п —сумму этих	двух
векторов	с	учетом	их знаков:
			*^доп ~~ /уход ~Г"/прих'		v"*-v

Вектор Ядоп называют дополнительной силой. Он возникает лишь благодаря «уходу» частиц из рассматриваемой системы или «приходу» новых частиц в эту систему и по величине и направлению определяется формулой (85^. С учетом (85) равенство (83) можно переписать так:

~ЗГ = ~дГ +Л д о п >

(8 6 )

Соотношение (86) верно как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, так как при его выводе производился лишь подсчет количеств движения.

Если система отсчета инерциальна, то к системе 2 применимы теоремы, доказанные в §§ 2—4 этой главы, и

поэтому	в инерциальной			системе отсчета
				=	^ВНСШ 4 " "ДОЛ'						( 8 7 )
Теперь	теорему об изменении				количества		движения			для	системы
переменного		состава	можно		сформулировать			так:		в инерциаль-
ной системе		отсчета	производная			по времени		от	вектора		коли-
чества	движения системы постоянного об?,ема (но переменного со-
става)	равна главному вектору внешних сил							и	дополнительной
силы, определяемой формулой					(85).
Аналогично, в неинерциальной						системе	отсчета
		Т,	=	^внеш "Г ^пер		~Г •'кор Т	"доп-				("8)
			=

Вернемся теперь к инерциальной системе отсчета и введем понятие о стационарном потоке материи через объем W. Будем говорить, что поток материи является стационарным, если количество движения в любом элементарном объеме внутри W зависит только от его положения внутри этого объема и не меняется со временем. Это условие относится не только к внутренним

§ 9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

113

точкам объема, но и к точкам, принадлежащим его внешней оболочке, т. е. одинаковые частицы материи, выходя из объема или входя в него, приобретают в одних и тех же местах оболочки одинаковые скорости. Если в этом случае осуществляется поток через объем W частиц одинаковой массы, например если протекает жидкость одинаковой плотности, то вектор Qw оказывается неизменным во времени. Поэтому для стационарного потока dQw/dt==Q, и формула (87) принимает вид

	Лвнеш+ Лд о п = 0.		(89)
Обратимся	теперь к главному вектору	внешних	сил /?в н е ш .
Будем различать главный вектор объемных сил /?Объем> т- е- с и л >
действующих	на находящиеся внутри объема	W точки	и обуслов-

ленных воздействием материи, расположенной вне этого объема

(например, через	гравитационные, магнитные	и т. п. поля), и
главный вектор /?<,т оболочки сил, обусловленных		действием огра-
ничивающей объем	W оболочки на частицы материи, находящиеся

внутри объема и непосредственно примыкающие к этой оболочке, в тех случаях, когда сболочка не является абсолютно проницаемой. Таким образом,

"внеш = ^объем ~г Лот оболочки-

В силу третьего закона Ньютона при наличии сил, действующих со стороны оболочки на примыкающие к ней частицы, возникают равные и противоположно направленные силы, действующие со стороны этих частиц на оболочку. Обозначим их главный вектор /?„а оболочку; разумеется,

Лот оболочки==	*Сна оболочку-	("')
Подставляя в (89) выражение	(90) и учитывая	(91), получаем
Лна оболочку =	Лобъем i Лдоп-

Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулыЭйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который ссуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу /?доп, которую пришлось добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения.

Мы можем вернуться теперь к рис. 111.18 и объяснить причину разных показаний весов при взвешивании труб различной формы вместе с протекающей через них жидкостью. Рис. III.22 повторяет рис. III.18 с той лишь разницей, что на нем для каж-

114

ГЛ III

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ II ЗАКОНЫ

МЕХАНИКИ

дого

случая графически построено дополнительное усилие

/?

д о п .

Непосредственно видно, что это усилие

будет

наибольшим

на

рис.

111.18, а, равным нулю

на рис. II 1.18,

в,

а на

рис. II 1.18, б —

отличным от нуля, но меньшим, чем на рис. II 1.18, а. Ясно

поэтому,

что

весы

покажут наибольший

«вес» на

рис. III.18, а, несколько

меньший

на рис

III.18, б и истинный вес трубы

вместе с

находя-

щейся в ней жидкостью лишь

на

рис. III.18, в.

Представим себе теперь объем W произвольной формы. Веще-

ство

(например,

жидкость)

может

«втекать» в

него и «вытекать»

из него так, что

скорость

«втекающего»

и

«вытекающего»

веще-

ства

(например, жидкости)

постоянна и равна соответственно ©п р и х

.ц

и ©у х о д

(рис. II 1.23). Подсчитаем, чему

™

' "

равны

в

этом

случае

векторы

/ у х о д

и /прихНапример, для

/ у „ о д имеем

/уход

=

Ы-+0

At

(93)

At-* О

й)

Но так

как

рассматривается

случай

стационарного

потока,

когда

©

у х о д

не

изменяется во

времени,

в формуле (93)

можно

вынести скорость

за знак

преде-

ла и

получить

/уход =

^уход ' 1 Г П „

д7

=

Иуход^уход

hi -+О

Коэффициент

Цуход

(95)

называется расходом массы. Совершенно

аналогично можно написать

/прих

Н'прих^прих»

V

/

6)-

где

Цп Р их=

l i m

— д /

(97)

Стационарный поток возможен лишь при условии, что суммарный расход массы (поступающей в объем и уходящей из

него) равен нулю, ибо в противном случае происходило бы уменьшение или увеличение массы, находящейся внутри объема, а значит, не были бы соблюдены условия стационарности. Поэтому для стационарного потока

= И

(98)

§ 9

ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

115

и дополнительная сила

равна

Учитывая эту формулу, мы могли бы для определения допол-

нительной силы геометрически сложить

векторы ©п р и х и ©

у х о д

(а не

векторы/п р их и/ухОд) и затем умножить результат на коэффициент ц,

т. е. на расход массы.

Вернемся

к

рис. III.21

и вновь

рассмотрим вопрос

о приме-

нении

законов

механики

к

системе

переменного

состава,

но

постоянного

объема,

имея

теперь

в виду

не

тео-

рему

об изменении

количества

движе-

ния,

а

теорему

об

изменении кине-

тического

момента. Дословно

повторяя

рассуждения,

которыэ

привели

нас к

формулам

(86)

и

(87),

но

рассматри-

вая

для

системы

Е

и W не

векторы

количества

движения,

а векторы

ки-

нетического момента,

подсчитанного

от-

Рис. 111.23.

носительно какого-либо полюса О (напри-

мер, относительно

начала координат), получаем вместо формул (86)

и

(87) соответственно

формулы

"OW

" " 0 2

|

»ж

ПГ\С\\

—dT^^dT1'™0*™

(WU>

и

JJ

— '"Овнеш

i '"Олоп*

v 1 ^ 1 /

ш

Здесь

*"Одоп =

^Оуход

I

*Оприх>

('"^)

а

'оуход и

'оприх

определяются

подобно

тому,

как

ранее

(см. фор-

мулу

(84))

были

определены

векторы /

у х о д и /п р и х

,

только

вместо

расхода

и прихода

количества

движения

теперь

рассматривается

расход

и приход

кинетического момента

соответственно:

7

lim

А^ОУ*°Д

7

Ц™

А ^Оприх

(

/ О у х о д =

'И*1

ДГ

•»

'Оприх =

ИП1

Xt

'

'

Таким образом, для того чтобы применить теорему

об изме-

нении

кинетического

момента

относительно

какого-либо полюса

к

системе

переменного

состава,

но

постоянного

объема,

надо

к моменту внешних сил относительно того же полюса прибавить дополнительный момент (102).

В случае стационарного протока жидкости (dKOw/dt = 0) вместо формулы (92) совершенно аналогично получаем выражение для

116 ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

момента сил, действующих на оболочку объема W,

Мо на оболочку = Л^Ообъем + Мо доп >

О 0 4 )

где Мообъс* — главный момент объемных («полевых») сил, действующих на точки, расположенные в W.

Для неинерциальных систем отсчета вместо формулы (101) имеем

	Т	=	МО в н е ш -Ь AWnep + Л1о,кор-Ь МО д о п .			(Ю5)
Рассмотрим		теперь пример использования			этого	соотноше-
ния при подвижном объеме W. При				этом мы	выберем систему
отсчета	х', у', г',		жестко связанную	с оболочкой объема W (и,
вообще	говоря,	неинерциальную). В		этой системе оболочка W

неподвижна и, следовательно, в выражениях для /?доп и Мо доп будут фигурировать относительные скорости (скорости относительно си-

стемы отсчета х', у', г', жестко		связанной с оболочкой W).
П р и м е р . Рассмотрим	ротор турбины		(рис. III.19),	вращаю-
щийся относительно оси.	В	условиях	стацинарного	протока
df(ow/dt = 0 и равенство (107)		принимает	вид
МовнеШ+ M0Jnep+		MOJKOp+ Модоп = °-		(1 0 6 )

В качестве неинерциальной системы, для которой выписывается это равенство, рассмотрим вращающуюся систему, связанную с ротором турбины, и подсчитаем- Mojn . Этот момент складывается из двух моментов, порождаемых осестремительным и вращательным ускорениями соответственно.

Осестремительное ускорение в каждой точке проходит через О, и поэтому главный момент соответствующих составляющих переносных сил инерции равен нулю.В случае вращения вокруг оси главный момент тангенциальных сил инерции относительно оси равен —/е, где / —момент инерции ротора вместе с заполня-

ющей его жидкостью относительно оси вращения*).
Проектируя	теперь	равенство (108) на направление оси ротора,
получаем
		р ,	(107)
где Мо — момент относительно оси ротора.
Если MOJKO	мал,	например если относительная скорость жид-

кости невелика, то формула (109) принимает вид

J e ^ Мовнеш + Мо доп»

х) Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется 2 m i r ( ' г ^е ri — расстояние 1-й точки до оси; подробности можно найти в гл. V-

§ 9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА		117
где дополнительный момент МОлоп	подсчитывается	в принятой
неинерциальной системе, т. е. при выборе в качестве		г»х и vz ско-
ростей жидкости относительно рогора.

Таким образом, дополнительный момент, возникающий за счет протока жидкости через межлопаточные пространства турбины,

вызывает

ускорение

ротора

и в

том

случае,

когда

МО в н е ш = 0.

При

равномерном

вращении

е = 0

и равенство

' "^ доп

*•**- внеш

определяет момент, которым нагружен ротор турбины.

Подсчитаем

дополнительный

момент /Идоп, возникающий за

счет

протока

жидкости

через

объем W. С этой целью найдем

'уход и 'пРих-

Кинетические моменты

частиц

материи,

входящих

в этот объем

и

выходящих

из

него,

соответственно

равны

> 2 .

(108)

В

связи

с

тем,

что

радиусы-векторы

гх

и

/*2

и

скорости

©j и v, постоянны, получаем

'при = Л X ©,^ j f = Hi (fi

X ©0,

/у х о д

= Гг

X V, 4jj±

=

= щ ( г 2 х в 2 ) .

(109)

Предположим

теперь,

что

скорость

vx

жидкости

на

входе

в объем

W между двумя лопатками ротора постоянна по величине,

одинакова вдоль всего входного сече-

ния

и составляет

угол ах

с

радиу-

сом-вектором, проведенным к

середи-

не входного сечения (рис. III.24).

Аналогично

скорость на выходе

из

объема W равна v2,

одинакова

вдоль

всего выходного сечения и составляет

угол а2

с

радиусом-вектором,

про-

веденным к середине выходного се-

чения.

Векторы

всех

моментов

направ-

р и с

ш.24.

лены по одной и той же

прямой, пер-

пендикулярной

плоскости

чертежа

(рис.

111.19) и

проходящей

через точку О.

Поэтому

можно

рассматривать лишь скалярные

величины

/уход

и /прич с учетом

знаков; тогда

'при* = JViWi sinocx,

/у х о д

= |V2 y2

sina2 .

Для

стационарного

потока

цл = ц2 = \i,

и поэтому модуль

допол-

нительного момента

равен

Модоп = ц ( i v I bin 0^ — v./i

s i n a 2 ) .

(110)

118 ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Пусть теперь ротор турбины с произвольным числом лопаток заторможен, и пусть суммарное пространство между всеми лопат-

ками		составляет объем W. Если поток стационарен, скорости г»1
и	v2	во всех межлопаточных пространствах одинаковы по модулю
и	для	всех межлопаточных пространств углы ах	и а2 одинаковы,
то формула (ПО) с обратным знаком определяет			дополнительный

тормозящий момент, который должен быть приложен сверх

момента М0объеМ Д л я того, чтобы

удержать

ротор турбины от вра-

щения. Этот момент, добавленный к Л1Ообъем. определяет

угловое

ускорение ротора. Формула

(ПО) была

получена Эйлером и назы-

вается

турбинной формулой Эйлера.

2.

Реактивное движение. Рассмотрим

объем

W,

движущийся

поступательно относительно

инерциальной

системы

х,

у,

z

так,

z ,

что траектории

всех его точек

явля-

z

ются прямыми,

и

снова

будем

счи-

тать

проток

стационарным.

Пусть

главный

вектор

внешних

сил

/?„

неш

V

/

и скорости

1>при„

и ©у х о д

притока

и

оттока

вещества

направлены

вдоль

"йти 'х1

траектории

движения

(рис.

II 1.25).

Неинерциальную

систему

координат

У

х' у У'>z>

закрепим

на оболочке

объе-

s

ма

W, так

что в этой

системе W не-

Рис. III25.

подвижен. Поэтому в системе W вер-

но соотношение (88). В

рассматривае-

мом случае Укор = 0 (подвижная система

x',y',z'

движется

посту-

пательно), Jmp

= — Mv, где

о —ускорение

движения

объема W

относительно

инерциальной системы

х,

у,

г.

Поскольку

в

силу

стационарности

процесса dQw/dt = O, формула (106) принимает вид

(в действительности

здесь фигурируют скалярные величины, ибо

по условию Ь, /?

внеши

/?д о п

направлены по

одной прямой — траек-

тории движения).

В

формуле

(111)

М— масса, заключенная в объеме W,

— п о -

стоянна

по условию

стационарности

потока,

а дополнительная

сила равна

*^доп =

/уход~г/прих = = М- (^прих

®уход)>

где скорости vnpm

и ©уХОД берутся по отношению к системе отсчета,

связанной с объемом

W.

Таким образом, в прямолинейном поступательном

движении

оболочка

W, через которую

осуществляется

стационарный

проток

вещества,

движется

тек,

как двигалась

бы

материальная

точка,

часса

которой

равна

массе вещества

в

объеме

W и на

которую

§9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТ \В \

119

помимо приложенных сил действовала бы еще дополнительная

сила /?доп.				этого параграфа рассмотрим движение				ракеты
	В заключение
на	активном прямолинейном				участке	траектории	(рис.	II1.26).
В	качестве объема			W рассмотрим
объем, ограничен! ый внешней обо-
лочкой корпуса ракеты и срезом
сопла. Предположим, что процесс
горения топлива протекает доста-
точно медленно			и что поэтому на
интересующем нас интервале вре-
мени скорость			движения центра
инерции		масс,		расположенных
внутри		ракеты,		относительно ее
корпуса		пренебрежимо мала			по			У
сравнению со скоростью самой ра-
кеты. Рассматривая разгон ракеты
на прямолинейном активном участ-						Рис.	III 26.
ке траектории,			пренебрежем		вра-

щением ракеты относительно собственных осей, т. е. предположим,

что

ракета

движется

поступательно.

Условия

внутри

корпуса

ракеты

заведомо

нестационарны

хотя бы

потому,

что для ракеты

/прих = 0.

а /умяф0

и, следо-

вательно, /„рих т^/уход-

Однако

в

интервале

времени,

малом по

сравнению

с периодом

сгорания

всего

топлива,

можно считать

условия внутри ракеты мало отличающимися от

стационарных

(это

утверждение называют

«гипотезой

квазистационарности»).

Приняв эту гипотезу, можно воспользоваться формулой

(111).

Для

ракеты

" д о п =

где

©уход—скорость

газов,

вылетающих

из сопла, относительно

корпуса

ракеты,

а |л = (хуход = — dM/dt,

так что

в

уход*

(112)

'•*в

Это уравнение

называется уравнениемМещерского. Оно описывает

поступательное

движение ракеты

на

прямолинейном

активном

участке траектории.

Если

разгон

ракеты

происходит

в условиях,

когда

можно

пренебречь

воздействием

на нее

внешних сил (например, вдали

от каких-либо

центров тяготения

и вне

атмосферных

оболочек),

и если ууход = const = ы, то формулу		(112)	можно переписать так-
, , dv	dM	. . .	, , ,

М j t = — и d( , или М dv = — и dM

120		ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
(знак		минус стоит здесь	потому, что при разгоне	ракеты скоро-
сти	а	и v направлены противоположно).
	В	этом уравнении переменные разделяются: dv = — u(dM/M),
и,	проинтегрировав обе		части этого равенства от	значения пере-

менных в некоторый начальный момент до их значения в конечный момент, когда заканчивается горение топлива, мы получим

f к— vH = — и (In Мк — In Мн),

или

(113)

Формула (113) называется формулой Циолковского.

Г л а в а IV

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА)

§ 1. Общие представления о ковариантных формах уравнений движения

Движение системы,	состоящей	из N	материальных	точек,
в инерциальной системе	отсчета, в соответствии со вторым			зако-
ном Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями
m/n^F,	(i = l,	2, ...,	N),	(!)

где силы Fi — функции от радиусов-векторов точек г, скорости г и времени t.

Введем прямоугольную декартову систему координат и спроектируем уравнения (1) на оси этой системы; тогда система дифференциальных уравнений, определяющих изменение декартовых координат точек во времени, представится в виде

mixl = Ftx, m,yt = Fty, т&^Рц (/ = 1, .... N). (2)

Если была бы выбрана не прямоугольная, а какая-либо косоугольная система прямолинейных координат, то дифференциальные уравнения в скалярной форме (в проекциях на оси) по-преж-

нему имели бы вид (2), но функции Fixy Fiy, Fiz, стоящие в правых частях этих уравнений, соответственно изменились бы. Таким

образом, при замене прямоугольной системы на косоугольную меняется вид функций, входящих в уравнения (2), но не меняется вид этих уравнений.

Разумеется, уравнения (1) можно заменить соответствующими скалярными соотношениями, выписанными в цилиндрических, сферических или каких-либо иных координатах (см. гл. I). Для этого достаточно выразить радиус-вектор г, например, через цилиндрические координаты, вычислить вторую производную от радиусавектора и произвести соответствующие преобразования аргументов функций Ft. Конечно, уравнения, которые получаются непосредственно в результате таких подстановок, уже не будут представлены в форме, алгебраически разрешенной относительно вторых производных «новых», например, цилиндрических координат и, следовательно, по внешнему виду не будут совпадать с уравнениями (2). Кроме того, выведенные таким образом уравнения