Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

10.5. теыеойс

311

РПМХЮЙН ФП ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЮФП Й ТБОЕЕ (УН. (10.156)).

тЕЫЕОЙЕ 64. дМС ФПЗП ЮФПВЩ ЙЪХЮЙФШ ŒМЙСОЙЕ РТЙНЕУЕК ОБ Tc, ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ, ПВТБЪХАЭЙЕ ПДЙО ВМПЛ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ, Й ХУТЕДОЙН ЙИ РП ВЕУРПТСДЛХ:

òÉÓ. 10.13

пОЙ ЙНЕАФ ФХ ЦЕ УФТХЛФХТХ, ЮФП Й ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 10.8. пФМЙЮЙЕ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛБС РЕФМС ФЕРЕТШ УПДЕТЦЙФ РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, ПРЙУЩŒБАЭХА ТБУУЕСОЙЕ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ ОБ РТЙНЕУСИ. рПЬФПНХ

`ó = −	–	;	(10.169)
	1 + –˝c

ÇÄÅ

Πc

òÉÓ. 10.14

| УХННБ МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН. рП УХФЙ ДЕМБ, ФБЛБС УХННБ ХЦЕ ВЩМБ ŒЩЮЙУМЕОБ ОБНЙ Œ ЪБДБЮЕ 54. оБРПНОЙН, ЮФП ХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЗТСЪОПН НЕФБММЕ ТБŒОБ

1		:	(10.170)
G(i!n; p) =	1
i!n − ‰p +		sign !n
	2fi

лБЦДБС УФХРЕОШЛБ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ, УПУФПСЭБС ЙЪ ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, ŒЪСФБС РТЙ ˙ = 0, s = 0, ЕУФШ

Bc(i!n) =	G(i!n; p) G(−i!n; −p)							d3p
								(2ı)3 =			(10.171)
∞			d‰					2ı fi
=		1	0	2		2	=	1 + 2fi0	!n	|	:
−∞ !n +		2fi sign !n			+ ‰			|

уХННЙТПŒБФШ Bc ÐÏ !n ОЕ УМЕДХЕФ, РПУЛПМШЛХ УФПМЛОПŒЕОЙС У РТЙНЕУСНЙ | ХРТХЗЙЕ. фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН ŒУА РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ. рТЙ ЬФПН РПМЕЪОП ŒУРПНОЙФШ, ЮФП РТЙНЕУОБС ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ТБŒОБ nu20 = (2ı 0fi )−1 (УН. ЗМ. 9). уХННЙТХС ЗЕПНЕФТЙ-

ЮЕУЛХА РТПЗТЕУУЙА, РПМХЮБЕН
L(i!n) = Bc(i!n) +	1	B2	(i!n) + : : : =
	2ı 0fi	c

312	змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш
=	Bc(i!n)	=	ı 0	:	(10.172)
1	− Bc(i!n)=(2ı 0fi )		|!n|

лБЛ НЩ ŒЙДЙН, fi РПМОПУФША ЙУЮЕЪМП ЙЪ ЬФПК ЖПТНХМЩ. пФНЕФЙН, ЮФП ŒЩРБДЕОЙЕ fi ЙЪ ПФŒЕФБ ЖПТНБМШОП ПВСЪБОП ФПНХ ЦЕ УПЛТБЭЕОЙА, ЛПФПТПЕ ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ УПИТБОЕОЙЕ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ Œ ЖЕТНЙ ЗБЪЕ У РТЙНЕУСНЙ:

		n(!; q)n(−!; −q) q=0 = ı 0=(i!)							(10.173)
(УН. ЪБДБЮХ 52). оБИПДЙН ЛХРЕТПŒУЛХА РЕФМА:					|
			|	1		= − 0 ln	2‚!D	:
˝c = −T !	n	L(i!n) = −2ı 0T	!n>0	!n			ıT		(10.174)
рПЬФПНХ		Tc = 2‚
			!D e−1=– 0 ;						(10.175)
		ı

ЛБЛ Й Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК.

тЕЫЕОЙЕ 65 Б. оБЮОЕН У ХУТЕДОЕОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ РП РТЙНЕУСН. дМС ЬФПЗП НЩ ŒЩЮЙУМЙН НБФТЙЮОХА УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ

òÉÓ. 10.15

рТЙ ЬФПН НБФТЙЮОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РТЙНЕУОПК МЙОЙЙ ФБЛПŒП:

nu02	1	0	=	1	1	(10.176)
	0	1		2ı 0fi

(РТЙНЕУЙ ПДЙОБЛПŒП ИПТПЫП ТБУУЕЙŒБАФ ЛБЛ ЬМЕЛФТПОЩ, ВЕЗХЭЙЕ ŒРЕТЕД, ФБЛ Й ОБЪБД, Й РТЙ ЬФПН ОЕ РЕТЕŒПДСФ ПДОП ЙЪ УРБТЙŒБАЭЙИУС УПУФПСОЙК Œ ДТХЗПЕ, РПУЛПМШЛХ Х ОЙИ ТБЪОЩК УРЙО). œЩЮЙУМСЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК, УМЕДХС НЕФПДХ ЪБДБЮЙ 50:

2ı 0fi

(2ı)3

−2ı 0fi

!n2

+ ´2

+ ‰p2

(2ı)3

1

1

d3p : (10.177)

˚(i!n) =

G(i!n; p) d3p =

i!n1 + ‰pfiz − ´fix

йОФЕЗТЙТХС РП ‰, РПМХЮБЕН

−

!n

2fi

+ ´

'

(10.178)

˚(i!n) =

1 i!n 1 + ´fix :

2

2

фБЛЙН ПВТБЪПН,

G

−1

= G0

− ˚

= i!~n1 − ‰fiz − ´fix ;

(10.179)

−1

~

10.5. теыеойс
ÇÄÅ	1 +
!~n = !n		2
		1
		2fi '!n

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП

;	~
	´ = ´ 1 +

+ ´2

~

!~n=´ = !n=´ :

				313
2fi	1	+ ´
	'!n
	2	2		(10.180)
				(10.181)

лБЛ НЩ ХВЕДЙНУС Œ ДБМШОЕКЫЕН, ЬФП УŒПКУФŒП ПЮЕОШ ŒБЦОП.

РТПЙЪПКДЕФ, ЕУМЙ

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ˚ НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ ЪБФТБŒПЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G Й F . юФП ФЕРЕТШ РПДУФБŒЙФШ ЙУРТБŒМЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС

˚? пЛБЪЩŒБЕФУС, ˚ РТЙ ЬФПН ОЕ ЙЪНЕОЙФУС. ьФП МЕЗЛП ŒЙДОП ЙЪ (10.178), РПУЛПМШЛХ

РТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ !			n Й ´ Œ ПДОП Й ФП ЦЕ ЮЙУМП ТБЪ ŒЕМЙЮЙОБ ˚
ОЕ НЕОСЕФУС. рПЬФПНХ РПМХЮЕООЩК ОБНЙ ПФŒЕФ БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ ПЛБЪБМУС				ТЕЫЕОЙЕН
ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС ДМС		˚, ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ДМС ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ (УН.
ЪБДБЮХ 50).

œ РТЙОГЙРЕ, ЭЕМШ Œ ЗТСЪОПН УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ УМЕДХЕФ ПРТЕДЕМСФШ ЪБОПŒП, ТЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС (10.38), РТЙОЙНБАЭЕЕ ŒЙД

		∞	~
			0 d‰ ´	:
´ = –T !n						(10.182)
			!~n2 + ´~ 2 + ‰2
		−∞
йОФЕЗТЙТХС РП ‰, РТЙИПДЙН Л ХТБŒОЕОЙА
	~		!n		+ ´
	!~n + ´
	´			´
´ = ı– 0T	'	~ 2	= ı– 0T	'	;	(10.183)
!n	2		!n	2	2

ОЕ УПДЕТЦБЭЕНХ ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК. (œП ŒФПТПН ТБŒЕОУФŒЕ НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ (10.181).) фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙНЕУЙ ОЕ ŒМЙСАФ ОЕ ФПМШЛП ОБ Tc, ОП Й ОБ ФЕТНПДЙОБНЙЛХ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ ŒППВЭЕ. фБЛ РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ УХЭЕУФŒЕООБ МЙЫШ РПМОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК (ЙМЙ, ЗТХВП ЗПŒПТС, УЛПМШЛП ДМЙО ŒПМО ХЛМБДЩŒБЕФУС ОБ ЛБЦДПК ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПК ФТБЕЛФПТЙЙ) Й УПŒЕТЫЕООП ОЕ ŒБЦОП, ЛБЛ ЬФЙ УПУФПСОЙС ХУФТПЕОЩ (Ф. Е. РП ЛБЛЙН ЛПОЛТЕФОП ФТБЕЛФПТЙСН ДŒЙЦХФУС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, РП РТСНЩН, ЙМЙ РП МПНБОЩН, ТБУУЕЙŒБСУШ ОБ РТЙНЕУСИ).

тЕЫЕОЙЕ 65 В. фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ПФЛМЙЛ УŒЕТИФЕЛХЮЕЗП ФПЛБ ОБ ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ. œ ПФМЙЮЙЕ ПФ Tc, ЬФБ ŒЕМЙЮЙОБ ЗПТБЪДП ВПМЕЕ ЮХŒУФŒЙФЕМШОБ Л ЖПТНЕ ФТБЕЛФПТЙК Й УЙМШОП ЙЪНЕОСЕФУС ДБЦЕ РТЙ НБМЩИ ЛПОГЕОФТБГЙСИ РТЙНЕУЕК. (дПУФБФПЮОП, ЮФПВЩ ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ УФБМБ НЕОШЫЕ, ЮЕН ТБЪНЕТ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ ‰0.) пРТЕДЕМЙН УŒЕТИФЕЛХЮХА РМПФОПУФШ. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 51, ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ПФЛМЙЛБ ДПУФБФПЮОП РТПŒЕУФЙ ŒЩЮЙУМЕОЙС У ХУТЕДОЕООЩНЙ РП РТЙНЕУСН ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, РПФПНХ ЮФП ДЙБЗТБННБ У РТЙНЕУОПК МЙОЙЕК, УПЕДЙОСАЭЕК ТБЪОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ТБŒОБ ОХМА (ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ŒЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОЩН РПМЕН ŒЕЛФПТОБС). хУТЕДОЕООЩЕ ЦЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПФМЙЮБАФУС ПФ ЪБФТБŒПЮОЩИ МЙЫШ ЪБ-

→ → ~

НЕОПК !n !~n, ´ ´. рПЬФПНХ НПЦОП УТБЪХ ОБРЙУБФШ ЖПТНХМХ ДМС ns РП БОБМПЗЙЙ

314				змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш
У ЪБДБЮЕК 50:		∞				~
					2		2
n	!n			‰2		~	!2	2
n − ns				‰		+ ´ + ~n			d‰ :	(10.184)
	= T					+ ´ − !~n
		−∞

лБЛ Й ТБОЕЕ, ŒЩЮФЕН ЙЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ЕЗП ЪОБЮЕОЙЕ РТЙ ´ = 0, fi = ∞, ЮФПВЩ ЙУЛМАЮЙФШ ŒЛМБД ЖЕТНЙ-НПТС. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ ДБЕФ:

ns

= ıT

~ 2

:

(10.185)

!~ + ´

´

3=2

n

~

!n

2

2

éÔÁË,

ns

2

2

1 +

1

= ıT

!n

+ ´

2 2

:

(10.186)

´2

n

!n

3=2

2fi '!n + ´

рТЙ НБМПК ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК, ЛПЗДБ fi ´0 1, ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒПУРТПЙЪŒПДЙФ ТЕЪХМШФБФ ЪБДБЮЙ 63, Б Œ РТПФЙŒПРПМПЦОПН ĂЗТСЪОПНĄ РТЕДЕМЕ fi ´0 1 ДБЕФ УМЕДХАЭЕЕ:

ns			n	´2				´
n				2	2	= ıfi ´ th		2T :	(10.187)
	= 2ıfi T	(!	2
	!n			+ ´ )
йОФЕТЕУОП, ЮФП Œ ЗТСЪОПН УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ ДБЦЕ РТЙ T → 0 УŒЕТИФЕЛХЮБС РМПФОПУФШ
НОПЗП НЕОШЫЕ РПМОПК:	ns(T → 0)
				= ıfi ´		0	1 :		(10.188)
	n

ьФП УŒСЪБОП У ОБТХЫЕОЙЕН ФТБОУМСГЙПООПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ Й ĂФПТНПЦЕОЙЕНĄ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЙНЕУСНЙ.

рПДУФБŒМСС ns Œ ЖПТНХМХ ДМС ЗМХВЙОЩ РТПОЙЛОПŒЕОЙС ‹˜, РПМХЮБЕН
‹˜ =	1	'mc2= [e2 ´fi th(´=2T )] :	(10.189)
	2ı

тЕЫЕОЙЕ 66. œОБЮБМЕ ОБКДЕН ХУТЕДОЕООХА РП РБТБНБЗОЙФОЩН РТЙНЕУСН ЖХОЛГЙА зТЙОБ. дМС ФПЗП ЮФПВЩ ЕЕ ŒЩЮЙУМЙФШ, НЩ ЙУРПМШЪХЕН НПДЙЖЙГЙТПŒБООХА ЛТЕ-

УФПŒХА ФЕИОЙЛХ. œŒЕДЕН ЮЕФЩТЕИЛПНРПОЕОФОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ
G = −	Tfi	+(r; fi )	+(0; 0)		Tfi ¸(r; fi )	+(0; 0)			(10.190)
	Tfi	¸+(r; fi )	˛ (0; 0)		Tfi ¸(r; fi )	˛ (0; 0)
		¸	˛			˛

(¸ Й ˛ { УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ). рТЙ ЬФПН ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ПФУХФУФŒЙЕ РТЙНЕУЕК ТБŒОБ

	−	!2 + ‰2	+ ´2	´+	(i!n		‰)‹¸˛
G0 =		1		(i!n + ‰)‹¸˛	−´¸˛			;	(10.191)
		n		− ¸˛		−

10.5. теыеойс		315
Á ´¸˛ = i´ y	( i	{ УРЙОПŒЩЕ НБФТЙГЩ рБХМЙ). лБЛ Й Œ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЕ, ОБКДЕН
¸˛	¸˛

УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЙЪ ДЙБЗТБННЩ ОБ ТЙУ. 10.16:

α µ		ν	β

òÉÓ. 10.16

œ УМХЮБЕ РБТБНБЗОЙФОЩИ РТЙНЕУЕК ЫФТЙИПŒБС МЙОЙС ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА УРЙОПŒХА УФТХЛФХТХ. еЕ НПЦОП ОБКФЙ, ŒЩЮЙУМЙŒ ЛПТТЕМСФПТ ЖМХЛФХБГЙК РТЙНЕУОПЗП РПФЕОГЙБМБ:

! a	J ‹(r − ra) ¸˛i Sia		J ‹(r − rb) —k Skb " = nÍÁÇJ 2‹(r − r ) SiSk ¸˛i	—k =
		S(S + 1)	b
	=		nÍÁÇJ 2‹(r − r ) ¸˛i —i :	(10.192)
		3

уФПСЭЕЕ ЪДЕУШ УЛБМСТОПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ НБФТЙГ рБХМЙ НПЦОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, ЙУРПМШЪХС ФПЦДЕУФŒП жЙТГБ (cН. [9], § 28):

		¸˛i —i = 2‹¸ ‹˛— − ‹¸˛ ‹— :						(10.193)
фБЛЙН ПВТБЪПН,
	nÍÁÇ	J 2S(S			∞			(10.194)
					−∞
˚¸˛ (i!n) = − 3			+ 1) (2‹¸˛ ‹— − ‹¸—‹˛ )			G— (i!n; ‰) 0 d‰ :
рПДУФБŒЙН ŒОБЮБМЕ Œ ЬФПФ ЙОФЕЗТБМ G
УФП, Й НЩ РПМХЮБЕН				0. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РТПЙЪŒПДЙФУС ДПŒПМШОП РТП-
			−2ıfis		!n2 + ´2
			1		'			(10.195)
	˚¸˛ (i!n) =			i!n1 − 2‹¸˛ ´— ‹—		fix	+ ´¸˛ fix ;
ÇÄÅ					3
			fis = ı 0nÍÁÇJ 2S(S + 1)					(10.196)

| ŒТЕНС ТЕМБЛУБГЙЙ УРЙОБ ОБ РТЙНЕУСИ. рПУЛПМШЛХ ´— ‹— = 0, ФП НЩ РПМХЮБЕН

		0	−			0	ЪБНЕОПК !	n		É ´ ÎÁ
ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФП G−1		= G−1	˚ ПФМЙЮБЕФУС ПФ G
!~n = !n 1 +		2	;	´~ = ´ 1			2		:		(10.197)
		1					1
	2fis'!n + ´2			− 2fis'!n + ´2

316						змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш
пДОБЛП ЪБНЕФЙН, ЮФП ФЕРЕТШ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ ЪБДБЮЙ 64,
				~	= !=´ :				(10.198)
			!=~ ´
рПЬФПНХ ЕУМЙ ФЕРЕТШ РПДУФБŒЙФШ G Œ (10.194), ФП РПМХЮЙФУС ДТХЗПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ˚. рП-
РТПВХЕН ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ	УБНПУПЗМБУПŒБООП, РПДУФБŒМСС Œ (10.194)								G У ОЕЙЪŒЕУФОЩНЙ
!~ É ´.~ фПЗДБ		(i!			1	~n	~
			) =				+ ´		(10.199)
						'
	˚					i!~n1 − ´¸˛ fix :
	¸˛	n		−2ıfis		!2	~ 2

хТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ ФЕРЕТШ РТЙŒПДЙФ Л ХУМПŒЙА УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, ПРТЕДЕМСАЭЕНХ

~
!~ É ´:
!~ = ! +		!~	;		(10.200)
	2fis'!~2 + ´~ 2
~		~
		´		:
´ = ´ −		2fis'!~2 + ´~ 2			(10.201)

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ зПТШЛПŒБ (10.38), ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ЭЕМШ:

´ = – T	!n		∞		0 d‰ F (i!n; ‰) =
		−∞			∞	~		~
						´ 0 d‰		!~n	+ ´
= – T				−∞		!~n2 + ´~ 2 + ‰2 = ı– 0T		'	~ 2	: (10.202)
			!n				!n	2
~	!=´, ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ ПФМЙЮБЕФУС ПФ ХТБŒОЕОЙС ДМС ЮЙУФПЗП
éÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ !=~ ´ =

УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ.

œЩŒЕДЕН ПФУАДБ ХТБŒОЕОЙЕ, ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ФЕНРЕТБФХТХ РЕТЕИПДБ УŒЕТИРТПŒПД-

				c		→		0, ТЕЫЙН ХТБŒОЕОЙС (10.200),
	ОЙЛБ У РБТБНБЗОЙФОЩНЙ РТЙНЕУСНЙ T . рПМБЗБС ´
	(10.201):				´~ 1 + 2fi	1	!~ = ´ :		(10.203)
	!~ = ! + 2fi sign ! ;
		1
		s				s|		|
	фПЗДБ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ Tc ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:
				~				1
	1 = 2ı– 0T			´	= 2ı– 0T				=
	c			´~!n	c
		!n>0			!n>0 !~n + 1=2fis
	= 2ı– 0Tc				1				(10.204)
					:
			!n>0 !n + 1=fis

пУФБОПŒЙНУС ОБ ЖЙЪЙЮЕУЛПН УНЩУМЕ ЬФПК ЖПТНХМЩ. рТЙ ТБУУЕСОЙЙ ОБ РБТБНБЗОЙФОПК РТЙНЕУЙ УРЙО ЬМЕЛФТПОБ НПЦЕФ РЕТЕŒЕТОХФШУС, Й fis ЕУФШ УТЕДОЕЕ ŒТЕНС НЕЦДХ ДŒХНС РЕТЕŒПТПФБНЙ УРЙОБ, Ф. Е. ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ. ъОБНЕОБФЕМШ Œ

10.5. теыеойс

317

(10.204) ПРЙУЩŒБЕФ ТБЪŒБМ ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ ЙЪ-ЪБ ТБУУЕСОЙС ОБ НБЗОЙФОЩИ РТЙНЕУСИ Й ХНЕОШЫЕОЙЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП ŒТЕНЕОЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

åÓÌÉ fis ŒЕМЙЛП РП УТБŒОЕОЙА У h=T— c , ФП РБТБНБЗОЙФОЩЕ РТЙНЕУЙ МЙЫШ УМЕЗЛБ УДŒЙЗБАФ Tc. îÏ ÐÒÉ fis ≈ h=T— c УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ РПМОПУФША РПДБŒМСЕФУС. оБКДЕН ЛТЙФЙЮЕУЛПЕ fis , РПМБЗБС Tc = 0 Й ЪБНЕОСС УХННХ ОБ ЙОФЕЗТБМ:

1

– 0

		2‚!D	!D	d!
	= ln		=		= ln(!D fis ) ;	(10.205)
		ıTc		! + 1=fis
			0

ПФЛХДБ
fi = 2‚h=— (ıTc) :	(10.206)
s

фБЛЙН ПВТБЪПН, РБТБНБЗОЙФОЩЕ РТЙНЕУЙ ДБЦЕ Œ НБМЩИ ЛПОГЕОФТБГЙСИ НПЗХФ УХЭЕУФŒЕООП РПŒМЙСФШ ОБ УŒПКУФŒБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ Й ДБЦЕ РПМОПУФША РПДБŒЙФШ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ. рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ПРТЕДЕМЕООПН ЙОФЕТŒБМЕ РП ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК УХЭЕУФŒХЕФ ТЕЦЙН ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ВЕУЭЕМЕŒПК УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ, Œ ЛПФПТПН УПРТПФЙŒМЕОЙЕ НЕФБММБ ТБŒОП ОХМА, ОП ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЭЕМШ ПФУХФУФŒХЕФ. фБЛ РПМХЮБЕФУС ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП РТЙНЕУЙ НЕОСАФ ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ РБТЕ РП-ТБЪОПНХ Œ ТБЪОЩИ ЮБУФСИ ПВТБЪГБ. юЙФБФЕМШ, ЙОФЕТЕУХАЭЙКУС ЬФЙН ЬЖЖЕЛФПН, НПЦЕФ ПВТБФЙФШУС Л ПТЙЗЙОБМШОПК ТБВПФЕ 7.

тЕЫЕОЙЕ 67. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 64, НЩ ŒОБЮБМЕ ОБКДЕН ЛХРЕТПŒУЛХА РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, Б ЪБФЕН РПДУФБŒЙН ЕЕ Œ ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС. œЩЮЙУМЕОЙЕ ЛХРЕТПŒУЛПК МЕУФОЙГЩ ŒП ŒОЕЫОЕН НБЗОЙФОПН РПМЕ Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ДПŒПМШОП УМПЦОП. пДОБЛП ЕУМЙ РПМЕ НЕДМЕООП НЕОСЕФУС ОБ ДМЙОЕ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ, ЬФБ ЪБДБЮБ УЙМШОП ХРТПЭБЕФУС. ъБНЕФЙН, ЮФП ДŒЕ УФХРЕОШЛЙ РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ ОБИПДСФУС ДТХЗ ПФ ДТХЗБ ОБ ТБУУФПСОЙЙ РПТСДЛБ l. ьФП РПЪŒПМСЕФ РТЕОЕВТЕЮШ ЙЪНЕОЕОЙЕН РПМС ОБ ПДОПК УФХРЕОШЛЕ Й ТБУУНПФТЕФШ УФХРЕОШЛХ Œ РПУФПСООПН РПМЕ. йЪНЕОЕОЙЕ РПМС НЩ ХЮФЕН, РЕТЕИПДС Л УХННЙТПŒБОЙА УФХРЕОЕЛ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ ЮХŒУФŒХЕФ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ОБ УŒПЕН ПФТЕЪЛЕ ФТБЕЛФПТЙЙ.

рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ОЕПДОПТПДОЩЕ ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, НЩ ŒОБЮБМЕ ŒЩЮЙУМЙН РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ РТЙ ОЕОХМЕŒПН УХННБТОПН ЙНРХМШУЕ s Œ ОХМЕŒПН НБЗОЙФОПН РПМЕ. ьФП НПЦОП УДЕМБФШ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 54. пДОБ

УФХРЕОШЛБ МЕУФОЙГЩ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФПЮОП ФБЛ ЦЕ:
Bc =	4ı	i	0	i	=
	d˙		d‰
=	i! − ‰ + 2fi sign ! −i! − ‰ + sv − 2fi sign !				(10.207)
	4ı 1 + 2|!|fi0+ ifi sv =		1 + 2|!|fi 0+ fi Ds2
	d˙	2ı fi	2ı fi
(D | ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ). уХННЙТХС МЕУФОЙГХ, РПМХЮБЕН
	C! (s) =	Bc	2ı 0	:	(10.208)
		1 − Bc=2ı 0fi	= 2|!| + Ds2

7б. б. бВТЙЛПУПŒ, м. р. зПТШЛПŒ, цьфж, Ф. 39, У. 178 (1960)

318	змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

фЕРЕТШ РПРТПВХЕН ХЮЕУФШ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ. рХУФШ УОБЮБМБ ЕЗП ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ A(r) РПУФПСОЕО. фПЗДБ ЕЗП ХЮЕФ УŒЕДЕФУС Л УДŒЙЗХ ЙНРХМШУПŒ p → p − eA=c Œ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ. рПЬФПНХ Œ РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЕ s ЪБНЕОЙФУС ОБ s−2eA=c. уМЕДПŒБФЕМШОП,

C! =	2		!	2ı 0			2e A	2 :	(10.209)
				+ D	s
		|	|			−	c

хДПВОП ЪБРЙУБФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. вХДЕН УЮЙФБФШ C! (r; r ) ЖХОЛГЙЕК ОБЮБМШОПК Й ЛПОЕЮОПК ФПЮЕЛ. ъБНЕОСС s ОБ −i r, РЕТЕРЙЫЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ Œ ЖПТНЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС:

2

|

!

+ D

i

@

−

2e A

2

C! (r; r ) = 2ı 0‹(r

−

r ) :

(10.210)

|

−

@r

c

юФП ЙЪНЕОЙФУС, ЕУМЙ A(r) | НЕДМЕООП НЕОСАЭБСУС ЖХОЛГЙС? еУМЙ НЩ ОБНЕТЕОЩ ХЮЙФЩŒБФШ МЙЫШ РЕТŒЩЕ ДŒБ РПТСДЛБ РП A Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ (10.209), ФП МЕЗЛП РПОСФШ, ЮФП ŒУЕ ŒПЪНПЦОЩЕ ХУМПЦОЕОЙС УŒСЪБОЩ У РПСŒМЕОЙЕН ЮМЕОПŒ, ЪБŒЙУСЭЙИ ПФ div A, РПУЛПМШЛХ ЬФП ЕДЙОУФŒЕООБС ŒТБЭБФЕМШОП ЙОŒБТЙБОФОБС ЛПНВЙОБГЙС ЙЪ РТПЙЪŒПДОЩИ A. (йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ЕУМЙ A УФБОПŒЙФУС ЖХОЛГЙЕК r, ŒПЪОЙЛБЕФ ŒПРТПУ П РПТСДЛЕ ПРЕТБФПТПŒ A(r) Й Œ ЛХРЕТПОЕ.) оП ŒЩВЙТБС ЛБМЙВТПŒЛХ, Œ ЛПФПТПК div A = 0, НЩ ŒУЕЗДБ НПЦЕН ДПВЙФШУС ЙУЮЕЪОПŒЕОЙС РПДПВОЩИ РПРТБŒПЛ. рПЬФПНХ ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ РТЙНЕУОХА МЕУФОЙГХ, ДПУФБФПЮОП ТЕЫЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ

2

|

!

+ D

i

@

−

2e A(r)

2

C! (r; r ) = 2ı 0‹(r

−

r ) :

(10.211)

|

−

@r

c

ьФП ХТБŒОЕОЙЕ НПЦОП ŒЩŒЕУФЙ Й ОБРТСНХА. дМС ЬФПЗП ОБДП ТБУУНПФТЕФШ ФБЛЙЕ РПРТБŒЛЙ Л ПДОПК ĂУФХРЕОШЛЕĄ:

òÉÓ. 10.17

(œПМОЙУФЩЕ МЙОЙЙ ОБ ЬФПН ТЙУХОЛЕ ЙЪПВТБЦБАФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ŒОЕЫОЙН НБЗОЙФОЩН РПМЕН.) рПУМЕ ЬФПЗП УХННЙТПŒБОЙЕ МЕУФОЙГЩ ДБЕФ ХТБŒОЕОЙЕ (10.211).

10.5. теыеойс

319

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС, РПМБЗБС ´ → 0. œВМЙЪЙ Hc2 УПУФП-

СОЙЕ ОЕПДОПТПДОП, РПЬФПНХ ´ ЪБŒЙУЙФ ПФ r. хТБŒОЕОЙЕ зПТШЛПŒБ ЙНЕЕФ ŒЙД
	∞		d!
´(r) = –		F (!; r; r)	2ı	:	(10.212)

−∞

бОПНБМШОБС ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС F (!; r; r) ДБЕФУС РТЙ ´ → 0 ЕДЙОУФŒЕООПК ДЙБЗТБННПК:

òÉÓ. 10.18

уТБŒОЙŒБС ЕЕ У ДЙБЗТБННПК ДМС РТЙНЕУОПК МЕУФОЙГЩ, ОБИПДЙН

F (!; r; r) = ´(r ) C! (r; r ) d3r : (10.213)

рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

∞ d!
´(r) = –	2ı		C! (r; r ) ´(r ) d3r :	(10.214)
−∞

юФПВЩ ОБКФЙ ЕЗП ТЕЫЕОЙС, ХДПВОП ТБЪМПЦЙФШ ´(r) РП ОПТНЙТПŒБООЩН УПВУФŒЕООЩН ЖХОЛГЙСН ’n(r) ПРЕТБФПТБ Œ МЕŒПК ЮБУФЙ (10.211). ьФЙ ЖХОЛГЙЙ ПВМБДБАФ ФБЛЙНЙ УŒПКУФŒБНЙ:

	@	2e	2
			A(r)
D −i @r −		c		’n(r) = —n’n(r) ;				(10.215)
	’n(r) ’m(r) d3r = ‹nm							(10.216)
(—n | n-Е УПВУФŒЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ). ъБРЙЫЕН ´(r) Œ ŒЙДЕ
	´(r) = ´n ’n(r) :							(10.217)
			n
лХРЕТПО НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ’n(r):
				’n(r) ’ (r )
					| |	n	:	(10.218)
	C! (r; r ) = 2ı 0
			n	2 ! + —n

ьФП УППФОПЫЕОЙЕ МЕЗЛП РТПŒЕТЙФШ, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЬФБ ЖХОЛГЙС Œ УЙМХ (10.215) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА РТЙ r = r , Б РТЙ r → r МЕŒБС ЮБУФШ ХТБŒОЕОЙС УПŒРБДБЕФ У ‹-ЖХОЛГЙЕК, РПУЛПМШЛХ ЙОФЕЗТБМ ПФ ОЕЕ РП r ТБŒЕО 1 Œ УЙМХ (10.216).

320						змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш
фПЗДБ ХТБŒОЕОЙЕ (10.214) РЕТЕРЙЫЕФУС ФБЛ:
∞	2ı					– ´n d!		:	(10.219)
´n =	2	|	!	0		+ —n 2ı
−∞				|
пОП ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОПЕ ТЕЫЕОЙЕ РТЙ
1	∞					d!
0– =			2	|	!		+ —n :		(10.220)
−∞						|
йОФЕЗТБМ УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ УŒЕТИХ РТЙ ! = !D , ЛБЛ Й ТБОЕЕ. œ ТЕЪХМШФБФЕ
1	= ln					2!D :			(10.221)
0–						—n

оБКДЕН УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС —n. дМС ЬФПЗП ОХЦОП ТЕЫЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ (10.215). œЩВЕТЕН ЛБМЙВТПŒЛХ Ay = −H x. фПЗДБ НПЦОП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ (10.215) УПŒРБДБЕФ У ХТБŒОЕОЙЕН ыТЕДЙОЗЕТБ ДМС ЮБУФЙГЩ У НБУУПК m = (2D)−1, ЪБТСДПН q = 2e Й ЬОЕТЗЙЕК —n Œ НБЗОЙФОПН РПМЕ H . йЪ ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЙ ЙЪŒЕУФОП, ЮФП Œ ЬФПН УМХЮБЕ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОŒЮЕОЙС ФБЛПŒЩ:

En = !H n		1			h—2k2		qH
	+	2		+	2mz ; !H =		mc	:	(10.222)
ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП						+ Dkz2 :
4DeH					1
—n =	c			n + 2					(10.223)

рПУЛПМШЛХ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ТБУФХФ У ТПУФПН H , ЛТЙФЙЮЕУЛПЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ПРТЕДЕМСЕФУС ОБЙНЕОШЫЙН УПВУФŒЕООЩН ЪОБЮЕОЙЕН. пОП ТБŒОП —0 = 2DeH=c. фБЛЙН ПВТБЪПН,

	1	= ln	!D c		:	(10.224)
	0–		DeHc2
œЩТБЦБС – ЮЕТЕЪ Tc У РПНПЭША (10.73), РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОП
Hc2	=	ı Tcc	=	ı Tc	˘0 ;	(10.225)
	2‚ De			‚ hD—
ÇÄÅ ˘0 = hc=— 2e | ЛŒБОФ РПФПЛБ.
ъБНЕФЙН, ЮФП УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ, ПФŒЕЮБАЭЙЕ НЙОЙНБМШОПНХ УПВУФŒЕООПНХ
ЪОБЮЕОЙА, МПЛБМЙЪПŒБОЩ:
’n;ky (x; y; z) =		1		eiky y e−(x−x0)2=2lH2 ;		(10.226)
		ı1=4l1=2
		H

ÇÄÅ	'

lH = hc=— (qH ) ; x0 = cky =(qH ) :

(10.227)