Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

8.1. лœбъйюбуфйгщ

181

лŒБЪЙЮБУФЙГЩ СŒМСАФУС ЬМЕНЕОФБТОЩНЙ ŒПЪВХЦДЕОЙСНЙ Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. пОЙ ПВТБЪПŒБОЩ ЖЕТНЙПОБНЙ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ĂПДЕФЩНЙĄ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН У ДТХЗЙНЙ ЖЕТНЙПОБНЙ. нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПРЙУБОЙЕ ĂПДЕŒБОЙСĄ ДПУФЙЗБЕФУС ŒŒЕДЕОЙЕН Œ ФЕПТЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП РПМС, ДЕКУФŒХАЭЕЗП ОБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ. ьФП РПМЕ ПРТЕДЕМЕООЩН ПВТБЪПН ЪБŒЙУЙФ ПФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ŒУЕИ ПУФБМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙОБНЙЛБ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПРТЕДЕМСАФУС УБНПУПЗМБУПŒБООП.

юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛЙЕ ЬЖЖЕЛФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ СŒМСАФУС ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩНЙ, ТБУУНПФТЙН ЖЕТНЙ-ЗБЪ, Œ ЛПФПТПН ПДОБ ЙЪ ЮБУФЙГ ЙНЕЕФ ОЕВПМШЫХА ЬОЕТЗЙА " > 0 ОБД ХТПŒОЕН жЕТНЙ. вМБЗПДБТС НЕЦЮБУФЙЮОПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ТБУУНБФТЙŒБЕНБС ЮБУФЙГБ НПЦЕФ РЕТЕКФЙ Œ УПУФПСОЙЕ У НЕОШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК 0 < " < ", ПДОПŒТЕНЕООП ТПДЙŒ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОХА РБТХ У ЬОЕТЗЙЕК ‹" = " − " . ðÒÉ "; " EF РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК РБТ У ЬОЕТЗЙЕК ‹" НПЦОП ПГЕОЙФШ ЛБЛ 02‹", Й РПЬФПНХ, УПЗМБУОП ЪПМПФПНХ РТБŒЙМХ, ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ ОБ ЮБУФЙГХ У НЕОШЫЕК ЬОЕТЗЙЕК Й ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОХА РБТХ ЕУФШ ‚(") = –"2, ÇÄÅ – ≈ (e2=hv— F )2=EF . йЪ УЛБЪБООПЗП УМЕДХЕФ, ЮФП ‚(") ", Ф. Е. ŒТЕНС ЦЙЪОЙ ЮБУФЙГЩ ПЮЕОШ ŒЕМЙЛП. фБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН НПЦОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ЮБУФЙГ У НБМПК ЬОЕТЗЙЕК ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ РТПЙУИПДЙФ ПЮЕОШ ТЕДЛП, РПУЛПМШЛХ РТЙ НБМПК ЬОЕТЗЙЙ ЖБЪПŒЩК ПВ ЕН ЛПОЕЮОЩИ УПУФПСОЙК ТБУУЕСОЙС ПЛБЪЩŒБЕФУС ПЮЕОШ НБМ. пФНЕФЙН, ЮФП ЬФЙ ŒЩŒПДЩ УРТБŒЕДМЙŒЩ ДБЦЕ РТЙ УЙМЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. фТЕВХЕФУС МЙЫШ, ЮФПВЩ ЬОЕТЗЙС ЮБУФЙГЩ ВЩМБ ВМЙЪЛБ Л ХТПŒОА жЕТНЙ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩН ЬЖЖЕЛФПН Œ ДЙОБНЙЛЕ ЮБУФЙГ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД 1. рТЙ ТБУУЕСОЙЙ ЮБУФЙГЩ ŒРЕТЕД ПУФБМШОБС

ЖЕТНЙ-УЙУФЕНБ ПВТБЪХЕФ УŒПЕЗП ТПДБ ПДОПТПДОХА РТЕМПНМСАЭХА УТЕДХ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЛПФПТПК ДБЕФ РПРТБŒЛХ ‹" t Л ЖБЪЕ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ЮБУФЙГЩ e−i("(0)+‹")t,

ÇÄÅ		f (p; p )‹n(p ; r) (2ı)3	(8.2)
‹" =
		d3p

| ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЖХОЛГЙПОБМ мБОДБХ. тБУУЕСОЙЕ ŒРЕТЕД ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ТПЦДЕОЙА ДТХЗЙИ ЮБУФЙГ ЙМЙ ДЩТПЛ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒПЪОЙЛБЕФ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ П ĂЛŒБЪЙЮБУФЙГБИĄ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ ДŒЙЦЕФУС Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ПЛТХЦБАЭЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.

ьОЕТЗЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ " Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ЙНРХМШУБН ŒУЕИ ПУФБМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ:

"(p; ‹n) = "(0)(p) +	f (p; p )‹n(p ; r) (2ı)3	(8.3)
	d3p

ъДЕУШ p | ЙНРХМШУ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, "(0)(p) = vF (p − p0) | ЬОЕТЗЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, Б ‹n = n−nF | ПФЛМПОЕОЙЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПФ ТБŒОПŒЕУОПЗП ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС. жХОЛГЙС f (p; p ) ПРТЕДЕМСЕФ ЪБŒЙУЙНПУФШ ЬОЕТЗЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЙНРХМШУПН p ПФ УПУФПСОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ У ЙНРХМШУПН p .

1м. д. мБОДБХ, цьфж, Ф. 30, У. 1058{1064 (1956).

182	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

фЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ДБЕФ УŒСЪШ НЕЦДХ ЖХОЛГЙЕК f (p; p ) Й ОБВМАДБЕНЩНЙ ŒЕМЙЮЙОБНЙ, ФБЛЙНЙ ЛБЛ ФЕРМПЕНЛПУФШ, НБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ Й Ф. Р. (УН. [1], § 19, 22). рТЙ ЬФПН, ЛБЛ НЩ ХВЕДЙНУС, ЖХОЛГЙПОБМ (8.3) РПМОПУФША ПРТЕДЕМСЕФ ДЙОБНЙЛХ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ.

8.2. лЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ. лПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ

œЩТБЦЕОЙЕ (8.3) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЗБНЙМШФПОЙБО H ПДОПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ, ДŒЙЦХЭЕКУС Œ УБНПУПЗМБУПŒБООПН РПМЕ ДТХЗЙИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ. дЙОБНЙЛБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ ПРЙУЩŒБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН зБНЙМШФПОБ @n=@t = {H; n}, ÇÄÅ {:::} = [@=@r ; @=@p] | УЛПВЛЙ рХБУУПОБ. œЩЮЙУМСС УЛПВЛЙ рХБУУПОБ У ЗБНЙМШФПОЙБОПН (8.3), РПМХЮБЕН ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ 2:

@n	+	@n @"	−	@n @"	= 0 :	(8.4)
@t		@r @p		@p @r

тБУУНПФТЙН ЛПМЕВБОЙС УЙУФЕНЩ, ПФŒЕЮБАЭЙЕ НБМЩН ПФЛМПОЕОЙСН ПФ ТБŒОПŒЕУЙС. дМС ЬФПЗП РТЕДУФБŒЙН ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС Œ ŒЙДЕ n = n0 + ‹n Й МЙОЕБТЙЪХЕН ХТБŒОЕОЙЕ (8.4) РП ‹n. рПМХЮЙН

@‹n	+	@‹n @"(0)	−	@‹" @n0	= 0 ;	(8.5)
@t		@r @p		@r @p

ЗДЕ ‹" | ЖХОЛГЙПОБМ мБОДБХ (8.2).

оБУ ЙОФЕТЕУХАФ ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС (8.5), ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ŒТЕНЕОЙ Й ЛППТДЙОБФ ЛБЛ e−i!t+ikr. оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП ŒУЕ ТЕЫЕОЙС ‹n ЙНЕАФ ‹-ЖХОЛГЙПООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ |p| Й МПЛБМЙЪПŒБОЩ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ |p| = p0. рПЬФПНХ, ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН ЙУРПМШЪПŒБФШ Œ ЛБЮЕУФŒЕ ОЕЪБŒЙУЙНПК РЕТЕНЕООПК ЖХОЛГЙА ЕДЙОЙЮОПЗП ŒЕЛФПТБ

n ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ:		‹n(p) d|p| ;
u(n) =			(8.6)

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС ŒДПМШ МХЮБ p n. œЕМЙЮЙОБ u(n) ЙНЕЕФ УНЩУМ ОПТНБМШОПЗП УНЕЭЕОЙС ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ Œ ФПЮЛЕ p0n.

йЪ (8.5) НПЦОП РПМХЮЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС u(n), ЛПФПТПЕ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

(! − kv)u(n) = kv	F (n; n )u(n ) 4ı	;	(8.7)
	dn

ÇÄÅ v = vF n, Б ЖХОЛГЙС F УŒСЪБОБ У ЖХОЛГЙЕК f Œ ЖХОЛГЙПОБМЕ мБОДБХ (8.2) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

F (n; n ) = 0f (p; p ) p =	p	=p0 ;	(8.8)
| | |	|

ÇÄÅ 0 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ.

2м. д. мБОДБХ, цьфж, Ф. 32, У. 59{66 (1957).

8.2. лйоефйюеулпе хтбœоеойе. лпммелфйœоще нпдщ

183

рПМХЮЕООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ (8.7) УМЕДХЕФ ТБУУНБФТЙŒБФШ, ЛБЛ ХТБŒОЕОЙЕ ОБ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС !(k). пОП ЙНЕЕФ ТЕЫЕОЙС ДŒХИ ФЙРПŒ: ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩЕ Й ЛПММЕЛ-

ФЙŒОЩЕ. дМС ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩИ ТЕЫЕОЙК УŒСЪШ ! Й k ЕУФШ ! = kv, Б УППФŒЕФУФŒХАЭБС ЖХОЛГЙС u(n) ПРЙУЩŒБЕФ ЮБУФЙГХ У ПРТЕДЕМЕООЩН ОБРТБŒМЕОЙЕН УЛПТПУФЙ v. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ЖХОЛГЙС u(n) ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ ЙНЕЕФ УЙОЗХМСТОЩК ИБТБЛФЕТ:

u(n ) = ‹(2)(n − n) + ureg(n ) ;

(8.9)

лТПНЕ ‹-ЖХОЛГЙЙ, МПЛБМЙЪПŒБООПК Œ ФПЮЛЕ n = v=|v| ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.9) УПДЕТЦЙФ ureg(n) | ВПМЕЕ РМБŒОХА ЖХОЛГЙА, ПВЩЮОП ЙНЕАЭХА РПМАУЩ РТЙ kv = ! (УН. ЪБДБЮХ 43).

тЕЫЕОЙС ДТХЗПЗП ФЙРБ ПРЙУЩŒБАФ ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ ЛПМЕВБОЙК ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ, ЙМЙ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ОХМЕŒПК ЪŒХЛ. тБУУНПФТЙН РТПУФЕКЫЙК УМХЮБК, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ МПЛБМШОП Й ЙЪПФТПРОП, Ф. Е. ЖХОЛГЙС F ЕУФШ РТПУФП ЛПОУФБОФБ: F (n; n ) = F0. (рТЙНЕТПН УЙУФЕНЩ У ЖХОЛГЙЕК мБОДБХ РПДПВОПЗП ŒЙДБ СŒМСЕФУС ЦЙДЛЙК 3He.) œ ЬФПН УМХЮБЕ, ŒŒЙДХ УЙННЕФТЙЙ ЪБДБЮЙ, ЖХОЛГЙС u(n) ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ХЗМБ „ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ n Й k. рПЬФПНХ ХТБŒОЕОЙЕ (8.7) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

(s − cos „)u(„) = 20	cos „	u(„ )d„ ;	ÇÄÅ s = vF |k| :	(8.10)
F			!

тЕЫЕОЙЕ ХТБŒОЕОЙС (8.10) ЕУФШ u(n) = A cos „=(s − cos „), ЗДЕ A | РТПЙЪŒПМШОБС ЛПОУФБОФБ. рПДУФБŒМСС ЬФП ТЕЫЕОЙЕ Œ (8.10), ОБИПДЙН

s	s + 1		1	:
2 ln s − 1		− 1 =	F0		(8.11)
рТЙ МАВПН ПФФБМЛЙŒБФЕМШОПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ (Ф. Е. РТЙ F0					> 0) ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ

ЙНЕЕФ ТПŒОП ПДОП ŒЕЭЕУФŒЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ s > 1 Й, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ПРТЕДЕМСЕФ ЖХОЛГЙА s(F0). рПЬФПНХ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ ПЛБЪЩŒБЕФУС МЙОЕКОЩН: !0(k) = s(F0)vF |k|.

рПУЛПМШЛХ s(F0) > 1, ЮБУФПФБ !0(k) РТЙ МАВПН k МЕЦЙФ ŒЩЫЕ ЗТБОЙГЩ ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОПЗП УРЕЛФТБ: !0(k) > vF |k|. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ОХМШ-ЪŒХЛБ Й ДЙОБНЙЛБ ПФДЕМШОЩИ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ĂТБЪŒСЪБОЩĄ , ŒУМЕДУФŒЙЕ ЮЕЗП ОХМШ-ЪŒХЛПŒБС НПДБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕЪБФХИБАЭЕК. пФНЕФЙН, ЮФП ВПМЕЕ ФПЮОПЕ НЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЕ ТБУУНПФТЕОЙЕ РПЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ЬФЙ ТЕЪХМШФБФЩ УРТБŒЕДМЙŒЩ МЙЫШ РТЙ ОЕ УМЙЫЛПН ВПМШЫЙИ k (УН. ЪБДБЮЙ 44 В, 47 В). пВЩЮОП ЪБЛПОЩ ДЙУРЕТУЙЙ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ НПД Œ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ ЙНЕАФ ФПЮЛХ ПЛПОЮБОЙС kmax, Œ ЛПФПТПК РТПЙУИПДЙФ УМЙСОЙЕ У ЛŒБЪЙЮБУФЙЮОЩН УРЕЛФТПН | УН. ТЙУХОЛЙ 8.2, 8.9, Б ФБЛЦЕ ЪБДБЮХ 73 В).

лПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ НПЗХФ ЪБФТБЗЙŒБФШ ОЕ ФПМШЛП ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ, ОП Й РПМСТЙЪБГЙА УРЙОБ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ЗПŒПТСФ П УРЙОПŒЩИ ŒПМОБИ (УН. ЪБДБЮХ 47).

пУФБОПŒЙНУС ОБ ФПН, ЛБЛ ŒЙДПЙЪНЕОСАФУС ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ Œ НЕФБММЕ, ЗДЕ

ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ ЛХМПОПŒУЛПЕ, Ф. Е. ДБМШОПДЕКУФŒХАЭЕЕ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒНЕУФП ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ ŒПЪОЙЛБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩЕ РМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС. ъБРЙ-

ЫЕН ХТБŒОЕОЙЕ (8.4) У ХЮЕФПН УЙМЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ВМБЗПДБТС ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПНХ РПМА

184		змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй
E = − ˘:
@n	+ (v r)n + e(E p)n = 0 ;			(8.12)
@t			|r − r
˘(r) = e		n(p; r ) (2ı)3 − n0		| ;
		d3p	d3r

ÇÄÅ n0 | РМПФОПУФШ ЖПОПŒПЗП РПМПЦЙФЕМШОПЗП ЪБТСДБ. лБЛ Й ŒЩЫЕ, МЙОЕБТЙЪХЕН ХТБŒОЕОЙЕ Й РЕТЕКДЕН Œ ЙНРХМШУОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ.

рПМХЮБАЭЙЕУС ХТБŒОЕОЙС ПЛБЪЩŒБАФУС ФПЮОП ФБЛЙНЙ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ УМХЮБЕ ОХМЕŒПЗП ЪŒХЛБ, У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ F0 → 4ıe2 =k2, ÇÄÅ = 2 0 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК У ХЮЕФПН УРЙОБ. ьФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП ХТБŒОЕОЙЕ (8.12), ЕУМЙ ŒЩТБЪЙФШ Œ ОЕН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПЕ РПМЕ ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ, РТЙПВТЕФБЕФ ФБЛХА ЦЕ ЖПТНХ, ЛБЛ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (8.7) У ОЕМПЛБМШОЩН ЖХОЛГЙПОБМПН мБОДБХ:

‹"(r) =			r	(pr r )		(2ı)3 ;	(8.13)
		e2‹n			;	d3r d3p
		|		−	|

лБЛ Й Œ УМХЮБЕ ЙЪПФТПРОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЬОЕТЗЙС ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ РПМОПК РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ. рПЬФПНХ Й ХЗМПŒБС ЪБŒЙУЙНПУФШ УНЕЭЕОЙК ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, Й ДЙУРЕТУЙПООПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ŒЩЗМСДСФ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ОХМШ-ЪŒХЛБ:

!	ln	! + vF |k|	−	1 =	k2	:	(8.14)
2vF |k|		! − vF |k|			4ıe2

юБУФПФБ !(k), ПРТЕДЕМСЕНБС ЙЪ ХТБŒОЕОЙС (8.14), ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОПК РТЙ НБМЩИ k: !0 ≡ !(k → 0) = (4ıne2=m)1=2, ЮФП УПŒРБДБЕФ У ЙЪŒЕУФОЩН ЛМБУУЙЮЕУЛЙН ТЕЪХМШФБФПН ДМС РМБЪНЕООПК ЮБУФПФЩ. рПДТПВОЕЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНЕООЩИ ŒПМО ВХДЕФ ТБУУНПФТЕО Œ ЪБДБЮЕ 44.

рПДŒЕДЕН ЙФПЗ. в«ПМШЫБС ЮБУФШ ŒПЪВХЦДЕОЙК Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ | ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ | ЙНЕЕФ ФПЮОП ФБЛПК ЦЕ УРЕЛФТ Й ДЙОБНЙЛХ, ЛБЛ Й Œ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. лТПНЕ ФПЗП, ВМБЗПДБТС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА НПЗХФ РПСŒЙФШУС ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ НПДЩ РМБЪНЕООЩИ ЙМЙ ОХМШ-ЪŒХЛПŒЩИ ЛПМЕВБОЙК. рПСŒМЕОЙЕ ЛПММЕЛФЙŒОЩИ НПД Й ЕУФШ ПУОПŒОПК ЛБЮЕУФŒЕООЩК ЬЖЖЕЛФ, Л ЛПФПТПНХ РТЙŒПДЙФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ.

8.3. рТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ

пВУХДЙН ФЕРЕТШ, ЛБЛ НПЦОП РТПЛŒБОФПŒБФШ ДЙОБНЙЛХ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, ЙУРПМШЪХС ЗБНЙМШФПОПŒ ЖПТНБМЙЪН. дМС ЬФПЗП РПФТЕВХЕФУС ŒŒЕУФЙ ПРЕТБФПТЩ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОЩИ РБТ, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЙЕ ВПЪПООЩН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. зБНЙМШФПОЙБО ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (8.1), ЪБРЙУБООЩК ЮЕТЕЪ ФБЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ, УПДЕТЦЙФ ЛŒБДТБФЙЮОЩЕ ЮМЕОЩ, Б ФБЛЦЕ ЮМЕОЩ ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ, ЛПФПТЩНЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ, ЕУМЙ ЬОЕТЗЙС ТБУУНБФТЙŒБЕНЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК НБМБ РП УТБŒОЕОЙА У EF . дЙОБНЙЛХ, ПРТЕДЕМСЕНХА ЬФЙН ЛŒБДТБФЙЮОЩН ЗБНЙМШФПОЙБОПН, НПЦОП ЙУУМЕДПŒБФШ ФПЮОП

8.3. ртйвмйцеойе умхюбкощи жбъ

185

Й ХУФБОПŒЙФШ ЕЕ ЬЛŒЙŒБМЕОФОПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПНХ ХТБŒОЕОЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. œПЪНПЦОПУФШ ПРЙУБФШ УЙУФЕНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ (8.1) У РПНПЭША ЬЛŒЙŒБ-

МЕОФОПЗП ВПЪПООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ ЙНЕЕФ ТБЪОППВТБЪОЩЕ ЙОФЕТЕУОЩЕ РТЙНЕОЕОЙС. пДОЙН ЙЪ ОЙИ СŒМСЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК НЕФПД ВПЪПОЙЪБГЙЙ, ЛПФПТЩК НЩ ТБУУНПФТЙН

Œ ÇÌ. 12.

лБЛ Й ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ мБОДБХ, НЕФПД ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ ЬМЕЛФТПОДЩТПЮОЩИ РБТ ПУОПŒЩŒБЕФУС ОБ РТЕДРПМПЦЕОЙЙ, ЮФП ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ЙНРХМШУБН ЙНЕЕФ ФБЛПК ЦЕ ŒЙД, ЛБЛ Й ДМС УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, Ф. Е. ЮФП ЖЕТНЙРПŒЕТИОПУФШ ОЕ ТБЪТХЫБЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН. юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕОСЕФ ИБТБЛФЕТ ŒПЪВХЦДЕОЙК, НЩ РТЙŒЕДЕН ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ (8.1) Л ŒЙДХ, УПДЕТЦБЭЕНХ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС РБТ. рТЙ ЬФПН ВХДЕФ ЙУРПМШЪПŒБОП ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ вПНБ Й рБКОУБ, ŒРЕТŒЩЕ ŒŒЕДЕООПЕ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РМБЪНЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК Œ ŒЩТПЦДЕООПН ЬМЕЛФТПООПН ЗБЪЕ 3. œ ТБНЛБИ ЬФПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ДМС ПРЕТБФПТПŒ РБТ УЙМШОП ХРТПЭБАФУС 4.

у ЖПТНБМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ТБУУНБФТЙŒБЕНЩК ЪДЕУШ НЕФПД СŒМСЕФУС ЛПТТЕЛФОЩН Œ РТЕДЕМЕ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦОП УЮЙФБФШ УМБВЩН. дМС РТПУФПФЩ ЙЪМПЦЕОЙС ВХДЕН УЮЙФБФШ ЖЕТНЙПОЩ ВЕУУРЙОПŒЩНЙ. рТЙ ОЕПВИПДЙНПУФЙ, ŒПУУФБОПŒЙФШ УРЙОПŒХА ЪБŒЙУЙНПУФШ Œ ПЛПОЮБФЕМШОЩИ ŒЩТБЦЕОЙСИ НПЦОП ВЕЪ ПУПВПЗП ФТХДБ.

œŒЕДЕН ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ cp;k, c+p;k ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

cp;k = ap+ap+k ; cp+;k = ap++kap ; ÇÄÅ |p| < p0; |p + k| > p0 :

(8.15)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ЮЙФБФЕМС ОБ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ, ОБМПЦЕООПЕ ОБ ЙНРХМШУЩ p Й k. пОП ŒЩВТБОП ФБЛ, ЮФПВЩ РТЙ ДЕКУФŒЙЙ ПРЕТБФПТПН c+p;k ОБ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ ŒУЕЗДБ ТПЦДБМБУШ ТПŒОП ПДОБ РБТБ ЮБУФЙГБ{ДЩТЛБ, Б РТЙ ДЕКУФŒЙЙ ПРЕТБФПТПН cp;k ОБ МАВПЕ ŒПЪВХЦДЕООПЕ УПУФПСОЙЕ ЮЙУМП РБТ ŒУЕЗДБ ХНЕОШЫБМПУШ.

õÓÌÏŒÉÑ |p| < p0 É |p + k| > p0, РТЙ ЖЙЛУЙТПŒБООПН k ПРТЕДЕМСАФ РПДНОПЦЕУФŒП

3 УН.: D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev., v. 92, p. 609{625 (1953). œ ЬФПК ТБВПФЕ ЬМЕЛФТПООБС УЙУФЕНБ ПРЙУЩŒБЕФУС У РПНПЭША НОПЗПЮБУФЙЮОПК БОФЙУЙННЕФТЙЪПŒБООПК ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ, ВЕЪ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. йЪМПЦЕОЙЕ ŒПРТПУБ ОБ ВПМЕЕ УПŒТЕНЕООПН СЪЩЛЕ НПЦОП ОБКФЙ Œ ŒЕУШНБ РПМЕЪОПК ЛОЙЗЕ: D. Pines, The Many-Body Problem, (W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961). рПНЙНП БŒФПТУЛПЗП ФЕЛУФБ ДБООБС ЛОЙЗБ УПДЕТЦЙФ ФБЛЦЕ ЖБЛУЙНЙМШОЩЕ ЛПРЙЙ ПУОПŒОЩИ ТБВПФ РП ФЕПТЙЙ НОПЗЙИ ФЕМ.

4оБЫЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ ПРЙТБЕФУС ОБ ТБВПФЩ уБŒБДЩ, œЕОГЕМС Й ДТ., Œ ЛПФПТЩИ ВЩМ ŒŒЕДЕО ŒŒЕДЕО ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ĂЬЖЖЕЛФЙŒОЩК ЗБНЙМШФПОЙБОĄ, ПРЙУЩŒБАЭЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ. вПМЕЕ РПДТПВОП У НЕФПДПН ЬЖЖЕЛФЙŒОПЗП ВПЪПООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБ НПЦОП ПЪОБЛПНЙФШУС РП ПТЙЗЙОБМШОЩН ТБВПФБН: K. Sawada, Phys. Rev., v. 106, p. 372 (1957); K. Sawada, K. A. Brueckner, N. Fukuda, and R. Brout, Phys. Rev., v. 108, p. 507 (1957); G. Wentzel, Phys. Rev., v. 108, p. 1593 (1957).

, c+p;k

186	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ, ЙНЕАЭЕЕ Œ УЕЮЕОЙЙ УЕТРПŒЙДОХА ЖПТНХ (ТЙУ. 8.1).

p=-k

p=0 Rk

òÉÓ. 8.1

нЩ ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ ЬФХ ПВМБУФШ Rk Й ЪБРЙУЩŒБФШ ПЗТБОЙЮЕОЙЕ (8.15) ОБ p Й k Œ ŒЙДЕ p Rk .

уФТБФЕЗЙС ОБЫБ ФЕРЕТШ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ РТЕДУФБŒЙФШ ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ Œ ŒЙДЕ ŒЩТБЦЕОЙС, ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП ПРЕТБФПТБН cp;k , Й РПЛБЪБФШ, ЮФП ЬФЙ ПРЕТБФПТЩ РПДЮЙОСАФУС ПВЩЮОЩН ВПЪЕŒУЛЙН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. рТЙ ЬФПН ЙОФЕТЕУХАЭБС ОБУ ЪБДБЮБ УŒЕДЕФУС Л ЪБДБЮЕ П ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ПУГЙММСФПТБИ. иПФС ФБЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ТБЪХНЕЕФУС, СŒМСЕФУС РТЙВМЙЦЕООЩН, ŒЩСУОСЕФУС, ЮФП ОЕФПЮОПУФШ ДПРХУЛБЕФУС ФПМШЛП ДМС УЙМШОП ŒПЪВХЦДЕООЩИ УПУФПСОЙК, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ УПФПСОЙС У ПФОПУЙФЕМШОП ОЕВПМШЫЙН ЛПМЙЮЕУФŒПН ЬМЕЛФТПО{ДЩТПЮОЩИ РБТ ПРЙУЩŒБАФУС УПŒЕТЫЕООП РТБŒЙМШОП.

оБЮОЕН У ПРЕТБФПТБ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ Й ТБУУНПФТЙН РТЙВМЙЦЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЗБТНПОЙЛЙ РМПФОПУФЙ:

			p k			+ c−+p;−k) :
			j~k =	(cp;k			(8.16)
			R
ъБНЕФЙН, ЮФП		ОБМПЦЕООПЕ ХУМПŒЙЕ p			R	ОЕ ОБТХЫБЕФ ŒЕЭЕУФŒЕООПУФЙ ПРЕТБФП-
			+		k
ТБ РМПФОПУФЙ j~k = j~−k. уНЩУМ РТЙВМЙЦЕОЙС (8.16) УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ЙЪ ФПЮОПЗП
ŒЩТБЦЕОЙС jk =			p ap+ap+k ЙУЛМАЮЕОЩ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ĂЮЕ-
ТЕУЮХТ	НОПЗПЮБУФЙЮОЩНĄ РТПГЕУУБН. зПŒПТС ВПМЕЕ ФПЮОП, НЩ ПФВТБУЩŒБЕН ŒУЕ УМБ-

ЗБЕНЩЕ a+p ap+k, ДБАЭЙЕ ОХМШ РТЙ РТЙНЕОЕОЙЙ Л МАВПНХ УПУФПСОЙА У ТПŒОП ПДОПК ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОПК РБТПК, Б ФБЛЦЕ Л ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ.

рПДУФБŒЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.16) Œ ЗБНЙМШФПОЙБО (8.1). рПМХЮБАЭЙКУС РТЙ ЬФПН РТЙВМЙЦЕООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО УПŒРБДБЕФ У ЙУИПДОЩН ЗБНЙМШФПОЙБОПН ОБ УПУФПСОЙСИ, УПДЕТЦБЭЙИ ОЕВПМШЫПЕ ЛПМЙЮЕУФŒП РБТ. пФМЙЮЙЕ НЕЦДХ РТЙВМЙЦЕООЩН Й ФПЮОЩН ЗБНЙМШФПОЙБОБНЙ РПСŒМСЕФУС ФПМШЛП ДМС ДПУФБФПЮОП УЙМШОП ŒПЪВХЦДЕООЩИ УПУФПСОЙК.

+

= −Vkj~k ; Hint; cp;k

Hint; cp;k

8.3. ртйвмйцеойе умхюбкощи жбъ

187

юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, ТБУУНПФТЙН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС РПМХЮЙŒЫЕ-

ЗПУС ЗБНЙМШФПОЙБОБ	int = (1=2)		Vkj~kj~−k У ПРЕТБФПТБНЙ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС
	H		k
+
		; c			ПРЙУЩŒБЕФ ДЙОБНЙЛХ ЖМХЛФХБГЙЙ РМПФОПУФЙ
ÐÁÒ cp;k, cp;k. лПННХФБФПТ Hint			+p;k
(8.16). œЩТБЪЙН ПРЕТБФПТЩ j~k, c			p;k	É cp;k ЮЕТЕЪ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ, УПЗМБУОП

(8.15), (8.16), РПДУФБŒЙН Œ ЙОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ ЛПННХФБФПТ, Й ŒЩЮЙУМЙН ЕЗП, РПМШЪХСУШ ЖЕТНЙПООЩНЙ ЛПННХФБГЙПООЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ. нЩ ОЕ ВХДЕН ŒЩРЙУЩŒБФШ

ТЕЪХМШФБФ СŒОП, Б ЪБНЕФЙН	МЙЫШ, ЮФП РПУЛПМШЛХ ПРЕТБФПТ						Hint | 4-ЗП РПТСДЛБ РП
		+		c
ЖЕТНЙЕŒУЛЙН ПРЕТБФПТБН Б c							ВХДЕФ УПДЕТЦБФШ ЮМЕОЩ
2-ЗП Й 4-ЗП РПТСДЛБ РП ap, ap+. p;k			É		p;k	| 2-ЗП, ТЕЪХМШФБФ

йУЛМАЮЙН ЙЪ ЛПННХФБФПТБ ŒУЕ ЮМЕОЩ, УПДЕТЦБЭЙЕ ПРЕТБФПТЩ РБТ У k = k. ьФЙ

ЮМЕОЩ МЙВП ОЕ УПИТБОСАФ ЮЙУМП РБТ, МЙВП ПРЙУЩŒБАФ ПДОПŒТЕНЕООЩЕ РЕТЕИПДЩ У ХЮБУФЙЕН ОЕУЛПМШЛЙИ РБТ 5. рПМХЮБАЭЕЕУС РТЙВМЙЦЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛПННХФБФПТБ

ЙНЕЕФ ŒЙД

= Vkj~+k : (8.17)

ЭЕЕУС Œ ФПН, ЮФП

жЙЪЙЮЕУЛЙН ПУОПŒБОЙЕН ДМС РТПГЕДХТЩ, РТЙНЕОЕООПК ŒЩЫЕ Л ПРЕТБФПТХ РМПФОПУФЙ Й Л ЛПННХФБФПТБН Hint; cp;k , СŒМСЕФУС УДЕМБООПЕ Œ ТБЪД. 8.1 ОБВМАДЕОЙЕ, ЪБЛМАЮБАŒТЕНС ЦЙЪОЙ РБТЩ У НБМПК ЬОЕТЗЙЕК УФБОПŒЙФУС ПЮЕОШ ВПМШЫЙН РТЙ

ХНЕОШЫЕОЙЙ ЬОЕТЗЙЙ. рПЬФПНХ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ЛПННХФБФПТПŒ ЪБЛПООП РТЕОЕВТЕЮШ РТПГЕУУБНЙ, ОЕ УПИТБОСАЭЙНЙ ЮЙУМП РБТ Й РТЙŒПДСЭЙНЙ Л РТЕŒТБЭЕОЙА ПДОПК РБТЩ Œ ОЕУЛПМШЛП.

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЛПННХФБФПТЩ ПРЕТБФПТПŒ cp;k É c+p ;k . йУРПМШЪХС ПРТЕДЕМЕОЙЕ (8.15), РПМХЮБЕН

cp;k; cp+ ;k	= ‹pp ap+ +k ap+k + ‹p +k ;p+kap+ap ;	(8.18)

РТЙЮЕН p Rk , p Rk . рТЙНЕОСС РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ, ОЕПВИПДЙНП ŒЩДЕМЙФШ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (8.18) ЮМЕОЩ, ОЕ УПЪДБАЭЙЕ ОПŒЩИ РБТ РТЙ ДЕКУФŒЙЙ ОБ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЙМЙ ОБ УПУФПСОЙЕ У ХЦЕ ЙНЕАЭЙНУС ОЕВПМШЫЙН ЛПМЙЮЕУФŒПН РБТ. ьФП ДП-

УФЙЗБЕФУС ЪБНЕОПК РТБŒПК ЮБУФЙ (8.18) ОБ УТЕДОЕЕ, ŒЪСФПЕ РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА.

œ ТЕЪХМШФБФЕ ЛПННХФБФПТ cp;k; c+p ;k ПЛБЪЩŒБЕФУС c-ЮЙУМПН:

cp;k; c+ ; = ‹pp ‹kk ; [cp;k; cp ;k ] = 0 : (8.19)

p k

(œФПТПК ЛПННХФБФПТ Œ (8.19) РПМХЮБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.) фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ ХУФБОПŒЙМЙ, ЮФП ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС РБТ ХДПŒМЕФŒПТСАФ ВПЪЕŒУЛЙН ЛПННХФБГЙПООЩН УППФОПЫЕОЙСН. пФНЕФЙН, ЮФП ОБКДЕООЩЕ ŒЩЫЕ ЛПННХФБФПТЩ (8.17) НПЗХФ ВЩФШ РПМХЮЕОЩ

5йУЛМАЮБЕНЩЕ ЮМЕОЩ ИБТБЛФЕТОЩ ФЕН, ЮФП Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЙИ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ŒТЕНЕОЙ ПРЙУЩŒБЕФУС ВЩУФТП ПУГЙММЙТХАЭЙНЙ ЖБЪПŒЩНЙ НОПЦЙФЕМСНЙ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ŒУЕ ПУФБŒМСЕНЩЕ ЮМЕОЩ ОЕ ЪБŒЙУСФ ПФ ŒТЕНЕОЙ. œ ТБВПФЕ вПНБ Й рБКОУБ, РТПГЙФЙТПŒБООПК ОБ У. 185, ВЩМП РПЛБЪБОП, ЮФП ЬФЙ ВЩУФТП ПУГЙММЙТХАЭЙЕ ЮМЕОЩ ДБАФ НБМЩЕ РПРТБŒЛЙ Л ХТБŒОЕОЙСН ЬŒПМАГЙЙ ПРЕТБФПТПŒ (8.15), Й РПЬФПНХ ЙИ ЙУЛМАЮЕОЙЕ ЪБЛПООП. ьФПНХ Й ПВСЪБО УŒПЙН РПСŒМЕОЙЕН ФЕТНЙО ĂРТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪĄ .

c+p;k

188	змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй
ОЕРПУТЕДУФŒЕООП ЙЪ (8.19) Й ОБКДЕООПЗП ŒЩЫЕ ŒЩТБЦЕОЙС		int		= 1			V j~ j~	. фБЛЙН
					2	k	k k −k
		H
ПВТБЪПН, РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ ПЛБЪЩŒБЕФУС УБНПУПЗМБУПŒБООЩН.
					p (p2=2m) ap+ap. åÇÏ
	ъБКНЕНУС ФЕРЕТШ ПРЕТБФПТПН ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ H0		=

ЛПННХФБФПТЩ У ПРЕТБФПТБНЙ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС РБТ ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ ФПЮ-
ÎÏ:
	H0; cp+;k = !p;kcp+;k ;				H0; cp;k = −!p;kcp;k ;
							(8.20)
	2	= m	2=	m
ÇÄÅ !p;k = (p + k)		2	− p	2 +. рПРЩФБЕНУС РТЕДУФБŒЙФШ ПРЕТБФПТ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК

ЬОЕТЗЙЙ ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ РБТ cp;k É cp;k ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ЬФП РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ПВЕУРЕЮЙŒБМП РТБŒЙМШОЩЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС (8.20). дМС ЬФПЗП ДПУФБФПЮОП РТПУФП ŒЪСФШ УХННХ РП p Й k ПФ !p;k cp;k. ъБНЕФЙН, ЮФП ХУМПŒЙЕ p Rk ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ РПМПЦЙФЕМШОПУФШ !p;k.

œУМЕДУФŒЙЕ ŒУЕЗП УЛБЪБООПЗП ŒЩЫЕ, ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ

УМЕДХАЭЕК ЬЛŒЙŒБМЕОФОПК ЖПТНЕ:
RPA =			k		!p;kcp+;kcp;k + 1 Vkj~kj~ k :			(8.21)
					2	−
H	k		p	R

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ЛŒБДТБФЙЮОП РП ВПЪЕ-ПРЕТБФПТБН cp;k É c+p;k ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РТПУФПК ЪБДБЮЕК.

хДПВОП РЕТЕКФЙ Л ЛБОПОЙЮЕУЛЙН ПРЕТБФПТБН ЛППТДЙОБФ ТПŒ:

ÉРПЬФПНХ ЕЗП ЙЪХЮЕОЙЕ

ÉЙНРХМШУПŒ ПУГЙММСФП-

’p;k	≡ ’−p;−k = (2!p;k)−			1=2	cp;k + c−p;−k	;
	+		1=2		+
ıp;k	≡ ı−+p;−k = i		21 !p;k		cp+;k − c−p;−k :		(8.22)

œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПУГЙММСФПТПŒ ПРЕТБФПТ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЙ ЕУФШ УХННБ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ПУГЙММСФПТПŒ 6:

H0	= k; p Rk 2 ıp+;kıp;k + !p2		;k’p+;k’p;k
		1

œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ЬФПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

: (8.23)

int =	Vk	k	!p1=;k2’p+;k		!p1=;2k’p ;k :		(8.24)
			p		k
H	k	p R		R
						У РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП
фЕРЕТШ НПЦОП ДЙБЗПОБМЙЪПŒБФШ ЗБНЙМШФПОЙБО H0				+ Hint

8.3. ртйвмйцеойе умхюбкощи жбъ

189

РТЕПВТБЪПŒБОЙС Й ОБКФЙ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ЛПМЕВБОЙК УЙУФЕНЩ.

ω
ω(k)
	k
kmax	2p0

òÉÓ. 8.2

рПМХЮБАЭЙКУС УРЕЛФТ ЮБУФПФ ОПТНБМШОЩИ ЛПМЕВБОЙК УПУФПЙФ ЙЪ ДŒХИ ЛПНРПОЕОФ (ТЙУ. 8.2). рЕТŒБС ЛПНРПОЕОФБ | ОЕРТЕТЩŒОЩК УРЕЛФТ ! = !p;k, УПŒРБДБАЭЙК УП УРЕЛФТПН ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ. œФПТБС ЛПНРПОЕОФБ | ЛПММЕЛФЙŒОБС НПДБ У ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ !(k), ПРТЕДЕМСЕНЩН ЙЪ ХТБŒОЕОЙС

	p k		−
1 = Vk		2!p;k			:	(8.26)
		!2		!2
	R
				p;k

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП ДМС ВЕУУРЙОПŒЩИ ЮБУФЙГ. œ УМХЮБЕ ЮБУФЙГ УП УРЙОПН 1=2, УХННЙТПŒБОЙЕ РП УРЙОБН РТЙŒПДЙФ Л ДПРПМОЙФЕМШОПНХ НОПЦЙФЕМА 2 Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (8.26). œ ЪБДБЮЕ 44 ВХДЕФ РПЛБЪБОП, ЮФП РТЙ НБМЩИ |k| p0 ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.26) ФПЦДЕУФŒЕООП ДЙУРЕТУЙПООПНХ УППФОПЫЕОЙА ДМС ЛПММЕЛФЙŒОЩИ НПД, РПМХЮЕООПНХ ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ (8.7).

œ УМХЮБЕ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Vk = 4ıe2=k2, ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РМБЪНЕООЩЕ ŒПМОЩ, ЙНЕАЭЙЕ ЛПОЕЮОХА ЮБУФПФХ !0 = (4ıe2n=m)1=2 ÐÒÉ k → 0. рМБЪНЕООЩЕ ЛПМЕВБОЙС УХЭЕУФŒХАФ Œ ЛПОЕЮОПН ЙОФЕТŒБМЕ 0 |k| < kmax, РТЙЮЕН ЙИ ЮБУФПФБ ŒЩЫЕ ŒЕТИОЕК ЗТБОЙГЩ ОЕРТЕТЩŒОПЗП УРЕЛФТБ. рТЙ |k| kmax (4ıe2 )1=2 ŒЕФŒШ РМБЪНЕООЩИ ЛПМЕВБОЙК ŒМЙŒБЕФУС Œ ОЕРТЕТЩŒОЩК УРЕЛФТ (УН. ЪБДБЮХ 44). œ ЬФПК ПВМБУФЙ ЮБУФПФБ !, ПРТЕДЕМСЕНБС ЙЪ ДЙУРЕТУЙПООПЗП

6нЩ ПРХУЛБЕН ЛПОУФБОФХ

E0 = −

!p;k=2 ;

(8.25)

k; p Rk

РПСŒМСАЭХАУС ЙЪ-ЪБ ОЕЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ПРЕТБФПТПŒ cp;k É c+p;k.

190 змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

ХТБŒОЕОЙС (8.26), ПЛБЪЩŒБЕФУС ЛПНРМЕЛУОПК, Ф. Е. ЛПМЕВБОЙС РТЙПВТЕФБАФ ЛПОЕЮОПЕ ЪБФХИБОЙЕ.

лПММЕЛФЙŒОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС, РПМХЮЕООЩЕ Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ, ПЛБЪЩŒБАФУС ФБЛЙНЙ ЦЕ, ЛБЛ Œ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ мБОДБХ. оЕЛПФПТПЕ ПФМЙЮЙЕ ЙНЕЕФУС ФПМШЛП Œ РПŒЕДЕОЙЙ, РТЕДУЛБЪЩŒБЕНПН Œ ПВМБУФЙ ВПМШЫЙИ |k| > kmax, ЗДЕ ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ФЕТСЕФ РТЙНЕОЙНПУФШ, РПУЛПМШЛХ 1=kmax | ЬФП ТБЪНЕТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ. еУМЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ УМБВПЕ, ФП РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ ДБЕФ РТБŒЙМШОЩК ПФŒЕФ ДБЦЕ РТЙ |k| kmax.

пДОБЛП, РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ, ПУОПŒЩŒБАЭЕЕУС ОБ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ, ОЕРТЙНЕОЙНП Œ УМХЮБЕ УЙМШОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. б ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РПМХЮЕООБС ŒЕУШНБ ПВЭЙН ЖЕОПНЕОПМПЗЙЮЕУЛЙН ПВТБЪПН, ЙНЕЕФ УНЩУМ Й РТЙ УЙМШОПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ, Й ХФŒЕТЦДБЕФ, ЮФП РТЙ |k| kmax ÍÏÖ-

ОП РПМШЪПŒБФШУС ЛŒБДТБФЙЮОЩН ЗБНЙМШФПОЙБОПН РБТ У РЕТЕОПТНЙТПŒБООЩНЙ

HRPA

ЛПОУФБОФБНЙ, ЛПФПТЩЕ ПРТЕДЕМСАФУС ЖХОЛГЙЕК мБОДБХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, РЕТФХТВБФЙŒОПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ Й ЖЕОПНЕОПМПЗЙЮЕУЛБС ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ

РТЕЛТБУОП ДПРПМОСАФ ДТХЗ ДТХЗБ.

мЙФЕТБФХТБ: фЕПТЙС ЖЕТНЙ{ЦЙДЛПУФЙ мБОДБХ, ŒЛМАЮБС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ Й ЛПММЕЛФЙŒОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС, ЙЪМПЦЕОБ Œ [6], § 1{6 É [1], § 2. рТПУФПК ŒЩŒПД ЪБЛПОБ ДЙУРЕТУЙЙ РМБЪНПОПŒ У РПНПЭША РТЙВМЙЦЕОЙС УМХЮБКОЩИ ЖБЪ НПЦОП ОБКФЙ Œ [3], § 9.5, 9.6. лПТТЕМСГЙПООБС Й ПВНЕООБС ЬОЕТЗЙЙ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ ЬМЕЛФТПООПК ЖЕТНЙ{ЦЙДЛПУФЙ ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ [3], § 9.4, 9.8, 9.9, [6], § 85 É [1], § 22. нЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЕ ПВПУОПŒБОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ{ЦЙДЛПУФЙ, ВБЪЙТХАЭЕЕУС ОБ ЖХОЛГЙСИ зТЙОБ, РТЙŒЕДЕОП Œ [1], § 18, 19, Б ФБЛЦЕ Œ [6], § 15{21. рПМЕЪОП ФБЛЦЕ ПВТБФЙФШУС Л ПТЙЗЙОБМШОЩН ТБВПФБН (УН. УВПТОЙЛ УФБФЕК, РТПГЙФЙТПŒБООЩК ОБ У. 185).

8.4. ъБДБЮЙ 43 { 49

ъБДБЮБ 43. (лМБУУЙЖЙЛБГЙС ŒПЪВХЦДЕОЙК ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.) тБУУНПФТЙН ДŒХНЕТОХА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ У НПДЕМШОПК ЖХОЛГЙЕК мБОДБХ, ПФМЙЮОПК ПФ ОХМС ФПМШЛП Œ s-ЛБОБМЕ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЕУФШ F (n − n ) = F0. жЕТНЙРПŒЕТИОПУФШ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ПЛТХЦОПУФШ, РБТБНЕФТЙЪХЕНХА ХЗМПН −ı „ ı. пФЛМПОЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПФ ТБŒОПŒЕУЙС ПРЙУЩŒБЕФУС ЖХОЛГЙЕК u(„). хДПВОП ТБЪМПЦЙФШ ЕЕ РП ЖХТШЕ-ЗБТНПОЙЛБН u(„) = m eim„ um Й ЪБРЙУБФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (8.7) Œ ŒЙДЕ

2	−	(1 + F0)u0	ÐÒÉ m = 0.
!um = 1 kvF (~um+1	+ u~m 1); ÇÄÅ u~m =	um	ÐÒÉ m = 0,	(8.27)

рПМОХА УЙУФЕНХ ТЕЫЕОЙК ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС НПЦОП РПУФТПЙФШ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ НЕФПДБНЙ ФЕПТЙЙ ТБУУЕСОЙС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ХТБŒОЕОЙЕ (8.27) ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОП РП ПФОПЫЕОЙА Л УДŒЙЗБН m → m ± 1 ŒУАДХ, ЪБ ЙУЛМАЮЕОЙЕН m = 0. рПЬФПНХ НПЦОП ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙС Œ ŒЙДЕ um = A±ei¸m ПФДЕМШОП РТЙ РПМПЦЙФЕМШОЩИ Й ПФТЙГБФЕМШОЩИ m, Б ЪБФЕН УЫЙФШ ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС РТЙ m = 0.