Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

çÌÁŒÁ 9.

ьМЕЛФТПОЩ Œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ

9.1. хУТЕДОЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ

тБУУНПФТЙН ЕЭЕ ПДЙО ŒЙД ЪБДБЮ, ТЕЫБЕНЩИ У РПНПЭША ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ | ЪБДБЮЙ П ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОБИ, ХРТХЗП ТБУУЕЙŒБАЭЙИУС ОБ РТЙНЕУСИ.

фТБДЙГЙПООП ФБЛЙЕ ЪБДБЮЙ ПРЙУЩŒБАФУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН вПМШГНБОБ ДМС ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ŒЕТПСФОПУФЙ Œ ЖБЪПŒПН РТПУФТБОУФŒЕ n(p; r; t). лЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ РТЙОЙНБЕФ ОБЙВПМЕЕ РТПУФПК ŒЙД Œ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПН fi -РТЙВМЙЦЕОЙЙ, РТЕДРПМБЗБАЭЕН ЙЪПФТПРОПЕ ТБУУЕСОЙЕ ОБ РТЙНЕУСИ:

(@t + v r + F p) n(p; r; t) = −fi	n(p; r; t) − n—(|p|; r; t) :	(9.1)
1

ъДЕУШ F = eE+(e=c)v×B | УЙМБ, ДЕКУФŒХАЭБС ОБ ЬМЕЛФТПОЩ, n—(|p|; r; t) | УТЕДОЕЕ ПФ ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС РП ОБРТБŒМЕОЙСН ЙНРХМШУБ p, Б 1=fi | ЮБУФПФБ УФПМЛОПŒЕОЙК У РТЙНЕУСНЙ 1.

рТЙНЕОЕОЙЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС (9.1) Œ ЛŒБОФПŒЩИ ЪБДБЮБИ РПДТБЪХНЕŒБЕФ ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ПРЙУБОЙЕ, РПУЛПМШЛХ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ПРТЕДЕМСЕФ ЬŒПМАГЙА ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС n(p; r; t) Œ ЖБЪПŒПН РТПУФТБОУФŒЕ. лЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ ХЮЙФЩŒБЕФ ФПМШЛП ФЕ ЛŒБОФПŒЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ, ЛПФПТЩЕ ПФОПУСФУС Л УФБФЙУФЙЛЕ ЮБУФЙГ. дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ ŒЩСУОЙФШ ЗТБОЙГЩ РТЙНЕОЙНПУФЙ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС, ПВПУОПŒБФШ fi -РТЙВМЙЦЕОЙЕ, Б ФБЛЦЕ РТЕДУЛБЪБФШ ЙОФЕТЕУОЩЕ ЛŒБОФПŒЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ Œ ЛЙОЕФЙЛЕ НЕФБММПŒ, ЛПФПТЩЕ ОЕ ПРЙУЩŒБАФУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН.

нПДЕМШ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ РТЕДУФБŒМСАФ ОЕ ФПМШЛП ЮЙУФП НЕФПДЙЮЕУЛЙК ЙОФЕТЕУ. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ДЙОБНЙЛЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ Œ ЖЕТНЙЦЙДЛПУФЙ ТПМШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УŒПДЙФУС, ЗМБŒОЩН ПВТБЪПН, Л РЕТЕПРТЕДЕМЕОЙА ТБЪ-

1пВПВЭЕОЙЕ ЙОФЕЗТБМБ УФПМЛОПŒЕОЙК Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (9.1) ОБ УМХЮБК ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ОЕЙЪПФТПРОПЗП ТБУУЕСОЙС ДПУФЙЗБЕФУС ŒŒЕДЕОЙЕН УŒПЕЗП ŒТЕНЕОЙ ТЕМБЛУБГЙЙ ДМС ЛБЦДПК УЖЕТЙЮЕУЛПК ЗБТНПОЙЛЙ ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС.

221

222	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

МЙЮОЩИ ЛПОУФБОФ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ (УН. ЗМ. 8). рПЬФПНХ Œ ФЕПТЙЙ ЬМЕЛФТПООПЗП ФТБОУРПТФБ Œ НЕФБММБИ РТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, Œ ЛБЮЕУФŒЕ РЕТŒПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС, ŒРПМОЕ ПРТБŒДБОП.

тБУУНПФТЙН, ЛБЛ ЖПТНХМЙТХЕФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ ДМС ЪБДБЮЙ П ТБУУЕСОЙЙ ОБ РТЙНЕУСИ. œŒЕДЕН РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК Œ ЗБНЙМШФПОЙБО ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ. œ РТПУФЕКЫЕК НПДЕМЙ РПФЕОГЙБМШОПЕ РПМЕ U (r), Œ ЛПФПТПН ДŒЙЦХФУС ЬМЕЛФТПОЩ, УПЪДБЕФУС ТБУУЕЙŒБАЭЙНЙ ГЕОФТБНЙ, ТБУРПМПЦЕООЩНЙ Œ ФПЮЛБИ ri:

Hint =	U (r) +(r) (r)d3r ;	U (r) =	i	u(r − ri) :	(9.2)

рПМПЦЕОЙС РТЙНЕУЕК ri ВХДЕН УЮЙФБФШ УМХЮБКОЩНЙ, Б ЙИ ЛПОГЕОФТБГЙА n | НБМПК РП УТБŒОЕОЙА У РМПФОПУФША ЬМЕЛФТПОПŒ ne = 43ı (p0=2ıh—)3 (УМБВЩК ВЕУРПТСДПЛ). дМС ХРТПЭЕОЙС ŒЩЮЙУМЕОЙК НЩ РТЙНЕН, ЮФП РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЙК, u(r − ri) = u0‹(3)(r − ri), | ЙОЩНЙ УМПŒБНЙ, РТЕОЕВТЕЦЕН ЪБŒЙУЙНПУФША БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ПФ ЬОЕТЗЙЙ Й ХЗМБ ТБУУЕСОЙС. рПНЙНП ЬФПЗП НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ БНРМЙФХДХ ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП РПФЕОГЙБМБ u0 НБМПК, ЮФП РПЪŒПМЙФ ТБУУНПФТЕФШ ТБУУЕСОЙЕ ОБ ПДОПК РТЙНЕУЙ Œ ТБНЛБИ ВПТОПŒУЛПК ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС.

òÉÓ. 9.1

жХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ, ДŒЙЦХЭЕЗПУС Œ РПФЕОГЙБМЕ (9.2), ДБЕФУС УХННПК ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 9.1. ъДЕУШ ŒПМОЙУФЩЕ МЙОЙС ПВПЪОБЮБАФ РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК U (r) (УН. ТЙУ. 3.1). жХОЛГЙС зТЙОБ Œ УМХЮБКОПН ŒОЕЫОЕН РПМЕ (9.2), ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕ СŒМСЕФУС ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОПК. пДОБЛП РТБЛФЙЮЕУЛЙК ЙОФЕТЕУ ПВЩЮОП РТЕДУФБŒМСАФ ŒЕМЙЮЙОЩ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП ТБУРПМПЦЕОЙА РТЙНЕУЕК. фБЛЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ СŒМСАФУС ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОЩНЙ.

œЩРПМОЙН ХУТЕДОЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ. дМС ЬФПЗП ЪБНЕФЙН, ЮФП РПФЕОГЙБМ U (r) Œ (9.2) ЕУФШ УХННБ РПФЕОГЙБМПŒ ПФДЕМШОЩИ РТЙНЕУЕК. рПЬФПНХ ЛБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ ОБ ТЙУ. 9.1 НПЦЕФ ВЩФШ РТЙРЙУБО ОПНЕТ РТЙНЕУЙ, РП ЛПФПТПНХ ЪБФЕН ОБДП РТПУХННЙТПŒБФШ:

i

i

j

i

j

k

òÉÓ. 9.2

œОБЮБМЕ ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ, Œ ЛПФПТЩИ ŒУЕ ОПНЕТБ РТЙНЕУЕК ТБЪОЩЕ. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ОБ ЛБЦДПК РТЙНЕУЙ ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ РЕТŒПН ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ Й ЮФП ŒУЕ ŒЕТЫЙОЩ Œ ДЙБЗТБННЕ УФБФЙУФЙЮЕУЛЙ ОЕЪБŒЙУЙНЩ. рПУМЕ ХУТЕД-

9.1. хутедоеойе жхолгйк зтйоб рп веурптсдлх

223

ОЕОЙС РП РПМПЦЕОЙСН РТЙНЕУЕК НЩ РПМХЮЙН, ЮФП ŒУЕ ФБЛЙЕ ДЙБЗТБННЩ РТЙŒПДСФ Л УДŒЙЗХ ИЙНРПФЕОГЙБМБ ОБ ŒЕМЙЮЙОХ ‹— = nu0. ьФП ЕУФЕУФŒЕООП: УТЕДОЙК РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК, ТБŒОПНЕТОП ТБЪНБЪБООЩИ РП ПВ ЕНХ, ТБŒЕО ЙНЕООП ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЕ.

уХЭЕУФŒЕООП ПДОБЛП ФП, ЮФП РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ТБУУЕСОЙС ОБ ПДОПК РТЙНЕУЙ НЩ ОЕ НПЦЕН ПЗТБОЙЮЙФШУС РЕТŒЩН ВПТОПŒУЛЙН РТЙВМЙЦЕОЙЕН, ЙВП ПОП ДБЕФ МЙЫШ ФТЙŒЙБМШОЩК УДŒЙЗ ИЙНРПФЕОГЙБМБ, ПРЙУБООЩК ŒЩЫЕ. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ НОЙНБС ЮБУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС Im f , ЛПФПТБС РПСŒМСЕФУС МЙЫШ ŒП ŒФПТПН ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ РП БНРМЙФХДЕ ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП РПФЕОГЙБМБ u0. рПУЛПМШЛХ НОЙНБС ЮБУФШ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС Im f ŒПЪОЙЛБЕФ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП u0, ПОБ ПЛБЪЩŒБЕФУС НОПЗП НЕОШЫЕ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ЮБУФЙ Re f . пДОБЛП, УПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ ХОЙФБТОПУФЙ (УН. ЪБДБЮХ 11, ЗМ. 3), ЙНЕООП Im f ПРТЕДЕМСЕФ РПМОПЕ УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС ОБ РПФЕОГЙБМЕ РТЙНЕУЙ.

рПЬФПНХ ОБН ОЕПВИПДЙНП ЙЪХЮЙФШ ДЙБЗТБННЩ, Œ ЛПФПТЩЕ ПДОБ Й ФБ ЦЕ РТЙНЕУШ ŒИПДЙФ ДŒБ ТБЪБ. юФПВЩ ПФНЕФЙФШ ЬФПФ ЖБЛФ, УПЕДЙОЙН ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК ŒЕТЫЙОЩ, ПФŒЕЮБАЭЙЕ УПŒРБДБАЭЙН РТЙНЕУСН:

i

i

i

i

k

òÉÓ. 9.3

лБЛ Й ТБОШЫЕ, ОЕУŒСЪБООЩЕ ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК ŒЕТЫЙОЩ, У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ХУТЕДОЕОЙС РП РПМПЦЕОЙСН РТЙНЕУЕК, СŒМСАФУС УФБФЙУФЙЮЕУЛЙ ОЕЪБŒЙУЙНЩНЙ. œЕТЫЙОЩ ЦЕ, УПЕДЙОЕООЩЕ ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЕК, УППФŒЕФУФŒХАФ ПДОПК Й ФПК ЦЕ РТЙНЕУЙ. нЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ФБЛХА ЫФТЙИПŒХА МЙОЙА ЛБЛ ОПŒЩК ЬМЕНЕОФ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. хУТЕДОЕОЙЕ РП РТЙНЕУСН ДБЕФ ДМС ОЕЕ ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

u(r − ri)u(r − ri) = nu20‹(3)(r − r ) : (9.3)

i

уФБФЙЮЕУЛЙК ИБТБЛФЕТ РПФЕОГЙБМБ РТЙНЕУЕК U (r) ŒЩТБЦБЕФУС НБФЕНБФЙЮЕУЛЙ ПФУХФУФŒЙЕН ЛБЛПК{МЙВП ЪБŒЙУЙНПУФЙ ŒЩТБЦЕОЙС (9.3) ПФ НПНЕОФПŒ ŒТЕНЕОЙ t Й t , Œ ЛПФПТЩЕ РТПЙУИПДЙФ РЕТŒПЕ Й ŒФПТПЕ ТБУУЕСОЙЕ.

дБМЕЕ НПЦОП ВЩМП ВЩ ХЮЕУФШ ŒЩУЫЙЕ РПТСДЛЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС ТБУУЕСОЙС ОБ ПДОПК РТЙНЕУЙ. пДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЬФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ЪБНЕОЕ БНРМЙФХДЩ Й УЕЮЕОЙС ВПТОПŒУЛПЗП ТБУУЕСОЙС ОБ УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ФПЮОЩЕ ŒЩТБЦЕОЙС (УН. ЗМ. 3), ЮФП, ПЮЕŒЙДОП, ОЕ РТЙŒПДЙФ Л ЛБЮЕУФŒЕООП ОПŒЩН ЬЖЖЕЛФБН. рПЬФПНХ ТБЪХНОП РТЕОЕВТЕЮШ ФБЛЙНЙ РПРТБŒЛБНЙ Й РТЙОСФШ, ЮФП ТБУУЕЙŒБАЭЙК РПФЕОГЙБМ УМБВЩК.

рПДŒЕДЕН ЙФПЗ. оБ ЛБЦДПК РТЙНЕУЙ ЬМЕЛФТПО ТБУУЕЙŒБЕФУС МЙВП ПДЙО, МЙВП ДŒБ ТБЪБ. пДОПЛТБФОЩЕ ТБУУЕСОЙС РТПУФП УДŒЙЗБАФ ИЙНРПФЕОГЙБМ Й РПФПНХ НПЗХФ ŒППВЭЕ ОЕ ХЮЙФЩŒБФШУС. œЛМБД ЦЕ ДŒХЛТБФОПЗП ТБУУЕСОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ, ŒЩЮЙУМСС

224	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ДЙБЗТБННЩ УМЕДХАЭЕЗП ŒЙДБ:

òÉÓ. 9.4

рТЙ ЬФПН ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ nu20‹(3)(r − r ).

œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ 2. жПТНБМШОП ПОБ ОБРПНЙОБЕФ ДЙБЗТБННОХА ФЕИОЙЛХ ДМС ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (У ЪБНЕОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЖПОПОПŒ ОБ РТЙНЕУОХА ЫФТЙИПŒХА МЙОЙА). пДОБЛП ЙНЕАФУС ДŒБ УХЭЕУФŒЕООЩИ ПФМЙЮЙС:

1)рЕТЕДБЮБ ЬОЕТЗЙЙ РП ЫФТЙИПŒПК МЙОЙЙ ТБŒОБ ОХМА (ХРТХЗПЕ ТБУУЕСОЙЕ).

2)пФУХФУФŒХАФ РПМСТЙЪБГЙПООЩЕ РЕФМЙ, ПДЕŒБАЭЙЕ ЫФТЙИПŒЩЕ МЙОЙЙ, РПДПВОП ДЙБЗТБННБН ОБ ТЙУ. 6.1.

рЕТŒПЕ ПЮЕŒЙДОП, Б Œ УРТБŒЕДМЙŒПУФЙ ŒФПТПЗП МЕЗЛП ХВЕДЙФШУС, ŒЪЗМСОХŒ ОБ ДЙБЗТБННЩ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 9.1. еЭЕ ДП ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ Œ ЬФЙИ ДЙБЗТБННБИ ПФУХФУФŒХАФ ЪБНЛОХФЩЕ ЬМЕЛФТПООЩЕ РЕФМЙ.

жЙЪЙЮЕУЛЙ ЪБНЛОХФЩЕ РЕФМЙ ПФУХФУФŒХАФ ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК, ЛБЛ ЗПŒПТСФ, ĂŒНПТПЦЕООЩКĄ, Ф. Е. УФБФЙЮЕУЛЙК. дЕМП Œ ФПН, ЮФП ДЙОБНЙЮЕУЛЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ, ФБЛЙЕ, ОБРТЙНЕТ, ЛБЛ УНЕЭЕОЙЕ БФПНПŒ ТЕЫЕФЛЙ, НПЗХФ РПДУФТБЙŒБФШУС РПД ЪБДБООХА ЬМЕЛФТПООХА РМПФОПУФШ (Й ЙНЕООП ЬФПФ ЬЖЖЕЛФ Й ПРЙУЩŒБЕФУС РПМСТЙЪБГЙПООЩНЙ РЕФМСНЙ Œ ДЙБЗТБННБИ ОБ ТЙУ. 6.1). уФБФЙЮЕУЛЙК ЦЕ РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК ОЕ НЕОСЕФ УŒПА ТЕБМЙЪБГЙА У ФЕЮЕОЙЕН ŒТЕНЕОЙ. хУТЕДОЕОЙЕ РП ОЕНХ РТПЙУИПДЙФ РТЙОГЙРЙБМШОП ЙОЩН ПВТБЪПН, ЮЕН РП ДЙОБНЙЮЕУЛЙН УФЕРЕОСН УŒПВПДЩ.

оБРПНОЙН ЛБЛ ПРТЕДЕМСЕФУС ХУТЕДОЕОЙЕ Œ УЙУФЕНЕ ЬМЕЛФТПОПŒ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ У ЖПОПОБНЙ. œ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПК ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ ЬМЕЛФТПООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЕУФШ

			G(x; x ) = −i		T		S 0	0	;	(9.4)
						+(x) (x )S
ЗДЕ УТЕДОЕЕ		: : :	ВЕТЕФУС Й РП ЛПМЕВБОЙСН				ТЕЫЕФЛЙ, Й РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА
		0

ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ХУТЕДОЕОЙЕ РТПЙУИПДЙФ РП-ПФДЕМШОПУФЙ Œ ЮЙУМЙФЕМЕ Й Œ ЪОБНЕОБФЕМЕ.

хУТЕДОЕОЙЕ ЦЕ РП ĂŒНПТПЦЕООПНХĄ ВЕУРПТСДЛХ РТПЙУИПДЙФ ЙОБЮЕ: ŒОБЮБМЕ ŒЩЮЙУМСЕФУС ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ ЪБДБООПК ТЕБМЙЪБГЙЙ ВЕУРПТСДЛБ, Й ФПМШЛП РПФПН РТПЙУИПДЙФ ХУТЕДОЕОЙЕ. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, РП ВЕУРПТСДЛХ ХУТЕДОСЕФУС УТБЪХ ŒУС ДТПВШ

(9.4):	! T				"
G(x; x ) ÂÅÓÐ = −i		+(x) (x )S 0				;	(9.5)
			0			ÂÅÓÐ
		S

2рП ФТБДЙГЙЙ ЕЕ ФБЛЦЕ ОБЪЩŒБАФ ЛТЕУФПŒПК ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК.

9.1. хутедоеойе жхолгйк зтйоб рп веурптсдлх

225

ЗДЕ УТЕДОЕЕ : : : 0 ВЕТЕФУС РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. хУТЕДОЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ ВХДЕФ ТБУУНПФТЕОП ВПМЕЕ РПДТПВОП Œ ЪБДБЮЕ 50.

рТЙ ПГЕОЛЕ ТБЪМЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН, ŒПЪОЙЛБАЭЙИ РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ВЕУРПТСДЛХ, РПМЕЪОП ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ ЙИ ЙОФЕТРТЕФБГЙА Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. œЩТБЦЕОЙЕ ‹(3)(r − r ) Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (9.3) ПРЙУЩŒБЕФ ŒПЪŒТБФ ЬМЕЛФТПОБ ОБ ФХ ЦЕ РТЙНЕУШ. йОФЕТЕУОП, ЮФП Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ УТЕДОЕЕ ПФ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РТЙОЙНБЕФ ŒЕУШНБ РТПУФПК ŒЙД (УН. ЪБДБЮХ 50 В):

G("; r) = G0("; r) e−|r|=2l ;

(9.6)

ÇÄÅ G0("; r) | ОЕХУТЕДОЕООБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ, Б l = vF fi | ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ. ьЛУРПОЕОГЙБМШОЩК НОПЦЙФЕМШ e−|r|=2l ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ŒЕТПСФОПУФШ РТПМЕФБ ЬМЕЛФТПОПН РХФЙ |r| ВЕЪ УФПМЛОПŒЕОЙК У РТЙНЕУСНЙ ТБŒОБ e−|r|=l (ŒЕТПСФОПУФШ ЕУФШ ЛŒБДТБФ БНРМЙФХДЩ, Ф. Е. ЛŒБДТБФ НПДХМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ). фБЛБС ЦЕ ŒЕТПСФОПУФШ РПМХЮБЕФУС ЙЪ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС (9.1).

œ ЪБДБЮБИ, ТБУУНБФТЙŒБЕНЩИ Œ ОБУФПСЭЕК ЗМБŒЕ, ЬМЕЛФТПОЩ УЮЙФБАФУС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙНЙ, Б ТБУУЕСОЙЕ ОБ РТЙНЕУСИ | ХРТХЗЙН. рПЬФПНХ ŒУЕ ПВУХЦДБЕНЩЕ СŒМЕОЙС | ПДОПЮБУФЙЮОЩЕ. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП, Œ РТЙОГЙРЕ, НПЦОП ВЩМП ВЩ ЙЪХЮБФШ РПŒЕДЕОЙЕ ОЕ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ, Б ПДОПК ЮБУФЙГЩ У ЪБДБООПК ЬОЕТЗЙЕК E, ОБКФЙ ЕЕ ŒЛМБД Œ ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТПŒБФШ ТЕЪХМШФБФ РП ŒУЕН ЪБОСФЩН УПУФПСОЙСН. œНЕУФП ЬФПЗП НЩ ВХДЕН РПМШЪПŒБФШУС ЗТЙОПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

еУФЕУФŒЕООП, РТЙ ПФУХФУФŒЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬФЙ ДŒБ РПДИПДБ, ПДОПЮБУФЙЮОЩК Й ЙУРПМШЪХАЭЙК ЖЕТНЙ-ЗБЪ, РТЙŒПДСФ Л ФПЦДЕУФŒЕООЩН ТЕЪХМШФБФБН. рТЙ ПДОПЮБУФЙЮОПН ŒЩЮЙУМЕОЙЙ У РПУМЕДХАЭЙН ХУТЕДОЕОЙЕН РП ЖЕТНЙЕŒУЛПНХ ТБУРТЕДЕМЕОЙА ОБЮБМШОЩИ УПУФПСОЙК, ŒЛМБДЩ ŒУЕИ УПУФПСОЙК, ТБУРПМПЦЕООЩИ ЗМХВПЛП РПД ЖЕТНЙРПŒЕТИОПУФША E = EF , УПЛТБФСФУС, РПУЛПМШЛХ Œ ЬФПК ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК ŒУЕ УПУФПСОЙС ЪБРПМОЕОЩ (ĂДЙТБЛПŒУЛЙК ŒБЛХХНĄ). рПЬФПНХ ПУОПŒОПК ŒЛМБД ŒУЕЗДБ ВХДЕФ ДБŒБФШУС ФПМШЛП УПУФПСОЙСНЙ У ЬОЕТЗЙСНЙ Œ ПФОПУЙФЕМШОП ХЪЛПН ЙОФЕТŒБМЕ ŒПЛТХЗ EF , ПРТЕДЕМСЕНПН ФЕНРЕТБФХТОЩН ТБЪНЩФЙЕН ЖЕТНЙЕŒУЛПК УФХРЕОШЛЙ, ЮБУФПФПК ŒОЕЫОЕЗП РПМС, Й Ф. Р. уПЛТБЭЕОЙЕ ŒЛМБДПŒ УПУФПСОЙК У ЬОЕЗТЙСНЙ, ДБМЕЛП ПФУФПСЭЙНЙ ПФ EF , ПЪОБЮБЕФ, ЮФП РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ДЙОБНЙЛЙ Œ ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЕ НЩ ЬЖЖЕЛФЙŒОП ŒУЕ ТБŒОП ЙНЕЕН ДЕМП МЙЫШ У ПДОПК ЮБУФЙГЕК ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ.

лТПНЕ ФПЗП (Й ЬФП ЗМБŒОПЕ), ЙУРПМШЪПŒБОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ УФБОПŒЙФУС РПМОПУФША ПРТБŒДБООЩН, ЛПЗДБ ТЕЮШ ЙДЕФ П ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОБИ. иПФС УЙФХБГЙЙ ФБЛПЗП ТПДБ ОБН ŒУФТЕФСФУС ФПМШЛП Œ РПУМЕДХАЭЙИ ЗМБŒБИ (УН. ЪБДБЮЙ 64, 65, 66, 67, 71), ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩН ЙНЕФШ ОЕЛПФПТХА РТЕЕНУФŒЕООПУФШ.

пДОПЮБУФЙЮОЩК ИБТБЛФЕТ ТБУУНБФТЙŒБЕНЩИ РТПГЕУУПŒ ХРТПЭБЕФ ЖЙЪЙЮЕУЛХА ЙОФЕТРТЕФБГЙА ŒЩТБЦЕОЙК, РПУЛПМШЛХ МАВПК ЗТБЖЙЛ, ИПФС ЖПТНБМШОП Й УПУФПЙФ ЙЪ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, ОБ УБНПН ДЕМЕ ПРЙУЩŒБЕФ ДЙОБНЙЛХ ŒУЕЗП ПДОПК ЮБУФЙГЩ. йНЕС ЬФП Œ ŒЙДХ, НПЦОП УЮЙФБФШ ЬМЕЛФТПООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ БНРМЙФХДПК РЕТЕИПДБ ЮБУФЙГЩ ЙЪ ПДОПК ФПЮЛЙ Œ ДТХЗХА, Б ДЩТПЮОХА | ЛПНРМЕЛУОП-УПРТСЦЕООПК БНРМЙФХДПК ФПК ЦЕ УБНПК ЮБУФЙГЩ.

226 змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

9.2. хУТЕДОЕОЙЕ ЖХОЛГЙК ПФЛМЙЛБ

тБУУНПФТЙН ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ ВЕУРПТСДЛБ. œППВЭЕ ЗПŒПТС, ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ Œ ОЕХРПТСДПЮЕООПК УЙУФЕНЕ ЪБŒЙУСФ ПФ ЛПОЛТЕФОПК ТЕБМЙЪБГЙЙ ВЕУРПТСДЛБ. пДОБЛП ЖЙЪЙЮЕУЛЙК ЙОФЕТЕУ Œ ПУОПŒОПН РТЕДУФБŒМСАФ ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА ŒУЕИ ŒПЪНПЦОЩИ ТЕБМЙЪБГЙК. оЙЦЕ НЩ ПВУХДЙН, ЛБЛ ŒЩРПМОСЕФУС ФБЛПЕ ХУТЕДОЕОЙЕ.

+	тБУУНПФТЙН, ОБРТЙНЕТ, МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ							РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ			n(r; t) =
	(r	; t	(r	; t			V	(r	; t	ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕЕ У РМПФ-
		)		) ОБ УМБВПЕ РЕТЕНЕООПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ						),
ОПУФША:				Hint = −		n(r; t)V (r; t) d3r :					(9.7)
жХОЛГЙС ПФЛМЙЛБ РМПФОПУФЙ РПУМЕ					РЕТЕИПДБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ жХТШЕ РП ŒТЕНЕОЙ ПРТЕ-
ДЕМСЕФУС УППФОПЫЕОЙЕН:
				n(r1; !) =	KÔÏÞÎ(!; r1; r2)V (r2; !)d3r2 :						(9.8)

ñÄÒÏ KÔÏÞÎ(!; r1; r2) РТПЭЕ ŒУЕЗП ŒЩЮЙУМСФШ РП НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЕ, ТБУУНБФТЙŒБС ПФЛМЙЛ РТЙ ДЙУЛТЕФОПК НОЙНПК ЮБУФПФЕ ŒОЕЫОЕЗП РПМС, ЛПФПТЩК ЪБФЕН БОБМЙФЙЮЕУЛЙ РТПДПМЦБЕФУС ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ ЮБУФПФЩ. рПУЛПМШЛХ ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ТБУУНБФТЙŒБЕНПК ЪБДБЮЕ ПФУХФУФŒХЕФ, НБГХВБТПŒУЛЙК ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ-РМПФОПУФШ НПЦОП ЪБРЙУБФШ ЮЕТЕЪ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ, ДŒЙЦХЭЕЗПУС Œ УМХЮБКОПН РПФЕОГЙБМЕ:

KÔÏÞÎ(i!n; r1; r2) = T GM (i"k ; r1; r2)GM (i"k + i!n; r1; r2) :	(9.9)

"k

œ ЗТБЖЙЮЕУЛПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЬФПФ ЛПТТЕМСФПТ ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

ˆ

GM

nˆnˆ

ˆ

GM

òÉÓ. 9.5

цЙТОБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ, Ф. Е. УХННХ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 9.1.

лПТТЕМСФПТ KÔÏÞÎ(i!n; r1; r2) ЪБŒЙУЙФ ПФ ТБУРПМПЦЕОЙС РТЙНЕУЕК Й РПЬФПНХ ЪБŒЙУЙФ ПФ ПВЕЙИ ЛППТДЙОБФ r1 É r2, Б ОЕ ФПМШЛП ПФ ЙИ ТБЪОПУФЙ. пДОБЛП УЙУФЕНБ ĂŒ

9.2. хутедоеойе жхолгйк пфлмйлб

227

УТЕДОЕНĄ ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОБ, РПЬФПНХ ХУТЕДОЕООЩК РП ВЕУРПТСДЛХ ЛПТТЕМСФПТ ДПМЦЕО ЪБŒЙУЕФШ ФПМШЛП ПФ ТБЪОПУФЙ r1 − r2:

K(!; r1 − r2) = KÔÏÞÎ(!; r1; r2) ÂÅÓÐ :

(9.10)

юФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ K(!; r), ОХЦОП ХУТЕДОЙФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (9.9) РП ВЕУРПТСДЛХ. лБЛ Й РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ ПДОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ОХЦОП РПРБТОП УŒСЪБФШ РТЙНЕУЙ ЫФТЙИПŒЩНЙ МЙОЙСНЙ. ыФТЙИПŒЩЕ МЙОЙЙ, ОБЮЙОБАЭЙЕУС Й ЪБЛБОЮЙŒБАЭЙЕУС ОБ ПДОПК ЬМЕЛФТПООПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, НПЦОП РТПУХННЙТПŒБФШ, РПМХЮЙŒ ХУТЕДОЕООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ (УН. ЪБДБЮХ 50). мЙОЙЙ ЦЕ, УŒСЪЩŒБАЭЙЕ ТБЪМЙЮОЩЕ ЬМЕЛФТПООЩЕ ЖХОЛГЙЙ, ПРЙУЩŒБАФ ПФМЙЮЙЕ УТЕДОЕЗП РТПЙЪŒЕДЕОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (9.9) ПФ РТПЙЪŒЕДЕОЙС УТЕДОЙИ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС УТЕДОЕЗП ЛПТТЕМСФПТБ Œ (9.10) ОБДП РТПУХННЙТПŒБФШ ФБЛХА РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН:

òÉÓ. 9.6

пЛБЪЩŒБЕФУС, ПДОБЛП, ЮФП ОЕ ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ Œ ЬФПН ТСДХ ПДЙОБЛПŒП ŒБЦОЩ. œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У ПУОПŒОЩН РТЙОГЙРПН ФЕИОЙЛЙ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ (УН. ТБЪД. 9.6),

ПУОПŒОПК ŒЛМБД ДБЕФУС ДЙБЗТБННБНЙ, Œ ЛПФПТЩИ РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС. фБЛБС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН ОБЪЩŒБЕФУС МЕУФОЙЮОЩН ТСДПН:

òÉÓ. 9.7

рТЙ ЬФПН ŒУЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ОБДП УЮЙФБФШ ХЦЕ ХУТЕДОЕООЩНЙ РП ВЕУРПТСДЛХ. уХННЙТПŒБОЙЕ ЬФПК РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ДЙБЗТБНН ВХДЕФ ŒЩРПМОЕОП Œ ЪБДБЮЕ 52.

œЩЮЙУМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ ФПЛБ j(r; t) РТПЙЪŒПДЙФУС БОБМПЗЙЮОП. œ ЬФПН УМХЮБЕ, ПДОБЛП, ОБДП ХЮЙФЩŒБФШ УМЕДХАЭЕЕ ПВУФПСФЕМШУФŒП. пРЕТБФПТ ФПЛБ

j(r; t) = 2m		−i	+(r; t) (r; t) + h:c: − mc A(r; t) +(r; t) (r; t)	(9.11)
	eh—		e2

УПДЕТЦЙФ ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ A(r; t) Œ СŒОПН ŒЙДЕ. рПЬФПНХ РТЙ ДПВБŒМЕОЙЙ Œ

228	змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме
ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ŒОЕЫОЕЗП РПМС,
	Hkinetic =	2m	+(r) −ih— − c A(r; t)		(r)d3r ;	(9.12)
		1	e	2

ЙЪНЕОСЕФУС ОЕ ФПМШЛП УТЕДОЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ ПРЕТБФПТБ ФПЛБ (ЛБЛ Œ УМХЮБЕ У ЖХОЛГЙЕК ПФЛМЙЛБ РМПФОПУФЙ), ОП Й УБНП ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬФПЗП ПРЕТБФПТБ. ьФПФ ЬЖЖЕЛФ ОЕ ХЮЙФЩŒБЕФУС ЖПТНХМПК лХВП, РПЬФПНХ Œ ОЕЕ ОЕПВИПДЙНП ДПВБŒЙФШ УППФŒЕФУФŒХАЭЙК ŒЛМБД (ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ (9.11)).

фБЛЙН ПВТБЪПН, Œ ПРЕТБФПТЕ ФПЛБ (9.11) ЙНЕЕФУС ДŒБ ŒЛМБДБ: ЗТБДЙЕОФОЩК Й ДЙБНБЗОЙФОЩК. рПЬФПНХ РТПŒПДЙНПУФШ ДБЕФУС УХННПК ŒЩТБЦЕОЙК УХЭЕУФŒЕООП ТБЪОПК РТЙТПДЩ. œП-РЕТŒЩИ, УТЕДОЕЕ ПФ ДЙБНБЗОЙФОПЗП ФПЛБ РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ЕУФШj(1) = −(ne2=mc)A, ЗДЕ n | ЬМЕЛФТПООБС РМПФОПУФШ. œП{ŒФПТЩИ, ОБИПДС НБГХВБТПŒУЛЙК ПФЛМЙЛ ЗТБДЙЕОФОПК ЮБУФЙ ФПЛБ ОБ РЕТЕНЕООПЕ РПМЕ, НЩ РПМХЮБЕН

	j¸(2)(r) = −c		˝¸˛		(i!n; r − r )A˛ (r )d3r ;		(9.13)
	1		(M )
ÇÄÅ ˝¸˛(M )(i!n; r − r ) ЕУФШ НБГХВБТПŒУЛЙК ЛПТТЕМСФПТ ФПЛ{ФПЛ:
			˛
		1	−˛
˝¸˛(M )	(i!n; r − r ) = −2			Tfi j¸(fi; r) j˛ (0; r ) ei!nfi dfi			(9.14)

(ЪДЕУШ | НБГХВБТПŒУЛПЕ ŒТЕНС, ¸ | ЛПНРПОЕОФЩ ЗТБДЙЕОФОПК ЮБУФЙ ПРЕТБФПТБ

fi j

ФПЛБ). рПЬФПНХ РПМОБС НБГХВБТПŒУЛБС ЛПТТЕМСГЙПООБС ЖХОЛГЙС ФПЛПŒ ДБЕФУС УХННПК ДŒХИ УМБЗБЕНЩИ:

jj (M )	(M )	(i!n; r − r ) +	ne2
K¸˛	(i!n) = ˝¸˛		m ‹¸˛ ‹(3)(r − r ) :	(9.15)

пФЛМЙЛ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ЮБУФПФЕ РПМХЮБЕФУС ЙЪ (9.15) БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН i!n → ! (n > 0).

иПФС, ОБ РЕТŒЩК ŒЪЗМСД, ДŒБ ЮМЕОБ Œ (9.15) ЙНЕАФ УПŒЕТЫЕООП ТБЪМЙЮОХА РТЙТПДХ, ОБ УБНПН ДЕМЕ НЕЦДХ ОЙНЙ ЙНЕЕФУС ПРТЕДЕМЕООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, Œ РТЕДЕМЕ ОЙЪЛПК ЮБУФПФЩ РТПŒПДЙНПУФШ ДПМЦОБ ВЩФШ ЛПОЕЮОПК. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ПДОПТПДОЩК Œ РТПУФТБОУФŒЕ Й ŒТЕНЕОЙ ŒЕЛФПТ{РПФЕОГЙБМ, ОЕ УПЪДБАЭЙК ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП РПМС, ОЕ ДПМЦЕО УПЪДБŒБФШ Й ФПЛ. рПЬФПНХ ДПМЦОП ŒЩРПМОСФШУС ФПЦДЕУФŒП:

ne2
˝¸˛ (!; k)|k=0;!→0 = − m ‹¸˛ ;	(9.16)

ÇÄÅ ˝¸˛ (!; k) = ˝¸˛ (!; r)e−ikrd3r | РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ (9.14) Œ ЮБУФПФОПЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. уППФОПЫЕОЙЕ (9.16) БОБМПЗЙЮОП ЙЪŒЕУФОПНХ ЙЪ ФЕПТЙЙ РПМС ФПЦДЕУФŒХ хПТДБ, ЗБТБОФЙТХАЭЕНХ ЛБМЙВТПŒПЮОХА ЙОŒБТЙБОФОПУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ. рПДПВОП ФПЦДЕУФŒХ хПТДБ, Œ ОБЫЕН УМХЮБЕ ТБŒЕОУФŒП ˝(0) = −ne2=m ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ ЛБМЙВТПŒПЮОХА ЙОŒБТЙБОФОПУФШ РТПŒПДЙНПУФЙ.

9.3. ъбдбюй 50 { 54

229

œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ ЙЪ-ЪБ ЛБМЙВТПŒПЮОПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ ЪБРТЕЭЕОП УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ ФПЛПН Й ŒЕЛФПТОЩН РПФЕОГЙБМПН ŒЙДБ j = const A. уПЛТБЭЕОЙЕ ŒЛМБДПŒ ФБЛПЗП ФЙРБ Й ПВЕУРЕЮЙŒБЕФУС ФПЦДЕУФŒПН (9.16). б ŒПФ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ, ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ЛБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ ОБТХЫЕОБ, УППФОПЫЕОЙЕ ХЛБЪБООПЗП ŒЙДБ УРТБŒЕДМЙŒП (ПОП ОБЪЩŒБЕФУС ĂХТБŒОЕОЙЕН мПОДПОПŒĄ Й ВХДЕФ ТБУУНПФТЕОП Œ ЪБДБЮБИ 63 Й 65). œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБИ ФПЦДЕУФŒП (9.16) ОЕ ЙНЕЕФ НЕУФБ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ИПФС Œ ФПЛПŒПК ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ (9.15) Й РПСŒМСЕФУС ДПРПМОЙФЕМШОЩК ДЙБНБЗОЙФОЩК ЮМЕО, ĂОЕРТБŒЙМШОПĄ ŒЕДХЭЙК УЕВС ОБ НБМЩИ ЮБУФПФБИ, ПВЩЮОП ПО УПЛТБЭБЕФУС БОБМПЗЙЮОЩН ŒЛМБДПН ЙЪ ЗТБДЙЕОФОПК ЮБУФЙ ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ (9.14). уБНБ ЦЕ ЗТБДЙЕОФОБС ЮБУФШ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ЖХОЛГЙС ПФЛМЙЛБ РМПФОПУФЙ. пОБ ФПЮОП ФБЛЦЕ ПРЙУЩŒБЕФУС УХННПК ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 9.7, ФПМШЛП ФЕРЕТШ ОБ ЛПОГБИ ДЙБЗТБНН УФПСФ ФПЛПŒЩЕ ŒЕТЫЙОЩ. пУОПŒОПК РТЙОГЙР, ТБЪХНЕЕФУС, ТБВПФБЕФ Й Œ ЬФПН УМХЮБЕ, РПЬФПНХ ЖХОЛГЙС ПФЛМЙЛБ ФПЛБ ФПЦЕ ПРТЕДЕМСЕФУС МЕУФОЙЮОЩН

ТСДПН. œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ УХННЙТПŒБОЙЕ ЬФПЗП ТСДБ РТПŒЕДЕОП Œ ЪБДБЮЕ 51. мЙФЕТБФХТБ: фЕИОЙЛБ ХУТЕДОЕОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ ТБУУНПФТЕОБ Œ [1],

§ 39, Р. 2, Б ФБЛЦЕ Œ ПВЪПТЕ: P. A. Lee, T. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys., v. 57, p. 287 (1985).

9.3. ъБДБЮЙ 50 { 54

ъБДБЮБ 50. (жХОЛГЙС зТЙОБ, ХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ.) пУОПŒОПК ĂРТЙОГЙРĄ ФЕИОЙЛЙ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ ЛБЛПК{МЙВП ŒЕМЙЮЙОЩ РП ВЕУРПТСДЛХ ПУОПŒОПК ŒЛМБД ДБАФ ЗТБЖЙЛЙ, Œ ЛПФПТЩИ РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС. рБТБНЕФТ, РП ЛПФПТПНХ ЗТБЖЙЛЙ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС НБМЩНЙ РП УТБŒОЕОЙА У ЗТБЖЙЛБНЙ, Œ ЛПФПТЩИ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБАФУС, ЕУФШ (p0l)−1 | ПФОПЫЕОЙЕ ЖЕТНЙЕŒУЛПК ДМЙОЩ ŒПМОЩ Л ДМЙОЕ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ l = vF fi . пВПУОПŒБОЙЕ ЬФПЗП ĂРТЙОГЙРБĄ НЩ ПВУХДЙН ОЙЦЕ, Œ ТБЪД. 9.6.

Б) хУТЕДОЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ, ТБУУНБФТЙŒБС ФПМШЛП ЗТБЖЙЛЙ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ. рПМХЮЙФЕ УТЕДОЕЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ:

G("; p) =	1	;	1	= 0nu02 ;	(9.17)
	" − ‰(p) + 2ifi sign "		2fi

ÇÄÅ u0 = u(r)d3r, Á 0 = mp0=2ı2h—3 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ.

В) оБКДЙФЕ G("; r) Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТЙ |r|p0 1. œЩŒЕДЙФЕ ЖПТНХМХ (9.6). рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ УМХЮБЕ ХУТЕДОЕОЙС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ БОБМПЗ

ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛПЗП ŒЩТБЦЕОЙС (5.23) РТЙОЙНБЕФ ФБЛПК ŒЙД:
G("; r) = −	m
	2ı|r| exp [(ip0 sign " + i|"|=vF − 1=2l)|r|] :	(9.18)

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УРТБŒЕДМЙŒП РТЙ |"| "F É |r|p0 1.

230 змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ъБДБЮБ 51. (рТПŒПДЙНПУФШ ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ 3.) рТПŒПДЙНПУФШ ЗБЪБ ЬМЕЛФТП-

ОПŒ, ТБУУЕЙŒБАЭЙИУС ОБ РТЙНЕУСИ, ДБЕФУС ИПТПЫП ЙЪŒЕУФОПК ЖПТНХМПК дТХДЕ:
(!) =	0	; 0 = ne2fi =m :	(9.19)
	1 − i!fi

ъДЕУШ 0 | УФБФЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ, n | ЛПОГЕОФТБГЙС ЬМЕЛФТПОПŒ, fi | ŒТЕНС УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ. оБЫЕК ЪБДБЮЕК ВХДЕФ РПМХЮЙФШ УППФОПЫЕОЙЕ (9.19) У РПНПЭША ФЕИОЙЛЙ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ. фБЛПК ŒЩŒПД РТЕДУФБŒМСЕФ ВПМШЫПК НЕФПДЙЮЕУЛЙК ЙОФЕТЕУ, РПУЛПМШЛХ ПО РПЪŒПМСЕФ РТПУМЕДЙФШ УŒСЪШ НЕЦДХ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛПК Й ФЕПТЙЕК ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС.

тБЪХНЕЕФУС, ОБЙВПМЕЕ РТПУФПК ŒЩŒПД (9.19) ЙУРПМШЪХЕФ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (9.1). оБРПНОЙН, ЛБЛ ЬФП ДЕМБЕФУС. œ ПДОПТПДОПН ЬМЕЛФТЙЮЕУЛПН РПМЕ e−i!t E ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС, ŒПЪНХЭЕООБС РПМЕН, ОЕ ЙНЕЕФ СŒОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ЛППТДЙОБФ. рПЬФПНХ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (9.1), ТБЪМПЦЕООПЕ ДП ЮМЕОПŒ, МЙОЕКОЩИ РП РПМА E, РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

−i!‹n(p) + eE pn0(p) = −	1	‹n(p) :	(9.20)
	fi

ъДЕУШ ‹n(p) | РПРТБŒЛБ Л ТБŒОПŒЕУОПК ЖХОЛГЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС n0(p), МЙОЕКОБС РП РПМА E. тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ (9.20), РПМХЮБЕН ‹n(p) = (eE pn0(p))=(i! − fi −1) Й ОБИПДЙН ФПЛ:

j =	ev‹n(p)	d3p	=	e2nE	(9.21)
		(2ı)3		m(fi −1 − i!)

оБРПНОЙН ФБЛЦЕ, ЮФП Œ УМХЮБЕ ТБУУЕСОЙС ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ ЛМБУУЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС ФТБОУРПТФОЩН ŒТЕНЕОЕН fitr, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС ОЕ УПŒРБДБАЭЙН УП ŒТЕНЕОЕН УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ fi . пДОБЛП ДМС ФПЮЕЮОЩИ РТЙНЕУЕК, ТБУУЕЙŒБАЭЙИ ЙЪПФТПРОП, Ф. Е. ФПМШЛП Œ S-ЛБОБМЕ, ЬФЙ ДŒБ ŒТЕНЕОЙ ТБŒОЩ: fitr = fi .

дМС ŒЩЮЙУМЕОЙС РТПŒПДЙНПУФЙ У РПНПЭША ДЙБЗТБНН ОЕПВИПДЙНП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС УППФОПЫЕОЙЕН (9.15), УŒСЪЩŒБАЭЙН ЖХОЛГЙА ПФЛМЙЛБ У НБГХВБТПŒУЛЙН ЛПТТЕМСФПТПН ФПЛ{ФПЛ. хРТПУФЙФЕ НБГХВБТПŒУЛЙК ЛПТТЕМСФПТ (9.14), РТЕДŒБТЙФЕМШОП ЪБРЙУБŒ ЕЗП Œ ЖПТНЕ

				;
˝¸˛ (i!n) = T "m=(2m+1)ıT	Tr GM (i"m + i!n)j¸GM (i"m)j˛				(9.22)

УРТБŒЕДМЙŒПК ДМС ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ (УН. Р. 7.2.1). œЩРПМОЙФЕ ХУТЕДОЕОЙЕ РП ВЕУРПТСДЛХ, ТБУУНБФТЙŒБС ФПМШЛП ДЙБЗТБННЩ У ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ. у

РПНПЭША УППФОПЫЕОЙС (9.15) ОБКДЙФЕ РТПŒПДЙНПУФШ.

ъБДБЮБ 52. (хТБŒОЕОЙЕ ДЙЖЖХЪЙЙ.) œЩŒЕДЙФЕ ХТБŒОЕОЙЕ ДЙЖЖХЪЙЙ, ТБУУНБФТЙŒБС ПФЛМЙЛ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ ОБ УМБВПЕ РЕТЕНЕООПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ (9.7). дМС ЬФПЗП

РТПУХННЙТХКФЕ МЕУФОЙЮОЩК ТСД ОБ ТЙУ. 9.7 (ЕЗП Œ ЬФПК УŒСЪЙ ЮБУФП ОБЪЩŒБАФ ДЙЖЖХЪЙПООПК МЕУФОЙГЕК ЙМЙ ДЙЖЖХЪПОПН). рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ |q|l 1 É !nfi 1

ХУТЕДОЕООЩК ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ЕУФШ

K(i!n; q) = −	Dq2		1
	|!n| + Dq2 ;	D =	3 vF l ;	(9.23)

3 S. F. Edwards, Phil. Mag., series 8, v. 3, p. 1020 (1958); б. б. бВТЙЛПУПŒ, м. р. зПТШЛПŒ, цьфж, Ф. 35, У. 1158 (1958); ibid., Ф. 36, У. 319 (1959)