Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

7.4. теыеойс

151

тЕЫЕОЙЕ 35 Б. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, УХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ПУМПЦОСЕФУС ФЕН, ЮФП РП УТБŒОЕОЙА У ТСДПН ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЛБЦДБС ЙЪ ДЙБЗТБНН УПДЕТЦЙФ ДПРПМОЙФЕМШОЩК НОПЦЙФЕМШ 1=n, ЗДЕ n | РПТСДПЛ ДЙБЗТБННЩ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. лБОПОЙЮЕУЛЙК УРПУПВ РТЕПДПМЕОЙС ЬФПК ФТХДОПУФЙ | ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЕ ДЙБЗТБНН РП ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ, ХУФТБОСАЭЕЕ НОПЦЙФЕМЙ 1=n. œ УМХЮБЕ ЦЕ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 7.1, Œ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ РПДПВОПЗП РТЙЕНБ ОЕФ ОЕПВИПДЙНПУФЙ, РПУЛПМШЛХ ЙНЕАЭЙКУС ТСД МЕЗЛП УХННЙТХЕФУС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, n-К ЮМЕО ТСДБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЪБНЛОХФХА РЕФМА ЙЪ n ЖХОЛГЙК G0;¸(i"n; p) Й n ЖХОЛГЙК ˚¸(i"n; p). еЗП ŒЛМБД Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ЕУФШ

	1
‹˙n =		T	(G0;¸(i"m; p)˚¸(i"m; p))n :	(7.55)
	n		m;p;¸

уХННБ ЬФЙИ ŒЛМБДПŒ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ

˙ − ˙0 = −T ln (1 − G0;¸(i"m; p)˚¸(i"m; p)) =

m;p;¸		:
	G¸(i"m; p)
= T m;p;¸ ln G0;¸(i"m; p)			(7.56)

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, НПЦОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ДМС УŒПВПДОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ

˙0 = T
	ei"mfi ln (G0;¸(i"m; p)) ; fi → +0 :	(7.57)

m;p;¸

юФПВЩ ДПЛБЪБФШ УППФОПЫЕОЙЕ (7.57), ТБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ

	∞
F (a) = −T
	ei"mfi ln (i"m − a)	(7.58)

m=−∞

ÇÄÅ "m = ıT (2m + 1), fi → +0. дЙЖЖЕТЕОГЙТХС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РП a, РПМХЮБЕН

∞		ei"mfi		1
	a	−	i"m	= e˛a + 1 :	(7.59)
F (a) = −T
m=−∞

œ УРТБŒЕДМЙŒПУФЙ РПУМЕДОЕЗП ТБŒЕОУФŒБ НПЦОП ХВЕДЙФШУС, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС 1=(e˛a + 1) Й ŒЩЮЕФЩ Œ ОЙИ УПŒРБДБАФ У РПМАУБНЙ Й ŒЩЮЕФБНЙ ŒЩТБЦЕОЙС РПД ЪОБЛПН УХННЩ Œ (7.59). ьФП ХУМПŒЙЕ ПРТЕДЕМСЕФ ЪБŒЙУЙНПУФШ F ПФ a У ФПЮОПУФША ДП ОЕЙЪŒЕУФОПК ГЕМПК ЖХОЛГЙЙ a. юФПВЩ ОБКФЙ ЬФХ ГЕМХА ЖХОЛГЙА (Й ХВЕДЙФШУС Œ ФПН, ЮФП ПОБ ТБŒОБ ОХМА) НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.59) РТЙ ВПМШЫЙИ Re a. œ РТЕДЕМЕ | Re a| T УХННХ Œ (7.59) НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ЙОФЕЗТБМПН

1	i∞		ezfi	a dz =		1	ÐÒÉ Re a < 0,
2ıi		z	−			0	ÐÒÉ Re a > 0.	(7.60)
	−i∞

рПМХЮБАЭБСУС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ a УПŒРБДБЕФ У БУЙНРФПФЙЛПК ŒЩТБЦЕОЙС −(e˛a + 1)−1.

152змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ъОБС F (a), ОЕФТХДОП ОБКФЙ F (a) РТСНЩН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН:

∞		0
F (‰) = −	(e˛a + 1)−1da = T	˛‰ (1 + e−˛a)−1de−˛a = −T ln(1 + e−˛‰ )	(7.61)
‰		e−

дБООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ПДОПЗП ЖЕТНЙПОБ У ЬОЕТЗЙЕК ‰. пФУАДБ ФТЕВХЕНПЕ УППФОПЫЕОЙЕ (7.57) РПМХЮБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН РП УПУФПСОЙСН ŒУЕИ ЖЕТНЙПОПŒ УЙУФЕНЩ.

тЕЫЕОЙЕ 35 В. тБУУНПФТЙН ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.30) ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ Й, ОЕ ЛПОЛТЕФЙЪЙТХС РПЛБ ŒЙД ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, РТЕПВТБЪХЕН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Л ЖПТНЕ, ХДПВОПК ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК. рТЕДУФБŒЙН УХННХ РП "m = ıT (2m + 1) Œ ŒЙДЕ ЛПОФХТОПЗП ЙОФЕЗТБМБ:

			+			z	ln G¸(z; p)ezfi	dz
	˙ = p;¸				th	2T		4ıi ;	(7.62)
		C1	C2

ЗДЕ ЛПОФХТЩ C1 É C2 ПИŒБФЩŒБАФ ŒЕТИОАА Й ОЙЦОАА НОЙНЩЕ РПМХПУЙ Im z > 0 Й Im z < 0, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.2.

C1

C1

C2

C2

òÉÓ. 7.2

оБКДЕН ЬОФТПРЙА S = −@˙=@T , ДЙЖЖЕТЕОГЙТХС ЙОФЕЗТБМ (7.62) РП РБТБНЕФТХ T :

S = p;¸		+		2T 2 ch2	(z=2T )	ln G¸(z; p)ezfi	4ıi ;	(7.63)
				z			dz
	C1	C2

ÇÄÅ G¸(z; p) ЕУФШ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У РПМПЦЙФЕМШОПК Й ПФТЙГБФЕМШОПК НОЙНПК РПМХПУЙ УППФŒЕФУФŒЕООП Œ ПВМБУФЙ Im z > 0 Й Im z < 0.

œЩТБЦЕОЙЕ (7.63) ŒЕУШНБ ХДПВОП ДМС ŒЩЮЙУМЕОЙК, РПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС 1= ch2(z=2T ) ЬУРПОЕОГЙБМШОП ВЩУФТП ХВЩŒБЕФ РТЙ ХДБМЕОЙЙ z ПФ НОЙНПК ПУЙ. ьФП ПВУФПСФЕМШУФŒП РПЪŒПМСЕФ ТБЪŒЕТОХФШ ЛПОФХТЩ, ОБРТБŒЙŒ ЙИ ŒДПМШ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 7.2. œ РПМХЮЙŒЫЕНУС ŒЩТБЦЕОЙЙ НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ НОПЦЙФЕМЕН ezfi , РПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС 1= ch2(z=2T ) ПВЕУРЕЮЙŒБЕФ УИПДЙНПУФШ ЙОФЕЗТБМБ РП z.

7.4. теыеойс

153

ъБНЕФЙН ФЕРЕТШ, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ Œ ПВМБУФЙ Im z > 0 ДБЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭХА ЖХОЛГЙА GR(z; p), Б Œ ПВМБУФЙ Im z < 0 | ПРЕТЕЦБАЭХА ЖХОЛГЙА GA(z; p) (УН. ЪБДБЮХ 40). рПЬФПНХ ЙОФЕЗТБМ РП ЛПОФХТБН C1 É C2 НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ ЙОФЕЗТБМБ РП ŒЕЭЕУФŒЕООЩН z ПФ ŒЩТБЦЕОЙС, УПДЕТЦБЭЕЗП ТБЪОПУФШ ln GR(z; p) − ln GA(z; p). ьФП ДБЕФ УМЕДХАЭХА РПМЕЪОХА ЖПТНХМХ:

	∞	"	G¸R("; p)	d"
			ln GA("; p)	4ıi :
S =		2T 2 ch2("=2T )			(7.64)
p;¸			¸
	−∞

пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ŒЕЭЕУФŒЕООПН " ŒЕМЙЮЙОЩ GR¸ ("; p) É GA¸ ("; p) ЛПНРМЕЛУОП УПРТСЦЕОЩ, Й ЪОБЮЙФ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ УЛПВЛБИ Œ (7.64) ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ 2i arg GR¸ ("; p). рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (7.64) НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ ФБЛ:

	∞	"	d"
		2T 2 ch2("=2T ) arg G¸R("; p) 2ı :
S = p;¸				(7.65)
	−∞

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ ЛПФПТХА ŒЛМАЮЕОБ УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ, ПРЙУЩŒБАЭБС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЖПОПОБНЙ. лБЛ ВЩМП ŒЩСУОЕОП Œ ЪБДБЮЕ 29, Œ ДБООПН УМХЮБЕ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЙНРХМШУБ, СŒМССУШ ЖХОЛГЙЕК ПДОПК МЙЫШ ЬОЕТЗЙЙ. ъБРБЪДЩŒБАЭБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ЕУФШ GR("; p) = ("−˚(")−‰(p)+i0)−1. уЮЙФБС ДМС РТПУФПФЩ ˚(") ŒЕЭЕУФŒЕООЩН, РПМХЮБЕН

	0	ÐÒÉ ‰(p) < "	− ˚(").
arg GR("; p) =	−ı	ÐÒÉ ‰(p) > "	˚("),	(7.66)
			−

рТПУХННЙТХЕН ФЕРЕТШ (7.66) РП ЙРХМШУБН Й РТПЕЛГЙСН УРЙОБ. рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ŒЛМБД ПФ УПУФПСОЙК У ЬОЕТЗЙСНЙ ŒВМЙЪЙ EF , РЕТЕКДЕН Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰ Œ ЛПОЕЮОЩИ РТЕДЕМБИ −‰0 < ‰ < ‰0, ÇÄÅ ‰0 ≈ EF . œЩЮЙУМСЕН ЙОФЕЗТБМ:

p;¸ arg GR("; p) = −2ı 0	‰0	„ (‰ − " + ˚(")) d‰ = 2ı 0 (" − ˚(") − ‰0)	(7.67)
	−‰0

нОПЦЙФЕМШ 2 ŒПЪОЙЛБЕФ Œ ТЕЪХМШФБФЕ УХННЙТПŒБОЙС РП УРЙОБН. рПДУФБŒЙН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (7.65) Й ЪБНЕФЙН, ЮФП УМБЗБЕНПЕ −2ı 0‰0 РТЙŒПДЙФ Л ЙОФЕЗТБМХ РП " ПФ ОЕЮЕФОПК ЖХОЛГЙЙ, ТБŒОПНХ ОХМА. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ОЕЪБŒЙУСЭЕЕ ПФ РБТБНЕФТБ ПВТЕЪЛЙ ‰0 ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

0		2T 2 ch2	("=2T )
S =	∞	" (" −	˚(")) d" :	(7.68)

−∞

рПДУФБŒМСС Œ (7.68) УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ Œ ŒЙДЕ ˚(") = −b", ОБИПДЙН

	∞	x2
S = (1 + b) 0T		2 ch2(x=2) dx = 4“ (2)(1 + b) 0T ;	(7.69)
	−∞

154змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

ÇÄÅ “ (2) = ı2=6. пФУАДБ ФЕРМПЕНЛПУФШ C = T @S=@T = (1 + b)C0(T ), ÇÄÅ C0 = (2ı2=3) 0T | ФЕРМПЕНЛПУФШ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

рТЙŒЕДЕООПЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ УМХЮБК ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ У РТПЙЪŒПМШОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, ОЕ ТБЪТХЫБАЭЙН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОХА ЛБТФЙОХ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТЙ НБМЩИ " Й ‰ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ЙНЕЕФ ŒЙД ˚("; ‰) = a‰ −b". лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, РТЙ ЬФПН ЖПТНХМБ (7.65) РТЙŒПДЙФ Л МЙОЕКОПК РП T ЬОФТПРЙЙ Й ТБŒОПК ЕК ФЕРМПЕНЛПУФЙ C(T ) = [(1 + b)=(1 + a)]C0(T ). пФНЕФЙН, ЮФП ФБ ЦЕ УБНБС ЛПОУФБОФБ ДБЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ: m =m = (1 + b)=(1 + a).

тЕЫЕОЙЕ 36. лБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 20, ВХДЕН ЙУРПМШЪПŒБФШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЗБНЙМШФПОЙБОБ ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЙ (1.20) Œ ŒЙДЕ УХННЩ H0 É Hint, ÇÄÅ H0 УПДЕТЦЙФ ŒУЕ ЮМЕОЩ, УПИТБОСАЭЙЕ ЮЙУМП ЖЕТНЙПОПŒ, Б Hint | ŒУЕ ЮМЕОЩ, НЕОСАЭЙЕ ЮЙУМП ЖЕТНЙОПŒ ОБ

±2. зТБЖЙЮЕУЛПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ, РПМХЮБАЭЙИУС Œ ЬФПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, ВЩМП ОБКДЕОП Œ ЪБДБЮЕ 20. уППФŒЕФУФŒХАЭБС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБНН ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ РПЛБЪБОБ ОБ ТЙУ. 7.3.

					1 101100	10
	1					10
+		10	01	+		10	+...
		10	0101		3
	2	10
01						01
01						01
01						01

òÉÓ. 7.3
œЩТБЦЕОЙЕ, УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ n-НХ ЮМЕОХ РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФЙ ЕУФШ
‹˙n = n T "m			(2iJ2 sin q)2G0(i"m; p)G0(−i"m; −p)		2ı :	(7.70)
1		ı			n dp
		0

уХННЙТХС РП n = 1; 2; :::, РПМХЮБЕН ЙЪНЕОЕОЙЕ РПФЕОГЙБМБ ŒУМЕДУФŒЙЕ РТЙУХФУФŒЙС

ĂŒЪБЙНПДЕКУФŒЙСĄ Hint:

1 − (2iJ2 sin q)2G0(i"m; p)G0(−i"m; −p)

2ı =

˙ − ˙0

= −T "m

ln

ı

0

dp

−

ı

"2

+ 4(J cos p

B)2

2ı

= T

0

ln

"m2 + 4(J1 cos p − B)2 + 4J22 sin2 p

dp

(7.71)

1

−

"m

m

рПМШЪХСУШ УППФОПЫЕОЙСНЙ (7.57) Й (7.61), РПМХЮЕООЩНЙ Œ ЪБДБЮЕ 35, ОБИПДЙН

−

−

ch ˛(J1 cos p

B)

2ı

ı

ch ˛ (J1 cos p − B)2 + J22 sin2 p

dp :

˙

˙0 = 2T

ln

(7.72)

0

−

ÇÄÅ !nm

7.4. теыеойс

155

пФДЕМСС ŒЛМБД ˙0, РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙ-

ÁÌÁ:		ln 2 ch ˛ (J1 cos p − B)2 + J22 sin2 p dp :	(7.73)
˙ = −ı
T	ı
	0

тЕЫЕОЙЕ 37 Б. дПЛБЦЕН, ЮФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ НБГХВБТПŒУЛПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ (7.26) ДБЕФ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП (7.25). ъБРЙЫЕН ЖПТНБМШОЩЕ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ПВЕЙИ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЕК ВБЪЙУЕ ФПЮОЩИ УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК |n ÒÁÓ-

УНБФТЙŒБЕНПК УЙУФЕНЩ: = . œП ЙЪВЕЦБОЙЕ ОЕДПТБЪХНЕОЙК ЪБНЕФЙН, ЮФП

H|n En|n

ТЕЮШ ЙДЕФ П НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ, Б ОЕ ПВ ПДОПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙСИ. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ лХВП:

AB (!) = i ∞ei!t [A(t)B(0)] Ôdt ;

(7.74)

0

− H

H |

ÇÄÅ : : : Ô

= Tr(e−˛H : : :)=Tr e−˛H | ХУТЕДОЕОЙЕ РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА зЙВВУБ, Б

X(t) =

ÎÙÈ

H

e

it X eit

ПРЕТБФПТ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ. рЕТЕИПДС Л ВБЪЙУХ УПВУФŒЕО-

УПУФПСОЙК ЗБНЙМШФПОЙБОБ

, РПМХЮБЕН

i

∞

ei!t m;n e−˛En

AB (!) = Z

e−i!nmt n|A|m m|B|n − ei!nmt n|B|m m|A|n

dt ;

0

= En − Em | ЮБУФПФБ РЕТЕИПДБ, a Z УХННБ. нЕОСС ЙОДЕЛУЩ m Й n ŒП ŒФПТПН ЮМЕОЕ ОБИПДЙН

(7.75)

= Tr exp( ) | УФБФЙУФЙЮЕУЛБС

−˛H

УХННЩ НЕУФБНЙ Й ЙОФЕЗТЙТХС РП t,

(!) =		e−˛En − e−˛Em				n A m		m B n :			(7.76)
			−			|		|		|
AB	m;n	!		!nm + i0			|

нОЙНБС ЮБУФШ i0 ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ НОПЦЙФЕМС exp (−‹t), ЛПФПТЩК ОБДП ДПВБŒЙФШ Œ ЖПТНБМШОП ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ РП t ДМС ПВЕУРЕЮЕОЙС ЕЗП УИПДЙНПУФЙ.

фЕРЕТШ РТПДЕМБЕН БОБМПЗЙЮОПЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ДМС НБГХВБТПŒУЛПК ЛПТТЕМСГЙПООПК

ЖХОЛГЙЙ

1

˛

ABM (i!n) =

(7.77)

2

−

˛ ei!nfi Tfi AM (fi ) BM (0) Ô dfi :

ъДЕУШ XM (fi ) = e

fi H X efi H | НБГХВБТПŒУЛЙК ПРЕТБФПТ. œ ВБЪЙУЕ УПВУФŒЕООЩИ УПУФП-

СОЙК РПМХЮБЕН

−

ABM (i!n) = 2Z 0

ei!nfi m;n e−˛Ene−!nmfi n|A|m m|B|n dfi +

1

0

˛

1

+

2Z

−

(7.78)

˛ ei!nfi m;n e−˛En e!nmfi n|B|m m|A|n dfi :

156змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

уОПŒБ РЕТЕУФБŒМСЕН ЙОДЕЛУЩ ŒП ŒФПТПК УХННЕ Й ŒЩЮЙУМСЕН ЙОФЕЗТБМ РП fi (РТЙ ЬФПН РПМЕЪОП ХЮЕУФШ, ЮФП !n˛ = 2ın):

ABM		e−˛En
	(i!n) =	i!n
	m;n

− e−˛Em	n A m m B n :	(7.79)
− !nm	| | | |

дПЛБЪБФЕМШУФŒП ЙОФЕТЕУХАЭЕЗП ОБУ ХФŒЕТЦДЕОЙС РПМХЮБЕФУС ЙЪ УТБŒОЕОЙС (7.76) Й (7.79). œУРПНОЙН, ЮФП ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ AB (!) | БОБМЙФЙЮЕУЛБС Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЖХОЛГЙС ! (ЬФП УМЕДХЕФ ЙЪ ФПЗП, ЮФП ПОБ ЕУФШ ЖХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЖХОЛГЙЙ, ПФМЙЮОПК ПФ 0 МЙЫШ РТЙ t > 0). ъОБЮЙФ, ЕЕ НПЦОП РТПДПМЦЙФШ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ ОБ РПМПЦЙФЕМШОХА НОЙНХА РПМХПУШ Im ! > 0. рТЙ ЬФПН, УПЗМБУОП (7.76) Й (7.79), Œ ФПЮЛБИ i!n = 2ıinT , n > 0, ПВБ ŒЩТБЦЕОЙС УПŒРБДБАФ.

фЕРЕТШ РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП УХЭЕУФŒХЕФ БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ MAB (i!n) У ŒЕТИОЕК НОЙНПК РПМХПУЙ ОБ ŒУА ŒЕТИОАА РПМХРМПУЛПУФШ !. фПЗДБ ЬФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ДПМЦОП УПŒРБУФШ У AB (!), РПУЛПМШЛХ, УПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ ФЕПТЙЙ ЖХОЛГЙК ЛПНРМЕЛУОПЗП РЕТЕНЕООПЗП, ДŒЕ ЖХОЛГЙЙ, БОБМЙФЙЮЕУЛЙЕ Œ ОЕЛПФПТПК ПВМБУФЙ Й УПŒРБДБАЭЙЕ ОБ ВЕУЛПОЕЮОПН НОПЦЕУФŒЕ ФПЮЕЛ, ЙНЕАЭЕН РТЕДЕМШОХА ФПЮЛХ, УПŒРБДБАФ ŒП ŒУЕК ПВМБУФЙ.

тЕЫЕОЙЕ 37 В. оБКДЕН ДЙОБНЙЮЕУЛХА УРЙОПŒХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ РТЙ T EF . œ ЪБДБЮЕ 24 В ЬФБ ŒЕМЙЮЙОБ ВЩМБ ОБКДЕОБ ОЕРПУТЕДУФŒЕООЩН ХУТЕДОЕОЙЕН ПРЕТБФПТПŒ Œ ЖПТНХМЕ лХВП. юФПВЩ ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ У РПНПЭША НБГХВБТПŒУЛПК ФЕИОЙЛЙ НЩ ŒЩЮЙУМЙН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ. рПУЛПМШЛХ M¸˛ (i!n; k) | ИТПОПМПЗЙЮЕУЛЙ ХРПТСДПЮЕООБС ŒЕМЙЮЙОБ (РП ПФОПЫЕОЙА Л НОЙНПНХ ŒТЕНЕОЙ), ЕЕ НПЦОП ŒЩЮЙУМСФШ ЛБЛ РЕФМА, УПУФБŒМЕООХА ЙЪ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ:

¸˛M (i!n; k) = −2—B2 ‹¸˛ T

!m G(i!m; p) G(i!m + i!n; p + k)

d3p

:

(7.80)

(2ı)3

œЩЮЙУМЙН НБГХВБТПŒУЛХА УХННХ

T

1

;

(7.81)

(i!m + i!n

‰p+k) (i!m

‰p)

!m;p

−

−

ТБЪМБЗБС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ОБ РТПУФЕКЫЙЕ ДТПВЙ:

1

‰p) =

!m

(i!m + i!n

−

‰p+k ) (i!m

−

= !m i!n

1

i!m

1

‰p

− i!m

1

‰p+k

:

−

‰p+k + ‰p

−

+ i!n

−

ъБНЕФЙН, ЮФП РПУЛПМШЛХ !m = (2m + 1)ıT É !n = 2ınT , ŒП ŒФПТПН ЮМЕОЕ Œ УЛПВЛБИ НПЦОП УДЕМБФШ УДŒЙЗ РЕТЕНЕООПК УХННЙТПŒБОЙС m → m − n, РТЙ ЛПФПТПН ЙЪ ОЕЗП ЙУЮЕЪБЕФ !n. œ ЛБЦДПН ЙЪ УМБЗБЕНЩИ Œ УЛПВЛБИ ŒЕЭЕУФŒЕООБС ЮБУФШ УХННЩ УИПДЙФУС, Б НОЙНБС ЖПТНБМШОП ТБУИПДЙФУС. пДОБЛП ПОБ ОЕЮЕФОБ РП m, Й РПФПНХ УПЛТБЭБЕФУС РТЙ РТЙŒЕДЕОЙЙ ЮМЕОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ m. пУФБЕФУС ОБКФЙ УХННХ ŒЙДБ

		‰
S(‰) = T	!2	+ ‰2 ;	(7.82)
!m	m

7.4. теыеойс								157
ЮФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП УППФОПЫЕОЙС
			1		=	ı th	ıa :	(7.83)
∞
n=−∞	(2n + 1)2 + a2					2a	2
рПЬФПНХ ЙОФЕТЕУХАЭБС ОБУ УХННБ ЕУФШ
1		˛‰	1		1	1	− nF (‰) ;
S(‰) = 2 th		2	= 2	− e˛‰ + 1 ≡ 2				(7.84)

ÇÄÅ nF (‰) | ЖЕТНЙ-ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ. œПЪŒТБЭБСУШ Л ŒЩТБЦЕОЙА (7.81), НЩ РПМХЮБЕН ŒЕУШНБ РПМЕЪОПЕ ФПЦДЕУФŒП

		−		−			−
T			1			=	nF (‰p+k) − nF (‰p) ;	(7.85)
!m	(i!m + i!n		‰p+k ) (i!m		‰p)		i!n ‰p+k + ‰p

ЛПФПТПЕ ЮБУФП ЙУРПМШЪХЕФУС РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ РПМСТЙЪБГЙПООЩИ ПРЕТБФПТПŒ Й ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЕК ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

йУРПМШЪХС УППФОПЫЕОЙЕ (7.85), ЪБРЙЫЕН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ФБЛ:

M (i!; k) = 2—2	‹		nF (‰p) − nF (‰p+k)	d3p	:	(7.86)
B	¸˛		i!n − ‰p+k + ‰p	(2ı)3

рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ДПУФБФПЮОП НБМЩЕ T EF É |k| p0, РЕТЕКДЕН Л ЙОФЕ-

ЗТЙТПŒБОЙА РП ‰. фБЛ ЛБЛ

(n (‰)

−

n

(‰ + vk))d‰ = vk (ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ŒЕМЙЮЙОЩ

T ), РПМХЮБЕН

F

F

kvF

do

M (i!n; k) = 2—B2 0

:

(7.87)

i!n − kvF 4ı

œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ФЕМЕУОПНХ ХЗМХ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 24 В, ОБИПДЙН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

M	(i!	; k) = 2—2	‹			1 +	i!n	ln i!n − kvF	:	(7.88)
¸˛	n	B	0	¸˛			2kvF	i!n + kvF

дМС ФПЗП ЮФПВЩ БОБМЙФЙЮЕУЛЙ РТПДПМЦЙФШ (7.88) ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООХА ПУШ, ДПУФБФПЮОП УДЕМБФШ ЪБНЕОХ i!n → ! + i0. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС

B 0		2kvF	! + kvF + i0
(!; k) = 2—2	1 +	!	ln ! − kvF + i0	:

пФДЕМСС ŒЕЭЕУФŒЕООХА Й НОЙНХА ЮБУФЙ, ОБИПДЙН

B 0			2kvF		$	! + kvF			$
Re (!; k) = 2—2 1 +			!	ln	$	! − kvF			$	;
					$				$
2		!			$		!	) :	$
Im (!; k) = ı—B 0		„ (kvF			$				$
	kvF			− |			|

(7.89)

(7.90)

(7.91)

ъБНЕФЙН, ЮФП ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС, ŒЕТОЩЕ РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ 0 T EF , Œ ФПЮОПУФЙ УПŒРБДБАФ У ŒЕЭЕУФŒЕООПК Й НОЙНПК ЮБУФСНЙ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ОБКДЕООПК Œ ЪБДБЮЕ 24 В РТЙ T = 0.

158змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

тЕЫЕОЙЕ 37 Œ. уОБЮБМБ ТБУУНПФТЙН НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ (7.26) УРЙОБ ŒП ŒОЕЫОЕН РПМЕ:

(!n) = 2	˛	Tfi sz (fi )sz (0) ei!nfi dfi ;	(7.92)
—2
	−˛

ЗДЕ | НБЗОЙФОЩК НПНЕОФ УРЙОБ. рПУЛПМШЛХ ЗБНЙМШФПОЙБО УŒПВПДОПЗП УРЙОБ Œ

— H0

ПФУХФУФŒЙЕ ŒОЕЫОЕЗП РПМС ТБŒЕО ОХМА, ДЙОБНЙЛБ ПФУХФУФŒХЕФ. рПЬФПНХ sz (fi )sz (0) =s2z (fi ) = 1 Й, УМЕДПŒБФЕМШОП,

(!n) =	0	ÐÒÉ !n = 0	-	= 1 + fi !n ; fi0T 1 :	(7.93)
	˛—2	ÐÒÉ !n = 0		˛—2
				0

нЩ ЪБРЙУБМЙ ТЕЪХМШФБФ Œ ŒЙДЕ, РПЪŒПМСАЭЕН РТПДПМЦЙФШ (!n) У НОЙНЩИ ЪОБЮЕОЙК ЮБУФПФЩ ОБ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ. бОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ДБЕФ (!) = ˛—2=(1 − ifi0!). рЕТЕИПДС Л УФБФЙЮЕУЛПНХ РТЕДЕМХ ! → 0, ХВЕЦДБЕНУС Œ ФПН, ЮФП НБГХВБТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ДБЕФ ЪБЛПО лАТЙ.

фЕРЕТШ ОБКДЕН ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ, ЙУРПМШЪХС ДЙОБНЙЛХ Œ ТЕБМШОПН ŒТЕНЕОЙ. уМЕДХС МПЗЙЛЕ, ПВЩЮОП РТЙŒПДСЭЕК Л ЖПТНХМЕ лХВП, ТБУУНПФТЙН УТЕДОЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ ОБНБЗОЙЮЕООПУФЙ Œ ЛБЛПК-ФП НПНЕОФ ŒТЕНЕОЙ:

—sz (t) = — Tr	eiH(t−t0)sz (t0)e−iH(t−t0)j				;	H = −—sz Bext ;		(7.94)

ÇÄÅ j = Z−1 exp		−˛H . юФПВЩ РПМХЮЙФШ МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ, ОБДП ТБЪМПЦЙФШ ŒЩТБЦЕ-
ÎÉÅ (7.94) ÐÏ	B		, ŒЩДЕМЙŒ МЙОЕКОЩК ŒЛМБД. œ УФБОДБТФОПН ŒЩŒПДЕ ЖПТНХМЩ лХВП
	ext
			ТБЪМБЗБАФУС ПРЕТБФПТЩ ЬŒПМАГЙЙ e iH(t−t0), ЮФП ДБЕФ УТЕДОЕЕ ПФ
РП УФЕРЕОСН Bext
ЛПННХФБФПТБ ПРЕТБФПТПŒ УРЙОБ Œ ТБЪМЙЮОЩЕ НПНЕОФЩ				ŒТЕНЕОЙ. рТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНП-

УФША НБФТЙГЩ РМПФОПУФЙ j ПФ Bext РТЕОЕВТЕЗБАФ ОБ ФПН ПУОПŒБОЙЙ, ЮФП Œ РТЕДЕМЕ t − t0 → ∞ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ОБЮБМШОЩИ ХУМПŒЙК Œ НПНЕОФ t0 ПФУХФУФŒХЕФ. пДОБЛП ЬФП УРТБŒЕДМЙŒП ФПМШЛП Œ ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЬŒПМАГЙС УЙУФЕНЩ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ĂРПФЕТЕК РБНСФЙĄ П ОБЮБМШОПН УПУФПСОЙЙ, МЙВП Œ УЙМХ ЬТЗПДЙЮОПУФЙ, МЙВП ЙЪ-ЪБ ТЕМБЛ-

УБГЙПООПЗП ИБТБЛФЕТБ ДЙОБНЙЛЙ. œ ОБЫЕН ЦЕ УМХЮБЕ, РПУЛПМШЛХ = 0, ЬŒПМАГЙС

H0

ОЕŒПЪНХЭЕООПК УЙУФЕНЩ ŒППВЭЕ ПФУХФУФŒХЕФ, Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЮЕЗП УЙУФЕНБ ВЕУЛПОЕЮОП ДПМЗП РПНОЙФ ОБЮБМШОПЕ УПУФПСОЙЕ. рПЬФПНХ РТЙ ОБИПЦДЕОЙЙ МЙОЕКОПЗП ПФЛМЙЛБ УМЕДХЕФ ТБЪМПЦЙФШ РП Bext ОЕ ФПМШЛП ПРЕТБФПТЩ ЬŒПМАГЙЙ, ОП Й НБФТЙГХ РМПФОПУФЙ j ОБЮБМШОПЗП УПУФПСОЙС. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЬФП РТЙŒПДЙФ Л ЪБЛПОХ лАТЙ = ˛—2.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖПТНХМБ лХВП Œ УŒПЕК ПВЩЮОПК ЖПТНЕ ДБЕФ РТБŒЙМШОЩК ПФŒЕФ ДМС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ ФПМШЛП Œ ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ РТЙ ЬŒПМАГЙЙ УЙУФЕНБ ĂЪБВЩŒБЕФĄ П ОБЮБМШОПН УПУФПСОЙЙ. еУМЙ ЦЕ ЬФП ОЕ ФБЛ, УМЕДХЕФ МЙВП РПРТБŒМСФШ ЖПТНХМХ лХВП, ŒŒПДС Œ ОЕЕ ЮМЕОЩ, ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ОБЮБМШОПЗП УПУФПСОЙС, МЙВП ЙУРПМШЪПŒБФШ НБГХВБТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ.

тЕЫЕОЙЕ 38. зТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЖПОПОПŒ ПРТЕДЕМСЕФУС ЮЕТЕЪ РПМЕ ДЕЖПТНБГЙЙ ’(r; t) (УН. (6.5)). уТБŒОЙŒБС ŒЩТБЦЕОЙЕ (6.5) У ПРЕТБФПТПН (6.1) РПМС УНЕЭЕОЙК

7.4. теыеойс

159

ТЕЫЕФЛЙ u(r; t), ХВЕЦДБЕНУС Œ ФПН, ЮФП ДМС ДЕВБЕŒУЛЙИ ЖПОПОПŒ У МЙОЕКОЩН ЪБЛПОПН ДЙУРЕТУЙЙ !(k) = c|k| РПМЕ ДЕЖПТНБГЙЙ ’ ЕУФШ У√j div u. уМЕДПŒБФЕМШОП, ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЖПОПОПŒ

	c2			(k
D(r; fi ) = − j Tfi ’(r; fi ) ’(0; 0) Ô =						(2ı)
−	!n	!n	+ !(k)
			!	)2	2 e−i!nfi +ikr	dD k
=	T	2					D	(7.95)

РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЛПТТЕМСФПТ div u, ХНОПЦЕООЩК ОБ jc2. рПЬФПНХ ЛПТТЕМСФПТ УБНЙИ УНЕЭЕОЙК РПМХЮБЕФУС 9 ДЕМЕОЙЕН ЖПОПООПЗП РТПРБЗБФПТБ ОБ j!k2:

j	!n	!n	+ !k (2ı)
T		eikr		dDk
CÔ(r) =		2	2		D :	(7.96)

œЩРПМОЙН УХННЙТПŒБОЙЕ РП НБГХВБТПŒУЛЙН ЮБУФПФБН У РПНПЭША ЖПТНХМЩ:

∞			1		ı
	n2		+ a2	= a cth(ıa) :			(7.97)
n=−∞
рПМХЮБЕН			!(k)		cth 2T	(2ı)D :	(7.98)
CÔ(r) = 2j
1			eikr		!(k)	dDk

хДПВОП ТБЪДЕМЙФШ ŒЛМБДЩ ФЕРМПŒЩИ Й ЛŒБОФПŒЩИ ЖМХЛФХБГЙК Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (7.98), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН

1	!		1	1	≡	1	+ nB (!) ;
2 cth	2T	=	2	+ e˛! − 1		2		(7.99)

ÇÄÅ nB (!) | ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС вПЪЕ. пЮЕŒЙДОП, ЮФП 1=2 ЕУФШ ŒЛМБД ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, Б nB (!) | ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ. жПТНХМХ (7.98) Œ ФБЛЙИ ПВПЪОБЮЕОЙСИ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ОЕ РПМШЪХСУШ НБГХВБТПŒУЛЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, Б РТПУФП ХУТЕДОСС ŒФПТЙЮОП ЛŒБОФПŒБООЩЕ ПРЕТБФПТЩ УНЕЭЕОЙК (6.1) РП ЗЙВВУПŒУЛПК НБФТЙГЕ РМПФОПУФЙ.

йУРПМШЪХС (7.99), РТЕДУФБŒЙН (7.98) Œ ŒЙДЕ CÔ(r) = C0(r) + ´CÔ(r), ÇÄÅ

	1			eikr dD k
C0(r) =	2j			!(k) (2ı)D	;			(7.100)
		1		eikr		dDk
´CÔ(r) =		j		!(k)nB (!(k))		(2ı)D	:	(7.101)

9уФТПЗП ЗПŒПТС, ЬФП ДБЕФ ЛПТТЕМСФПТ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК u k. пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ ЛПТТЕМСФПТЩ ŒУЕИ ЛПНРПОЕОФ УНЕЭЕОЙК ПДЙОБЛПŒЩ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ, НЩ ПЗТБОЙЮЙНУС ТБУУНПФТЕОЙЕН МЙЫШ РТПДПМШОЩИ ЛПНРПОЕОФ.

160змбœб 7. дйбзтбннобс феиойлб ртй лпоеюощи фенретбфхтби

лПТТЕМСФПТ ´CÔ(r) ВХДЕФ ЙОФЕТЕУПŒБФШ ОБУ РТЙ r c=T . œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒБЦЕО ŒЛМБД МЙЫШ ПФ ДПУФБФПЮОП НБМЩИ k ≈ 1=r, ФБЛЙИ ЮФП !(k) T . уППФŒЕФУФŒЕООП, ТБЪМБЗБС ВПЪЕŒУЛХА ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС Œ (7.99) РТЙ НБМПН !, РПМХЮБЕН

´CÔ(r) ≈ j	!2(k) (2ı)D :		(7.102)
T	eikr	dDk

пФНЕФЙН, ЮФП (7.102) ЕУФШ РТСНПЕ УМЕДУФŒЙЕ ФЕПТЕНЩ П ТБŒОПТБУРТЕДЕМЕОЙЙ ЙЪ ЛМБУУЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ.

рПУМЕ РТПŒЕДЕООПК РПДЗПФПŒЛЙ РТЙУФХРЙН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА C0(r) É ´CÔ(r) Œ ТБЪОЩИ

ТБЪНЕТОПУФСИ. œОБЮБМЕ ŒЩЮЙУМЙН C0(r).
á. D = 3:		4ı	∞ sin(kr) k2dk				1
(3)
C0 (r) =	(2ı)3j			kr	ck	=	4ı2jcr2	:	(7.103)
			0
ъДЕУШ ЙУРПМШЪПŒБОБ ЖПТНХМБ
		eiandon = 4ı(sin a)=a :							(7.104)

â. D = 2:

C0(2)(r) = 4ıjc			2ı
1	∞ 2ı d„
	0	0

œ. D = 1:

∞

(1) 1

C0 (r) = 4ıjc

−∞

1

∞

1

eikr cos „ dk

=

4ıjc

J0(kr) dk

=

4ıjcr

:

0

dk

1

∞

dk

1

L

eikr

|

k

|

=

2ıjc

cos kr

k

=

2ıjc2

ln r

:

0

(7.105)

(7.106)

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДОЕЗП ЙОФЕЗТБМБ, ЛПФПТЩК ЖПТНБМШОП ТБУИПДЙФУС, ОЕПВИПДЙНП ПВТЕЪБФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ТБУИПДЙНПУФШ. лБЛ ПВЩЮОП, ПВТЕЦЕН ЙОФЕЗТБМ УŒЕТИХ ОБ k ≈ 1=r (РТЙ В«ПМШЫЙИ k ПУГЙММСГЙЙ cos kr ПВЕУРЕЮЙŒБАФ УИПДЙНПУФШ), Б УОЙЪХ | ОБ

k ≈ 1=L, ЗДЕ L | ТБЪНЕТ УЙУФЕНЩ (ЗБТНПОЙЛ У НЕОШЫЙНЙ k ОЕ УХЭЕУФŒХЕФ).
фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ФЕРМПŒЩЕ ЖМХЛФХБГЙЙ.
á. D = 3:	∞					T
T					dk
´CÔ(3)(r) = 2ı2jcR		sin(kr)			k =	4ıjcr		:	(7.107)
	0
â. D = 2:		∞ 2ı
T						dkd„
´CÔ(2)(r) = (2ı)2jc2				eikr cos „		k	:		(7.108)
		0	0

ьФПФ ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ ŒЩЮЙУМСЕФУС ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й ЙОФЕЗТБМ ДМС C0(1)(r):

´CÔ(2)(r) =	T	ln	L	:	(7.109)
	2ıjc2		r